我想問一下矩陣的向量組和其特徵向量組的關係是什麼?有一道題為例

時間 2021-09-07 13:40:20

1樓:星奕聽雨

這道題和矩陣的向量組是沒有任何關聯的,簡單的說這道題解題的過程和你問的是沒關係的。

特徵向量是針對特徵值所求出來的特徵向量。和矩陣的向量組之間沒有直接聯絡

至於這道題:

首先重根的特徵向量個數,小於等於重根個數。

不同根特徵值,各自有各自的,一般來說都是一一對應。

這道題如果有兩個線性無關的特徵向量,則可能有兩個特徵值,也可能有重根特徵值。

可是題目表達了只有一個線性無關的特徵向量,則不可能有兩個不同的特徵值,只可能是有兩個重根特徵值,而恰好這個重根特徵值的特徵向量只有一個。

其實你得出來重根特徵值可以驗算一下,求出特徵向量,這道題重根一定只有一個線性無關的特徵向量。

另外多提一句,其實重根的特徵向量個數,也決定了矩陣能否相似對角化。n個重根需要有n個線性無關特徵向量,才能相似對角化。其實也就是根據定義而來,如果矩陣有n個線性無關特徵向量,則矩陣可以相似對角化。

2樓:超級平凡的感動

如果ax=λx, b=p^ap 那麼ax=pbp^x=λx, b(p^x)=λ(p^x)

矩陣與向量組有什麼關係 區別

3樓:匿名使用者

一、區別

(一)含義不同

1、向量組是由若干同維數的列向量(或同維數的行向量)組成的集合。

2、矩陣是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合,由向量組構成。

(二)特點不同

1、向量組是有限個相同維數的行向量或者列向量,其中向量是由n個實陣列成的有序陣列,是一個n*1的矩陣(n維列向量)或是一個1*n的矩陣(n維行向量)。

2、矩陣是由m*n個數排列成m行n列的數表。

(三)等價的含義不同

1、兩個矩陣a與b等價指的是a可以通過有限次初等變換變成b。兩個不同型矩陣是不可能等價的。

2、兩個向量組等價指的是它們能夠互相線性表示,它們各自所含向量的個數可能是不一樣的。

二、兩者的關係

1、向量就是n個數排成一排,向量是一維的。

2、矩陣是二維的,矩陣可以看做是由向量組構成,把矩陣看成是一行一行的,那麼每一行就是行向量組;把矩陣看成是一列一列的,那麼每一列就是列向量組。

3、向量組的秩等於它構成的矩陣的秩。

4樓:匿名使用者

矩陣與向量組的關係:矩陣是一組列(行)向量組成的新的複合向量的展開式。

矩陣與向量組的區別:

一、性質不同

1、矩陣:是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合。

2、向量組:兩個及兩個以上向量,按照一定的關係集合在一起形成的向量組合,就叫向量組。

二、特點不同

1、矩陣:矩陣的特徵值和特徵向量可以揭示線性變換的深層特性;變換矩陣的行數等於v的維度,變換矩陣的秩等於值域r的維度。

2、向量組:向量組的任意兩個極大無關組等價;兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同;等價的向量組具有相同的秩,但秩相同的向量組不一定等價。

5樓:匿名使用者

答:同一本質的不同形式。

本質:可以互相等效。可以在任何疇上借用和代用對方的形式和方法來解題和思考問題。

a本質也是可以從多個方面討論的。略

如相應的矩陣和向量組,秩相同,對稱性相同,線性結構與線性性質相同。

同時,我們也可以因為不同形式的描述,得到同一本質的性質的不同形式,利於在不同思維下產生的結果的互相參照。

有些時候,兩個完全同構和等效的領域,由於直觀性與資訊轉換的代價,造成不均衡發展。於是,互相借鑑參照互補,最終趨於大同統一,二者均得以成熟。

有時,一個區域中開發出了新的天地,推廣了,很多東西在高的觀點下找到了完美的新形式,疑問得到進一步的深層解決;

而不知道的人,就不能借鑑和認識到大範圍與子範圍的關係,更無法應用到另一曾經的等效領域中去。

其實,最高的境界是自知且知人,自度也度人。這是人學,也是佛學,哲學,數學,萬般學問都是如此。

b由於本質相同,所以形式上的區別,實際上就是討論形式的對應構造與對立轉化。

矩陣是m行n列的數表,可視為m個行向量的序列,即m元的有序行向量組;列類似(注:即將字元 (m,行)<-->(n,列)交換後的命題亦成立)。

[列]向量組是若干同維的列向量的序列,m元n維列向量的序列對應一個n*m矩陣。行類似。

下面給出幾個例子,拋磚引玉,啟迪思考。

例一複數集(包括高斯整數,軸整數)在座標軸上的實部與虛部(行列標軸)方向,以右和上為正;

高斯整數a=1+i 關於 直線/: y=x的自對稱性;

高斯整數b=(1+2i),c=(2+i)關於/[互]對稱

而二元矩陣的行列標(軸)以右和下為正。[自]對稱矩陣a=a',是關於直線\: y+x=0的。

它們的共同本質是,對稱軸(也具有手性,方向性,旋性)平分二軸上的同向向量所闢的區域。

下面給出複數集與二階方陣的一種(注意,可以有多種設定方案)對應.

一種常見的方案是:

以二階么陣e與實數1對應,四階冪么陣i與複數i對應,於是矩陣與複數就形成了一一對應。

四階冪么陣,即二階冪負么陣的例子:

i=0 1

-1 0

它的自乘i*i=-e.(矩陣的乘法的快速理解見例二)

1+i對應的矩陣a=

1 1

-1 1

此時a是關於/對稱的。為什麼不是\對稱呢?

1+2i對應矩陣b=

1 2-2 1

2+i對應矩陣c=

2 1-1 2

的對稱性如何理解呢?用這裡的旋轉,對稱,各次么數的旋轉定位,即可以知道對稱性的本質.

事實上,我們看到,1與i關於/對稱的同時,也有一個四分圓周旋轉,於是對稱軸(鏡子)\旋轉為了/.同時,四次么數i和1的二分旋轉,分別是-1和1.

這恰好對應著四次么陣i時的兩個對角元.因此,本質相同的東西,不同的形式產生的結果的表現形不同,難易程度不同.這正如不同的編碼或密碼體系對於相同內容的東西的轉化.

另外,形式又可以具有他的特定本質.或者說,沒有完全同質的東西,同與不同,在於一心,即分別心.

而且,本質的理解,也隨著思想境界(即思慮的維度,其實是很具體的)的不同也有同.比如向量(0)與(0,0),如果只看到一維,那麼根本不知道他們的區別;如果不能感受0元,就對它們都無所知.

而知道有高維的存在者,知道他們可能有相同的本質; 洞悉本維者,可以確認它們具有相同的本質; 洞悉二維者,可以知道,它們在一維上本質相同,而二維上不是一回事;

而貫通向量元無窮組(0),(0,0),...,(0,...,0), (0...(佛學的萬字元號),0)者,一念之間,知道本質的同與不同,本無分別.

汝強作分別,即是分別; 無分別心,則無分別.存乎一心,是謂化境.

下面內容不太成熟,但可以啟迪您的思考,不會產生誤導.有些是我的**和直觀,還有興之所致的行文沒有斟酌,請發揮,請指正,別小氣,別客氣.

太長了寫不下,寫到文章中去了.

6樓:匿名使用者

矩陣是m行n列的數表

向量組是若干個同維數的列向量所組成的集合

有限個向量的有序向量組可以與矩陣一一對應

其實差不多一樣的 可以理解為矩陣的不同表示方法

7樓:匿名使用者

向量組的秩和矩陣的秩等也有關係。。還有一個方程可以用矩陣表示,也可表示為向量的線性組合等等

我問一下,如果兩個矩陣相似,它們的特徵向量之間有什麼關係。

8樓:假面

如果ax=λx,b=p^ap。

那麼ax=pbp^x=λx,b(p^x)=λ(p^x)。

n階矩陣a與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣a有n個線性無關的特徵向量。

注: 定理的證明過程實際上已經給出了把方陣對角化的方法。

若矩陣可對角化,則可按下列步驟來實現:

1、 求出全部的特徵值;

2、對每一個特徵值,設其重數為k,則對應齊次方程組的基礎解系由k個向量構成,即為對應的線性無關的特徵向量。

9樓:電燈劍客

如果ax=λx, b=p^ap

那麼ax=pbp^x=λx, b(p^x)=λ(p^x)

10樓:鹹魚只會喊

如果ax=λx, by=λy,b=p^ap,那麼x=py

線性代數,特徵值個數跟特徵向量個數什麼關係?題目n個不同的特徵值說明了什麼?謝謝

11樓:angela韓雪倩

n階矩陣最多有n個不同的特徵值。

矩陣可以有無數個特徵向量。

相同特徵值可以對應不同的特徵向量,不同特徵值一定對應不同的特徵向量。

設a是n階方陣,如果數λ和n維非零列向量x使關係式ax=λx成立,那麼這樣的數λ稱為矩陣a特徵值,非零向量x稱為a的對應於特徵值λ的特徵向量。式ax=λx也可寫成( a-λe)x=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組,它有非零解的充分必要條件是係數行列式| a-λe|=0。

線性方程組中 基礎解系和解向量之間的關係是什麼?

12樓:demon陌

基礎解系是齊次線性方程組的解中的一些特殊解,這些解能表示出所有解,並且個數最少。解向量就是方程組的解。

x1,x2不是基礎解系,基礎解析必然和原始方程中x的分量個數一樣,x1,x2只是用於解出基礎解系的中間變數而已。n1,n2才是基礎解系。

所有解向量(個數無限)都可以由基礎解系線性表示。

解向量的極大線性無關組就是基礎解系。

基礎解系是針對有無數多組解的方程而言,若是齊次線性方程組則應是有效方程的個數少於未知數的個數,若非齊次則應是係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩,且都小於未知數的個數。

13樓:匿名使用者

x1,x2不是基礎解系,基礎解析必然和原始方程中x的分量個數一樣,x1,x2只是用於解出基礎解系的中間變數而已。n1,n2才是基礎解系

所有解向量(個數無限)都可以由基礎解系線性表示

解向量的極大線性無關組就是基礎解系

線性代數問題:為什麼若ab=c,則c的列向量組可由a的列向量組線性表示,c的行向量組可由b的行向量 30

14樓:蘇金浩啊

以3階為例 將a按列分塊(a1,a2,a3) 將b寫成3*3階矩陣 將c按列分塊

即可得到 c的列向量可以由a的列向量線性表出同理將a寫成3*3階矩陣 將b按行分塊 將c按行分塊 即可得到c的向量可由b的行向量線性表示

這是乘法矩陣的兩種表示形式

另外c的行向量不可由a的行向量線性表出因為不滿足矩陣乘法你可以寫寫就明白了

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