1樓：小知愛綜合
n個向量的向量組，至多表示n維線性空間。如果它能表示n維，就是線性無關的，滿秩的，秩為n. 1個非零向量，可以表示1維線性空間，所以秩為1，滿秩。
注意，向量組所對應的矩陣不一定是方陣，所以這裡的滿秩指的是秩等於向量的個數。
n個向量的向量組，如果不能表示n維空間，至多能表示k維空間，k＜n，那麼這個向量組線性相關，秩為k。
擴充套件：
只由乙個零向量構成的向量組，可以定義為線性相關。雖然沒有別的向量，但是零向量不能表示任何維度，1個向量只能表示0維線性空間，故線性相關。
線性無關以下幾個定義基本上是等價的：
1.向量組所有向量的線性組合，若係數不全為0，則結果一定是非零向量。
個向量的向量組能表示n維線性空間。
個向量的向量組的秩等於n。
4.向量組中任何乙個向量，都不能被其它向量線性表出。
5.向量組中去除任何乙個向量，都會降秩。
2樓：雙子佳
上乙個錯誤，單獨乙個非零向量一定是線性無關的。而單獨乙個零向量一定是線性相關的。因為根據線性相關的定義，對於乙個向量組中的向量，a1到am，當存在不全為0的k1...
km，使得k1a1+k2a2+..kmam=0，則稱向量組a1,a2,..am線性相關。
而單獨乙個非零向量，只要係數不取0，都一定不會是0.所以單獨乙個非零向量一定線性無關。
向量組中含有零向量就一定呈線性相關嗎?
3樓：熱愛旅遊知識
向量組中含有零向量一定呈線性相關。向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。
需要重點強調的是：等價的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價。向量組a：
a1，a2，…am與向量組b：b1，b2，…bn的等價秩相等條件是r（a）=r（b）=r（a，b），其中a和b是向量組a和b所構成的矩陣。
區別：一）含義不同。
1、向量組是由若干同維數的列向量（或同維數的行向量）組成的集合。
2、矩陣是乙個按照長方陣列排列的複數或實數集合，由向量組構成。
二）特點不同：向量組是有限個相同維數的行向量或者列向量，其中向量是由n個實陣列成的有序陣列，是乙個n*1的矩陣(n維列向量)或是乙個1*n的矩陣(n維行向量)。
n個向量線性無關，其中n-1個向量一定線性無關嗎？
4樓：網友
當然：任意線性無關組的子集合總是線性無關的。
證明：若乙個向量組線性無關，則它的任何乙個部分向量組也線性無關。
5樓：長孫梅花幹冬
反證法向量組線性無關。
假設部分向量組。
是1,2,..n的乙個子集。
若線性相關。
則存在不全為零的數列，使得sigma
kniani
0然後把向量組補全，令補上的向量的kn全是0（kni依舊不變）
我們就有。sigma
knan0,其中kn不全為零，這與原線性向量組線性無關矛盾所以矛盾。
原結論成立。
6樓：富微蘭始橋
反證法：若某乙個部分向量組線性相關，則原向量組線性相關設原向量組為x1,x2……xn,如果某個部分向量組線性相關比如x1,x2,x3,就是說a1*x1+a2*x2+a3*x3=0時，a1,a2,a3,不全為0，則對b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0該式成立，就是b1到bn不全為0
所以原向量組線性相關。
7樓：仉孝烏己
你的「向量之間彼此線性無關」是什麼意思？是說這組向量中，任何兩個向量都線性無關嗎？
如果是這樣的話，不一定成立。
就以三個向量的向量組為例：
a=（1，0，0）；b=（0，1，0）；c=（1，1，0）a和b線性無關，b和c線性無關，c和a線性無關。但是c=a+b，a、b、c之間線性相關。
8樓：職場達人承老師
令向量組的線性組合為零（零向量），研究係數的取值情況，線性組合為零若且唯若係數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的係數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。
2、向量組的相關性質。
1）當向量組所含向量的個數與向量的維數相等時，該向量組構成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組線性無關；
2）當向量組所含向量的個數多於向量的維數時，該向量組一定線性相關；
3）通過向量組的正交性研究向量組的相關性；
4）通過向量組構成的齊次線性方程組解的情況判斷向量組的線性相關性；線性方程組有非零解向量組就線性相關，反之，線性無關。
5）通過向量組的秩研究向量組的相關性。若向量組的秩等於向量的個數，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小於向量的個數，則該向量組是線性相關的。
為什麼包含零向量的向量組一定線性無關呢
9樓：乾萊資訊諮詢
說反了，是包含0向量的向量組一定線性相關才對。
因為一組向量，如果能找到一組不全為0的係數，使得這組向量和係數相乘後相加，得到0向量，那麼就是線性相關，如果不能找到這樣一組不全為0的係數，就是線性無關。
如果向量組中，有1個0向量，那麼只要這個0向量的係數不為0，其他向量的係數都為0，那麼這就是一組不全為0的係數，而這樣相乘相加後，結果就是0向量。
所以含有0向量的向量組一定線性相關。
含有非零向量的向量組一定有極大線性無關組為什麼?
10樓：新科技
線畝肢性無關組迅巧世寬衡的性質是k1a1+k2a2+.knan=0,其中k1,k2,k3...都是0
如果都是零向量。
的話那麼可以都取不為0的數，如果有1個非零向量，那麼就有乙個ki為0,所以含有非零向量的向量組一定有極大線性無關組。
乙個向量組的極大線性無關組一定可以線性表示這個向量組中其餘向量嗎
11樓：天羅網
當然。可以證明。
假設向量組的極大無關組是x1、x2、……xi.這個向量組有另外乙個向量m.
因為x1、x2、……xi是極大無關組，所以m、x1、x2……xi是線性相關的。（極大無關組的定義）
即至少有一組不全為0的係陣列k、k1、k2……ki使得km+k1x1+k2x2+……kixi=0
假設k=0,那麼係陣列就是k1、k2……ki不全為0,且k1x1+k2x2+……kixi=0,這和x1、x2、……xi是極大無關組矛盾。
所以k≠0.
所以m=（-k1/k）x1+（-k2/k）x2+……ki/k）xi
即m能用x1、x2、……xi線性表示。
由一組線性無關的向量表示的向量之間是否線性無關?
12樓：亞浩科技
設向量組為戚清：α,如果存在p1,p2,p3使得p1α+p2β+p3γ=0
1）當p1,p2,p3不全為0,等式成立，則α,β線性相關茄者。
2）僅當p1=p2=p3=0時，等式成立，則α,β線性無高納前關。
設向量組線性無關，證明向量也線性無關？
13樓：網友
令k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3α3=0得k1α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0因為α1，α2，α3線性無關，所以有k1=0，k1+k2=0，k2+k3=0
解得k1=k2=k3=0，說明係數只能全為0，所以α1+α2，α2+α3，α3線性無關。
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