1樓：及爾槐
一、 問題的重述 7月1日起，加拿大和俄羅斯允許民航班機飛越北極，此決定可大幅度縮短了北美與亞洲間的飛行時間。據加拿大空中交通管制局估計，如飛越北極，底特律至北京的飛行時可節省4小時。 若飛機飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時980公里；從北京至底特律原來的航行飛經以下10處：
a1(北緯31度，東經122度)； a2(北緯36度，東經140度)； a3(北緯53度，西經165度)； a4(北緯62度，西經150度)； a5(北緯59度，西經140度)； a6(北緯55度，西經135度)； a7(北緯50度，西經130度)； a8(北緯47度，西經125度)； a9(北緯47度，西經122度)； a10(北緯42度，西經87度). 對「北京至底特律的飛行時間可節省4小時」分下面兩個問題，從數學上作合理解釋。 問題（1）設地球是半徑為6371千米的球體； 問題（2）設地球是一旋轉橢球體，赤道半徑為6378千米，子午線短半軸為6357千 米。
二、 問題的摘要 本文針對地球的兩種不同形狀，通過兩地間的航程用公式t=s/v，來對航行時間進行計算，得出航線更改後可節省的時間。 對於問題(1)，由球體上兩點間球面距離以過這兩點的大圓的劣弧最短為依據，分別算出飛機航程更改前後的時間，得到可節省時間4小時3分鐘的結論。 對於問題(2)，本文由簡單到複雜建立了三個數學模型：
1、轉化模型 針對橢球體面上兩點間距離最短值難計算的特點，在橢球體偏心率不大的條件下，依表面積相等原則將橢球體轉化為易計算的球體來進行計算，結論為可節省時間4小時3分鐘。 2、實驗模型 依據數學方法作出大地線，用物理力學原理說明大地線為橢球面上任兩點間的最短球面距離，用做實驗的方法粗略地測出各點間的大地線長，比較航線改變前後的大地線長，得出可節省時間大概為4小時2分鐘。 3、bessel方法 針對模型2中大地線的粗略計算提出的一種精細演算法，用bessel輔助球與橢球的轉化，得出大地線的準確的長度，得出可節省時間為3小時58分，誤差為0.
1%。 三、問題的假設 ①．飛行時儘可能飛最短距離 ②．不考慮地形對飛機的影響(如山脈等使飛機提升高度或繞道飛行) ③．不考慮地球自公轉及萬有引力對飛行的影響 ④．不考慮飛機的加油時間 ⑤．飛機中途不停留上客 四、符號的說明 a0： 北京 a11：
底特律 s(i,j): 飛機從i地飛到j地的弧長距離 v: 飛機的飛行速度(980km/h) t(i,j):
飛機從i地飛到j地的時間 r: 地球的近似半徑(6371km) r 1 : 地球作為球體時飛機飛行的軌道半徑 a:
地球作為橢球時的長軸(即赤道半徑6378km) b: 地球作為橢球時的短軸(即子午線6371km) a：地球作為橢球體時飛機飛行的軌道長軸 b:
地球作為橢球體時飛機飛行的軌道短軸 h: 飛機飛行高度(10km) li : i點的經度 ji:
i點的緯度 t 0 :舊航線從a0到a11所需總時間 t 1 ：新航線從a0到a11所需的總時間 △t：
新舊航線下從a0到a11可節省的時間 s 0 ：舊航線下從a0到a11的總航程 s 1 ：新航線下從a0到a11的總航程 e:
橢圓的偏心率 │ab│：從點a到b的直線距離 ab：在球面上從a點沿大圓到b點的劣弧長 五、問題的分析 1、問題要求節省時間達到4小時，且飛機飛行的速度為定值，由t=s/v知,時間可轉化為路程問題，故主要討論路程的值，從而確定時間。
2、因為飛機繞地球飛行的高度h為定值10km，故在問題(1)時可看作一質點在半徑r1=r+h=6381km的球上運動，在問題(2)中可看作一質點在長軸a=a+h=6388km,短軸為b=b+h=6367km的橢球體上運動。 3、由於飛機飛行時間應儘可能短，所以用航線更改前後的最短航行進行比較，求出時間之差。 六、模型的建立與求解 (一)、 問題 (1) 的求解 因為題中經度、緯度，所以先將其轉化為直角座標系。
建立直角座標系： 1． 0為地球球心 2． z軸：球心指向北極點 3.
x軸：赤道面與格林尼治子午面的交線 4、 y軸：與xoy面垂直 z (地球北極點) m (各方向如圖(1)所示) (格林尼治子午面) r o 易得,地理座標與直角座標間的換算公式(1) :
j y … (1) l x 圖(1) 根據題中的12個點的經、緯度(據查北京〈北緯40，東徑116.33〉，底特律〈北緯43，西徑82.87〉) [1] ，由公式(1)得出十二個地區的三維座標：
(見表(1)) a0 a1 a2 a3 a4 a5 x -2164.69 -2893.9 -3948.
38 -3703.52 -2590.28 -2513.
63 y 4374.142 4631.202 3313.
086 992.355 -1495.5 -2109.
18 z 4095.2 3281.308 3744.
78 5088.107 5625.259 5461.
013 a6 a7 a8 a9 a10 a11 x -2583.95 -2632.34 -2492.
2 -2302.51 247.7885 578.
3363 y -2583.95 -3137.11 -3559.
23 -3684.78 -4728.09 -4623.
42 z 5218.818 4880.469 4659.
454 4659.454 4263.031 4345.
012 表(1) 因為在球體上任意兩點a、b間球面距離的最小值為通過這兩點和球心的大圓劣弧長ab，故飛機從a點沿圓球面飛到b點達到最短時間的路程為ab，即ab為飛行軌跡。 求弧長的方法如下： 由兩點間距離公式，知：
再由余弦定理： 得公式(2) ： …… (2) 把表（1）中資料分別代入公式(2)，即得飛機飛行的最短航程見表（2）：
s(0,1) s(1,2) s(2,3) s(3,4) s(4,5) s(5,6) 1125.829 1758.789 4624.
408 1339.083 641.1639 538.
5959 s(6,7) s(7,8) s(8,9) s(9,10) s(10,11) s(0,11) 651.5371 497.5686 227.
8474 2810.859 356.8882 10603.
4628 表（2） 航線更改前總的最小路程為各段弧長之和,即 飛機航行所需總時間為： t 0 =s 0 /v=14.86997(小時) 更改後從北京直飛底特律的航程s 1 =s(0,11)=10603.
4628km 需時間t 1 =s 1 /v=10.81986(小時) δt=t 0 -t 1 =4.05011(小時) 即節省4小時3分鐘。
( 二 ) 、問題 (2) 的求解 1.轉化模型 求旋轉橢球上兩點間球面距離的最小值與求圓球面上兩點間球面距離的最小值相比，難度大了很多。在偏心率e很小的情況下，考慮到飛機均是在球外表面飛行，那麼外表面的表面積的大小對於飛行來說有很大的影響。
若據面積相等原則，使橢球轉化為一個表面積與之相等的圓球來處理，則會簡化模型，使運算簡單。 轉化如下： 由旋轉橢球表面積公式 圓球表面積公式 ( 為轉化後球的半徑) 由 得, 圓球半徑 進而可得出 代入a=6388，b=6367及e= 的值可得出 =6381.
116081km 利用解問題(1)的方法，同理可得：原航線的時間為14.87024小時，新航線的時間為10.
82006小時，可節省4小時3分鐘，與問題(1)的結果十分近似。 2．實驗模型 在偏心率e較小的情況下，可近似地採取橢球轉化為圓球的方法進行計算。若e稍大時，則將會有很大的偏差。
所以需要考慮一種較為通用的方法，下面先引出大地線的定義： 大地線 ：為空間曲面上的一條空間曲線，曲線上每點的密切面都包含該點的曲面法線。
密切面 ：包含曲面上某一點處的切線及無限接近於該點的另一點之平面。 大地線的物理模型：
在橢圓體面上兩點之間拉緊一根彈性細線，則該細線就是大地線。 本模型物理原理 ： 因為當細線平衡時細線上每點的彈性力的合力必然位於密切面內，而曲面的反作用力的方向與法線一致，此時這兩個力互相抵消，即密切面將包含曲面的法線。
據此物理模型可得出結論：大地線是橢球體上兩點間距離最短的曲線。 根據此物理原理，做如下實驗：
（1 ）器材 ：細線，精度尺，地球儀(1cm：203.
4km) （2 ）步驟 ：先在地球儀找出這12個的位置， 然後用細線分別在兩點間拉緊，再用精度尺量出該細線的長度， 它可近似認為是橢球面上兩點間的大地線的長度，測得的資料見表（3）： s(0,11) s(0,1) s(1,2) s(2,3) s(3,4) s(4,5) 51.
7 4.9 9.4 23.
3 5.2 1.9 s(5,6) s(6,7) s(7,8) s(8,9) s(9,10) s(10,11) 4.
2 1.9 2.2 2.
6 13.8 1.7 表（3） 單位：
cm 由此資料可知：s 0 =14462.12km, s 1 =10516.
057km 則t 0 =14.757266小時，t 1 =10.73067小時 △t= t 0 -t 1 =4.
02596(小時)，即可節省時間約為4小時2分鐘。 因為本實驗測量中肯定會存在較大的誤差，所以只能粗略地算出大約時間。(對於10km的飛行高度相對於較大的長短軸，可忽略不計) 3、bessel方法 實驗模型，直觀簡單，但誤差較大，對於精度要求較高的問題來說，很難完成。
大地測量學中常用長距離大地測量主題的bessel方法 [2] 來完成此種較高精度計算。利用任意半徑的bessel輔助球作為解算的過渡面(這裡採用單位半徑的球)。先確定橢圓體面上諸元素與bessel輔助球上諸元素的對應關係，以便將橢球面上的已知元素換算至bessel輔助球面上，然後在bessel輔助球面上求解大地測量主題，然後再返回到橢球上。
bessel方法的具體推導過程可參見《大地測量學》 [3] 的p 46 —p 55 ，此僅運用其數學演算法。 (以下各式中未定義的符號均為大地測量中的專有符號，具體可參見《大地測量學》 [3] ) 演算法如下： 若知a(j 1 ，l 1 ) , b(j 2 ， l 2 ) 可作如下轉化：
△l=l 2 -l 1 (a m 為ab最高點的方向角) (a 1 為a點處的方向角) 由bessel法可知: 公式（3） ……(3) (s表示bessel輔助球球面上兩點的弧長，本文采用單位圓球) 由已知經、緯度用以上演算法可得各k值，及在bessel輔助球上的s(s的求法如問題(1)),用matlab軟體對弧長s積分可得出s，所得資料見表(4)： a0-a1 a1-a2 a2-a3 a3-a4 a4-a5 a5-a6 k 0.
005775 0.002531 0.004255 0.
005857 0.005505 0.006061 0.
176435 0.275629 0.724715 0.
209855 0.10048 0.084406 s 1123.
4 1755 4615.8 1366.2 639.
7621 537.4169 a6-a7 a7-a8 a8-a9 a9-a10 a10-a11 a0-a11 k 0.006021 0.
005068 0.003566 0.003567 0.
005191 0.006054 0.102106 0.
072977 0.035707 0.440504 0.
05593 1.666309 s 650.1157 464.
6466 227.3466 2805 356.1073 10626 表(4) 航線更改前ｓ 0 =14510.
8km, 更改後s 1 =10626km 更改前t 0 =14.80693小時， 更改後t 1 =10.84286小時 =3.
964077小時，約為3小時58分，且與上幾模型中的結果近似相等。 因為bessel方法在計算大地線長時的誤差為0.1%，故算得的時間誤差也為0.
1%. 七、模型的評價與改進 對於問題(1)本文從問題的要求出發，建立了較一般的數學模型，優點為方法簡單，運算簡便，缺點為本模型只針對圓球體，具有一定的侷限性。轉化模型在e較小的時，將複雜問題轉化為簡單問題，，可得出較滿意的結果。
其轉化思想可用於多種實際近似問題中，得出近似程度較好的結果。實驗模型，容易理解，操作簡單，運算簡便，不失為一種較好的方法。而bessel演算法則具有一定的廣泛性，對於任意橢球體上任兩點間的大地線長，均可得出一較準確、精細的結果。
在設計築路，修水渠路徑等實際問題，以及在計算航天衛星等的軌道時都具有很大的幫助。且在具體的運用中，可針對不同的要求選擇不同的模型。 由於在模型中沒有考慮到地球的自公轉，天氣，地形等對飛行的影響，故可針對在不同的情況下，進行綜合考慮。
同時，需考慮到飛機飛行的安全性問題而更改一些航線的問題，同時，若從經濟的角度上分析飛機中途停留上客或加油 ，及乘客轉機等問題，對本模型進行改進，從而使本模型更具有實際意義。
數學建模題，有沒有大佬會，急求答案
某大型牙膏製造企業主要生產a b兩種型號的普通牙膏，企業為了更好的拓展產品市場，使企業獲利最大。公司董事會要求銷售部門根據市場調查，找出a b兩種牙膏銷售量與銷售 等之間的關係，從而 出不同 下的銷售量，以制定一個合理的生產計劃，使得公司所獲總利潤最大。為此，銷售部的研究人員收集了過去15個週期 每...
求以下數學題的答案，跪謝，急求這道題的答案！速度！！！跪謝
1 24 4 6分米 5 4 3 12份長 6x5 12 2.5分米 寬 6x4 12 2分米 高 6x3 12 1.5分米 體積 2.5x2x1.5 7.5立方分米 表面積 2.5 2 2 1,5 2.5 1.5 2 23.5平方分米 2 鐵塊的體積是 10 10 10 1000 立方厘米 圓錐的...
幾道奧數題，求高人指點，一道小學奧數題 答案網上有很多種 求高人指點
小百合 1 甲數減負8，乙數加負7，丙數乘 負 6，丁數除以負5所得結果都為a 則甲乙丙丁分別是 a 8,a 7,a 6,5aa 8 a 7 a 6 5a 94 a 30 5 30 30 8 188 2 2013 3 11 61 因此，長 寬 高分別是61 11 3 4 61 2 4 11 2 4 ...