1樓：匿名使用者
江蘇省鹽城市2008-2009學年度高三年級第二次調研考試
數 學 試 題
(總分160分,考試時間120分鐘)
參考公式：
球的體積公式 ( 為球的半徑).
柱體的體積公式 (其中 為底面積, 為高).
線性迴歸方程的係數公式為 .
一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.
1．設複數 ,則 = ▲ .
2．已知函式 的定義域為集合 , 為自然數集,則 = ▲ .
3．直線 與直線 平行的充要條件是 ▲ .
4．執行如圖所示的偽**,輸出的結果是 ▲ .
5．某幾何體的三檢視如圖所示,主檢視與左檢視中兩矩形的長和寬分別為4與2，俯檢視中兩同心圓的直徑分別為4與2，則該幾何體的體積等於 ▲ .
6．雙曲線 的頂點到它的漸近線的距離為 ▲ .
7．已知 ，則 = ▲ .
8．已知 之間的一組資料如下表:
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
對於表中資料,現給出如下擬合直線:① 、② 、③ 、④ ,則根據最小二乘思想得擬合程度最好的直線是 ▲ (填序號).
9．數列 滿足 , , 是 的前n項和,則 ＝ ▲ .
10．國際上鑽石的重量計量單位為克拉.已知某
種鑽石的價值v（美元）與其重量 (克拉)
的平方成正比，若把一顆鑽石切割成重量
分別為 的兩顆鑽石,且價值損失的
百分率= (切割中
重量損耗不計),則價值損失的百分率的最大值
為 ▲ .
11．如圖所示的三角形數陣中，滿足：（1）第1行的數為1；（2）第n（n≥2)行首尾兩數均為n，其餘的數都等於它肩上的兩個數相加，則第 行中第2個數是 ▲ （用n表示）.
12．已知函式 ( 是自然對數的底數),若實數 是方程 的解,且 ,則 ▲ (填「＞」，「≥」，「＜」，「≤」).
13．已知 是平面上不共線三點，設 為線段 垂直平分線上任意一點，若 ， ，則 的值為 ▲ .
14. 已知關於x的方程 有三個不同的實數解，則實數k的取值範圍是 ▲ .
二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區域內.
15．(本小題滿分14分)
等可能地取點 ，其中 ．
（ⅰ）當 時，求點 滿足 的概率；
（ⅱ）當 時，求點 滿足 的概率．
16．(本小題滿分14分)
如圖,在直三稜柱 中, ， 分別是 的中點，且 .
(ⅰ)求證： ；
(ⅱ)求證： 平面 .
17．(本小題滿分14分)
已知 的三個內角 所對的邊分別為 ,且 .
(ⅰ)求角 的大小；
(ⅱ)現給出三個條件：① ；② ；③ .
試從中選擇兩個條件求 的面積(注：只需選擇一個方案答題,如果用多種方案答題,則按第一種方案給分).
18．(本小題滿分16分)
已知橢圓 的右焦點為f,右準線為 ，且直線 與 相交於a點.
(ⅰ)若⊙c經過o、f、a三點,求⊙c的方程；
(ⅱ)當 變化時, 求證：⊙c經過除原點o外的另一個定點b；
(ⅲ)若 時,求橢圓離心率 的範圍.
19．(本小題滿分16分)
設首項為 的正項數列 的前 項和為 , 為非零常數,已知對任意正整數 , 總成立.
（ⅰ）求證：數列 是等比數列；
（ⅱ）若不等的正整數 成等差數列，試比較 與 的大小；
（ⅲ）若不等的正整數 成等比數列，試比較 與 的大小.
20．(本小題滿分16分)
已知 ,
且 .(ⅰ)當 時,求 在 處的切線方程；
(ⅱ)當 時,設 所對應的自變數取值區間的長度為 (閉區間
的長度定義為 ),試求 的最大值；
(ⅲ)是否存在這樣的 ，使得當 時, ?若存在,求出 的取值範圍；若不存在，請說明理由.
鹽城市2008/2009學年度高三年級第二次調研
數學試題參***
一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.
1. 2. 3. 4.25 5. 6.
7. 8.③ 9.6 10.50%(填0.5， 都算對)
11. 12.＜ 13.12 14. 或
二、 解答題：本大題共6小題，計90分.
15.解:（ⅰ）當 時，點p共有28個，而滿足 的點p有19個，
從而所求的概
………………………………………………………………………(7分)
（ⅱ）當 時,由 構成的矩形的面積為 ,而滿足
的區域的面積為 ，故所求的概率為 ……………………………………(14分)
16.證:(ⅰ)連線 交 於 ,連線 .
∵ 分別是 的中點，∴ ‖ 且 = ,∴四邊形 是矩形.
∴ 是 的中點………………………………………………………………………………(3分)
又∵ 是 的中點,∴ ‖ ……………………………………………………………(5分)
則由 , ,得 ‖ ………………………………………(7分)
(注:利用面面平行來證明的,類似給分)
(ⅱ) ∵在直三稜柱 中， ⊥底面 ,∴ ⊥ .
又∵ ,即 ⊥ ,∴ ⊥面 ………………………(9分)
而 面 ,∴ ⊥ ……………………………………………………………(12分)
又 ,∴ 平面 ……………………………………………………………(14分)
17. 解:(ⅰ)由 ,得
,所以 ………………………………………………(4分)
則 ,所以 ……………………………………………………(7分)
(ⅱ)方案一：選擇①③.
∵a=30°,a=1,2c-( +1)b=0，所以 ，則根據餘弦定理，
得 ，解得b= ,則c= …………………(11分)
∴ …………………………………(14分)
方案二：選擇②③. 可轉化為選擇①③解決,類似給分.
(注：選擇①②不能確定三角形)
18. 解:（ⅰ） ,即 ,
,準線 , ……………………………………………………(2分)
設⊙c的方程為 ,將o、f、a三點座標代入得：
,解得 ………………………………………………………(4分)
∴⊙c的方程為 ……………………………………………………(5分)
（ⅱ）設點b座標為 ,則 ,整理得：
對任意實數 都成立……………………………………………(7分)
∴ ,解得 或 ,
故當 變化時，⊙c經過除原點o外的另外一個定點b ……………………………(10分)
（ⅲ）由b 、 、 得 ,
∴ ,解得 ……………………………………………(12分)
又 ,∴ ………………………………………………………………(14分)
又橢圓的離心率 （ ）……………………(15分)
∴橢圓的離心率的範圍是 ………………………………………………………(16分)
19. (ⅰ)證:因為對任意正整數 ， 總成立,
令 ，得 ,則 …………………………………………(1分)
令 ，得 (1) , 從而 (2),
(2)－(1)得 , …………………………………………………………………(3分)
綜上得 ,所以數列 是等比數列…………………………………………(4分)
（ⅱ）正整數 成等差數列，則 ,所以 ,
則 ……………………………………………………(7分)
①當 時， ………………………………………………………………(8分)
②當 時， …………………………(9分)
③當 時， ……………………(10分)
（ⅲ）正整數 成等比數列，則 ,則 ,
所以 ， ……………(13分)
①當 ,即 時， ……………………………………………(14分)
②當 ,即 時， ………………………………(15分)
③當 ,即 時， ………………………………(16分)
20. 解: (ⅰ)當 時, .
因為當 時, , ,
且 ,所以當 時, ,且 ……………………………………(3分)
由於 ,所以 ,又 ,
故所求切線方程為 ,
即 …………………………………………………………………(5分)
(ⅱ) 因為 ,所以 ,則
①當 時,因為 , ,
所以由 ,解得 ,
從而當 時, ……………………………………………(6分)
② 當 時,因為 , ,
所以由 ,解得 ,
從而當 時, …………………………………………(7分)
③當 時,因為 ,
從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)
綜上得,當且僅當 時, ,
故 …………………………………………(9分)
從而當 時, 取得最大值為 …………………………………………………(10分)
(ⅲ)「當 時, 」等價於「 對 恆成立」,
即「 (*)對 恆成立」 ……………………………………(11分)
① 當 時, ,則當 時, ,則(*)可化為
,即 ,而當 時, ,
所以 ,從而 適合題意………………………………………………………………(12分)
② 當 時, .
⑴ 當 時,(*)可化為 ,即 ,而 ,
所以 ,此時要求 …………………………………………………………(13分)
（2）當 時,(*)可化為 ,
所以 ,此時只要求 ………………………………………………………(14分)
(3)當 時,(*)可化為 ,即 ,而 ,
所以 ,此時要求 …………………………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得 符合題意要求.
綜合①②知,滿足題意的 存在,且 的取值範圍是 ………………………………(16分)
數學附加題部分
21.a.解：因為pa與圓相切於點a,所以 .而m為pa的中點,
所以pm=ma,則 .
又 ,所以 ,所以 ……………………(5分)
在 中,由 ,
即 ,所以 ,
從而 ……………………………………………………………………………(10分)
b．解: ,所以 = ……………………………(5分)
即在矩陣 的變換下有如下過程, ,
則 ,即曲線 在矩陣 的變換下的解析式為 ……(10分)
c．解:由題設知,圓心 ,故所求切線的直角座標方程
為 ……………………………………………………………………………(6分)
從而所求切線的極座標方程為 ………………………………(10分)
d．證:因為 ,利用柯西不等式,得 …………………………(8分)
即 ………………………………………………………………………(10分)
22．解: (ⅰ)以a為原點,ab、ac、ap分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系a－xyz，
則a(0，0，0),b(2，0，0),c(0，2，0),e(0，1，0),p(0，0，1),
所以 , ……………………………(4分)
故異面直線be與pc所成角的餘弦值為 ……………………………………(5分)
(ⅱ)作pm⊥be交be(或延長線)於m,作cn⊥be交be(或延長線)於n,
則存在實數m、n,使得 , 即
因為 ,所以 ,
解得 ,所以 …………………………………(8分)
所以 ,即為所求二面角的平面角的餘弦值………………(10分)
23．解：(ⅰ) 當 時, ,所以 的係數為 ,
則由 ,解得 ……………………………………………………………………(4分)
(ⅱ) ①由 ,求導得
（ ≥ ）.
令 ,得 ,
即 ,同理 ,
∴ ………………………………………………………(7分)
③ 將 ,兩邊在[0，2]上積分,
得 ,根據微積分基本定理,得 ,
即 ,同理可得 ,
所以 ………………………………(10分)