自然數的數位集合是無限集嗎？與自然數集等勢嗎

1樓：匿名使用者

樓上明顯錯誤：『一進位制』是沒有1的，況且沒有『一進位制』這個說法。

計數數位的基數是n，這個很容易證明，因為可以建立一個從二進位制的數位到十進位制自然數的單射（比如1位->1=1b,2位->3=11b,...n位->2^n-1=11...111b）並且它是無窮的，所以基數為n。

進一步，k進位制數位和二進位制的數位也可以建立一一對映，所以任何有限進位制數位的基數都是n。

我覺得你的問題出現在，一個無理數需要無窮的數位去表示，而且這種表示是不精確的。你可以精確到很小，但是你做不到完全精確。換句話說，你不可能用0-9加小數點來表示一個無理數，你所能做的就是儘量逼近這個無理數。

所以問題在於基數是n的數位，可記數並不是2^n補充一下：以上已經證明數位基數為n。現在直覺上你可能沒有想通。

其實整數部分和小數部分是沒有區別的，或者說小數點在哪個位置是沒有太大區別的。關鍵是一個無理數需要大於基數n的位數來表示。

以上是我的淺見，歡迎批評。

2樓：

又是你。。。。呵呵

數位當然也是n了。。。

從兩個角度來說

第一，數位可以排成一列，所以是可數集（第一位，第二位，。。。）

第二，進位制越大，表示一個數需要的數位越多

所以只需要看「1進位制」

十進位制的5在「1進位制」中表示就是「11111」，所以有多少個自然數，就有多少個一進位制的數位

那當然是n 了（第二個理由不嚴密，看第一個就夠了）

**************

我辯解一下，首先，「一進位制」我是自己定義的，有沒有我不知道，但是定義是良好的，是可以用的。再說我也說了我的第二個理由不嚴密。

「基數是n的數位，可記數為2^n」

這句話是不對的。

在這句話裡，你所指的「數位」，是自然數的那個數位。

自然數的數位，和小數的小數點後的數位是完全不同的！

一個自然數必然只有有限個數位

而每一個小數都有無限個小數點後的數位。

這兩個東西的結論不能平移

所以不能夠記2^n個數。

所以這話是錯的。後面當然也不對了。

樓主我覺得你思考集合論的思路有問題。

不知道你看書是怎麼看的。這些結論都有嚴格的理論體系，如果你從第一個公理開始，一個一個結論看下來，我想應該不會有任何疑問的。我感覺很多時候，你在理解這些定理的時候，不顧數學物件的定義，而是用自己下的定義來理解。

那怎麼能對呢？

無限的物件和有限物件有著本質的區別，兩者研究方法是不同的。如果你總是從有限的角度去看無限的物件，勢必走進死衚衕。

3樓：

顯然是等勢的

數位集合也是

無限大是沒有數量概念的，兩個集合等勢，是看是否可以兩集合元素一一對應。

基數是n，不是說數目字上是n

是否等勢，是看，比如說這道題，對於任意的數2^n，同時可以在數位集中找到

簡單的說，和自然數集等勢的集合都是可數的

這個基數n可以說並不是描述這個集合有多少的元素，因為都是無限多的更有點像描述疏密程度罷（這是個人看法）