1樓：立港娜娜
如下：
設﹛xn﹜為有界數列，並設它們全部包含在[a,b]內。如果它不存在收斂子序列，於是對[a,b]內的任
一點x0,都不可能是﹛xn﹜的某個子序列的極限。因此恆存在一個鄰域o﹙x0,δ﹚除了x0可能與有限
個xn相等之外，其內不含其它的xα, 而鄰域系﹛o﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]構成[a,b]一個開覆蓋。由有限覆蓋定理,能從﹛o﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中選出有限個覆蓋[a,b]，當然也覆蓋所有﹛xn﹜。
但是有限個這種鄰域內至多包含有限個xn，產生矛盾。因此﹛xn﹜存在收斂子列，緻密性定理得證。
2樓：薛仁貴
s是你那個數列的集。
反證假設s中沒有聚點。那麼對任意的x屬於s,都存在一個ex, s.t.
x的ex臨域內只有x一個點。於是現在找到了一個無限開覆蓋：x的ex臨域，對任意x。
所以，存在一個有限覆蓋。假設其為x1,x2,....xn.
注意：每個覆蓋內僅有1個s中的點。這一堆覆蓋也才至多有n個，與s是無窮集矛盾。於是證明了。
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