做基礎數學研究的人是怎樣的研究模式

1樓：時空聖使

①邏輯主義。

以羅素和懷特海為代表。他們認為所有數學概念都歸結為自然數算術的概念，而算術概念可藉助邏輯由定義給出。

他們試圖建立一個包括所有數學的邏輯公理系統，並由此推出全部數學。邏輯主義認為數學是邏輯的延伸，在羅素的公理系統中不得不引用了非邏輯的選擇公理和無窮公理。如果沒有這兩條公理就無法推匯出全部算術，更不用說全部數學。

當然，羅素的公理系統充分發展了數理邏輯的公理體系，並且在此基礎上展示了豐富的數學內容，對數理邏輯和數學基礎的研究起了極大的推動作用，貢獻是很大的。

②直覺主義。

又稱構造主義。它的代表人物是。

j.布勞威爾。直覺主義者認為數學產生於直覺，論證只能用構造方法，他們認為自然數是數學的基礎。

當證明一個數學命題正確時，必須給出它的構造方法，否則就是毫無意義的，直覺主義認為古典邏輯是從有窮集合及其子集抽象出來的，把它應用於無窮數學就必然引起矛盾。他們反對在無窮集合中使用排中律。他們不承認實無窮體，認為無窮是潛在的，只不過是無限增長的可能性。

可構造性對數理邏輯及計算技術的發展有重要作用。但直覺主義使數學變得非常繁瑣複雜。失去了數學的美，因而不被大多數數學家接受。

③形式主義。

以d.希爾伯特為代表，可以說是希爾伯特的數學觀點和數學基礎觀點。希爾伯特主張捍衛排中律，他認為要避免數學中的悖論，只要使數學形式化和證明標準化。

為了使形式化後的數學系統不包含矛盾，他創立了證明論(元數學)。他試圖用有窮方法證明各個數學分支的和諧性。2023年k.

哥德爾證明了不完全性定理，表明希爾伯特方案不能成功。後來許多人對希爾伯特方案加以改進。w.

基靈利用超限歸納法證明了算術的無矛盾性。

在數學基礎的研究中，魯賓孫，科恩自稱為形式主義者（希爾伯特本人不認為自己是形式主義者），他們認為數學所研究的不過是一些毫無內容的符號系統，「無窮集」，「無窮整體」等在客觀上是不存在的。

希爾伯特的設想雖然沒有實現，但卻創立了證明論，又促進了遞迴論的發展，因此對數學基礎的研究有很大的貢獻。收起。