1樓：匿名使用者
水平放置的平面圖形的直觀圖
教學目標
1.瞭解什麼叫直觀圖;
2.瞭解斜二測畫法的規則;
3.掌握正方形,矩形,直角三角形,正三角形,正六邊形的直觀圖的畫法.
教學重點和難點
使學生掌握水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法,並且能從水平放置的平面圖形的直觀圖想象出原圖的形狀及其性質是這一節課的重點也是難點.
教學設計過程
師:我們研究立體幾何要作好兩個準備:第一,平面的概念及平面的基本性質(三個公理)是我們研究立體幾何的理論上的準備;第二,水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法是為今後空間圖形的識圖和畫圖做技術上的準備.
所謂空間想象能力,就是給出一個立體模型,我們能用一個空間圖形畫出它;並且根據空間圖形的直觀圖想象出這個立體模型.簡單地說就是識圖和畫圖的能力.
什麼叫直觀圖 把空間圖形畫在平面內,使得既富有立體感,又能表達出圖形各主要部分的位置關係和度量關係的圖形.
這時教師拿出三個模型.立方體模型;一塊直角三角形和一根小棍過直角頂點並且與直角三角板所在平面垂直;一塊矩形板和一根小棍過它的一個頂點並且垂直於矩形板所在的平面.然後畫出下面的三個圖,並且說這就是這三個模型的直觀圖.
(如圖1)
師:正方體的六個面都是正方形,為什麼在直觀圖中只有兩個面是正方形 ;直角三角形中的直角為什麼不能畫出直角 ;矩形中有四個角都是直角,為什麼在直觀圖中都不能畫出直角
生:如果正方體的六個面都畫出正方形,勢必得把正方體,這時得出的正方體的圖,而不是立方體的直觀圖;如果把直角三角形的直角畫成直角,這時過直角頂點垂直於直角三角形所在平面的直線(小棍),只能畫成一個點,就完全沒有了立體感;同樣,如果把矩形的四個角畫成直角,則過它的一個頂點垂直於矩形板所在平面的直線(小棍)也只能畫成一個點,也就完全沒有了立體感.
師:對,所以要畫出空間圖形的直觀圖,使它有立體感,它的基礎就是要掌握"水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法".也就是說,當我們會看,會畫出"水平放置的平面圖形的直觀圖"後,才逐步會看,會畫出空間圖形的直觀圖.
下面,我們就來研究幾種平面圖形的直觀圖的畫法.並提出下面三點要求:
(1)師,生同時動手;
(2)畫在作業本上;
(3)左邊是平面幾何中的畫法,右邊是水平放置的直觀圖的畫法,x軸與x′軸要對齊.
例1 畫水平放置的邊長為4cm(學生作業本上實際的長度)的正方形的直觀圖.(如圖2)
畫法:(1)在已知正方形oabc中,取oa所在的直線為x軸,取oc所在的直線為y軸,畫對應的x′軸,y′軸,使∠x′o′y′=45°.
過a′點作a′b′ o′c′,連c′b′.則o′a′b′c′就是正方形oabc的直觀圖.
(注意,為了看清學生動手畫圖的真實過程,圖畫好後,不一定要擦去輔助線)
師:下面,我們請一個同學來讀課本第7頁上所述的這種斜二測畫法的規則.
生:"上面畫直觀圖的方法叫做斜二測畫法,這種畫法的規則是:
(1)在已知圖形中取互相垂直的軸ox,oy.畫直觀圖時,把它畫成對應的軸o′x′,o′y′,使∠x′o′y′=45°(或135°).它們確定的平面表示水平平面.
(2)已知圖形中平行於x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行於x′軸或y′軸的線段.
(3)已知圖形中平行於x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變;平行於y軸的線段,長度為原來的一半."
師:根據上述三條規則,我們再來畫如下幾個圖形的直觀圖.
例2 畫水平放置的長為4cm,寬為3cm矩形的直觀圖.(如圖3)
畫法:(1)在已知矩形oabc中,取oa所在的直線為x軸,取oc所在的直線為y軸,畫對應的x′軸,y′軸,使∠x′o′y′=45°.
(2)在x′軸上擷取o′a′=4cm,在y′軸上擷取o′ c′=1.5cm,過a′點作a′b′ o′c′,連c′b′,則o′a′b′c′就是矩形oabc的直觀圖.
(說明,為了突出矩形oabc和它的直觀圖o′a′b′c′,輔助線要用細實線畫出,而矩形和它的直觀圖的輪廓線可用粗實線畫出)
例3 畫水平放置的兩直角邊分別長為4cm和3cm的直角三角形的直觀圖.(如圖4)
畫法:(1)以直角邊oa所在的直線為x軸,以直角邊bo所在的直線為y軸,再畫對應的x′軸,y′軸,使∠x′oy′=45°.
(2)在x′軸上擷取o′a′=oa=4cm,在y′軸上截o′
的直觀圖.
例4 畫邊長為4cm的正三角的水平放置的直觀圖.(如圖5)
畫法:(1)以bc邊所在的直線為x軸,以bc邊上的高線ao所在的直線為y軸,再畫對應的x′,y′軸,使∠x′o′y′=45°.
(2)在x軸上擷取o′b′=o′c′=2cm,在y′軸上擷取
的直觀圖.
(ii)
畫法:(1)以bc邊所在的直線為y軸,以bc邊上的高ao所在的直線為x軸,再畫對應的x′軸,y′軸,使∠x′o′y′=45°.
(2)在x′軸上擷取o′a′=oa,在y′軸上擷取o′b′
△abc的直觀圖.
師:為什麼對正三角形我們要畫出兩種水平放置的直觀圖呢 因為今後在畫立體圖形的直觀圖時,根據不同題目中的條件要選擇不同的畫法.
正三角形的兩種水平放置的直觀圖不論哪一種畫法,我們可以看到它們的三邊不可能再相等,三個內角不可能再相等,但當我們說它是正三角形的直觀圖時,我們要想象它們的三邊是相等的,它們的三個內角是相等的,而且每一個內角都是60°.同樣道理,當我們在例1中說o′a′b′c′為正方形的直觀圖時,我們就要想象它的四條邊都等,四個內角都等於90°,兩條對角線相等,並且互相垂直,互相平分.也就是說,我們在立體幾何學習中一定要逐步培養這樣的能力:
"直觀圖+
這裡要特別強調"概念"給"直觀圖"以界定的重要性.因為嚴格說起來,平行四邊形,矩形,菱形,正方形的水平放置的直觀圖都只保留下對邊平行且相等,所以只從"直觀圖"來看我們是沒有方法加以區別,只能用"概念"來給以界定,以示區別.
例5 畫水平放置的邊長為2cm的正六邊形的直觀圖.(如圖7)
畫法:(1)在已知正六邊形abcdef中,取對角線ad所在的直線為x軸,取對稱軸gh為y軸.畫對應的x′軸,y′軸,使∠x′o′y′=45°.
(2)在x′軸上擷取o′a′=oa,擷取o′d′=od,對於不在x軸,y軸上的頂點b,c,e,f,都向x軸作垂線,它們的垂足為m,n.在x′軸上擷取o′m′=om,擷取o′n′=on,過m′,n′作與y′軸平行的直線,在這兩直線上擷取m′b′=
(3)連a′b′,b′c′,c′d′,d′e′,e′f′,則所得的六邊形就是正六邊形abcdef的直觀圖.
師:我們看正六邊形abcdcd和它的水平放置的直觀圖六邊形a′b′c′d′e′f′二者在形狀上有很大的不同,但是我們仍能從直觀圖a′b′c′d′e′f′這六邊形中想象出正六邊形的形狀和一些性質,這是為什麼
因為在斜二測畫法中,直觀圖仍保留了原圖中三個主要的性質:
第一,保平行.在正六邊形 abcdef中, ab‖fe‖bc, be‖af‖cd,fc‖ed‖ab,在直觀圖六邊形a′b′c′d′e′f′中a′d′‖f′e′‖b′c′,b′e′‖a′f′‖c′d′,f′c′‖e′d′‖a′b′.
第二,保共點,共線.在正六邊形abcdef中,a,o,d三點共線,b,o,e三點共線,c,o,f三點共線;ad,be,cf三線共點.在直觀圖六邊形a′b′c′d′e′f′中,a′,o′,d′三點共線,b′,o′,e′三點共線,c′,o′,f′三點共線;a′d′,b′e′,c′f′三線共點.
第三,保平行線段的比不變.在正六邊形abcdef中,ad:fe:
bc=2:1:1,be:
af:cd=2:1:
1,cf:ed:ab=2:
1:1.在直觀圖六邊形a′b′c′d′e′f′中,a′d′:
f′e′:b′c′=2:l:
l, b′e′:a′f′:c′d′=2:
l:1, c′f′:e′d′:
a′b′=2:1:l.
正因為有這"三保",所以直觀圖的形狀雖然有很大的變化,但我們仍能藉助於直觀圖加上概念想象出原圖的形狀和性質.
作業 課本第9頁,第10題,第11題.
課堂教學設計說明
立體幾何不少教師感到難教,不少學生感到難學,這難教,難學的共同的矛盾的焦點就是看圖和畫圖.水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法是為了解決這矛盾的焦點的初步,所以師,生都要重視,至少要安排兩課時來學習.
因為在今後的教學中,我們所要畫的水平放置的直觀圖大多數是正方形,矩形,直角三角形,正三角形,所以對這些圖形的直觀圖一定要會畫,會看,為今後畫立體圖形的直觀圖打下基礎.
在長期的立體幾何教學過程中,我深感"視覺語言"在教和學中的重要性.
旗語,啞語,**指揮的手勢,面部表情和形體動作都可以說是一種"視覺語言",它是通過視覺來傳遞資訊,交流思想和情感.但是對我們大多數人來說,卻是視而不懂,這因為我們是"外行".作為任何一種語言,都必須有它自己的一套"符號系統"和特有的規定和規則.
而理解並掌握這一套"符號系統"和特有的規定和規則必須經過培養和訓練.只有經過一段時間培養和訓練後,才能使用這種"視覺語言"來傳遞資訊,交流思想和情感.
在立體幾何中,我所用的"視覺語言"這個概念,它的內涵主要就
言"也有它的一套"符號系統".這種"符號系統"就是在教每一種位置關係時,教每一個概念時,教每一個定理時都要給出與它對應的,標準的,常用的直觀圖形.經過一段時間的培養和訓練.
使學生能用這種"視覺語言"來了解線線,線面,面面的各種位置關係以及各個概念及定理在這種"視覺語言"中的表達的方法.
在立體幾何教學過程中,我們要使"視覺語言"和"聽覺語言"並重.有時我們甚至感到用"聽覺語言"說不明白的問題,而通過"視覺語言"卻使問題得到解決.總之,在立體幾何教學中,一定要重視直觀圖這種"視覺語言"在教學中的地位,要有計劃,有步驟地在每一節課上都來培養和訓練運用這種"檢視語言"的能力.
當然,為了完成這個教學目的,首先要求教立體幾何的教師理解並掌握這一種特殊的"視覺語言",並且如何使用這種"語言"來達到最佳的教學效果,這可以說是對教立體幾何的數學教師的一種特殊的技術要求,能力要求.這種要求是因為"立體幾何的研究物件是空間圖形"(課本引言)所決定的.