1樓：
首先需要設y=(1+1/x)^x，
兩邊同時取自然對數得 lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)
由洛必達法則lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)] (1/x) '/(1/x)'=1/(1+1/x)=1
所以y=e【x→∞】 即lim(x→∞) (1+1/x)^x=e。
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
2樓：小貝貝老師
因為x趨於0，所以lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e
解題過程如下：
原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x
=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x
=lim e(ln(1+x)/x -1)/x
=e lim (ln(1+x)-x)/x²
=e lim (1/(1+x)-1) / 2x
=e lim -x/(2x(1+x))
=lim[(1+x)^(1/x)]
=lim(1+x)^∞
=e求函式極限的方法：
利用函式連續性，直接將趨向值帶入函式自變數中，此時要要求分母不能為0。
當分母等於零時，就不能將趨向值直接代入分母，因式分解，通過約分使分母不會為零。若分母出現根號，可以配一個因子使根號去除。
如果趨向於無窮，分子分母可以同時除以自變數的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數為無窮小）。
採用洛必達法則求極限，當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達，其他形式也可以通過變換成此形式。符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。
3樓：跟張老師學數學
已知x+y=0,xy≠0,如何化簡y/x(x+1)+x/y(y+1)?
4樓：匿名使用者
以上，請採納，不是嚴格證明，但是能說明問題。
5樓：匿名使用者
這是重要極限，lim(x→0)[(1+x)^1/x] = e，本科高等數學教科書上都有證明的。
6樓：
應該是等於e3吧? lim(x→0)(1+3/x)^x =lim(x→0)[(1+3/x)^(x/3)]3 =作換元t=x/3=lim(t→0)[(1+1/t)^t]3 =e3
為什麼lim （x趨於0）(1+x)^(1/x)等於e？
7樓：116貝貝愛
因為x趨於0，所以lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e
解題過程如下：
原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x
=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x
=lim e(ln(1+x)/x -1)/x
=e lim (ln(1+x)-x)/x²
=e lim (1/(1+x)-1) / 2x
=e lim -x/(2x(1+x))
=lim[(1+x)^(1/x)]
=lim(1+x)^∞
=e求函式極限的方法：
利用函式連續性，直接將趨向值帶入函式自變數中，此時要要求分母不能為0。
當分母等於零時，就不能將趨向值直接代入分母，因式分解，通過約分使分母不會為零。若分母出現根號，可以配一個因子使根號去除。
如果趨向於無窮，分子分母可以同時除以自變數的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數為無窮小）。
採用洛必達法則求極限，當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達，其他形式也可以通過變換成此形式。符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。
8樓：薔祀
解：本題利用了洛必達法則進行求解。
首先需要設y=(1+1/x)^x，
兩邊同時取自然對數得 lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)
由洛必達法則lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)] (1/x) '/(1/x)'=1/(1+1/x)=1
所以y=e【x→∞】 即lim(x→∞) (1+1/x)^x=e。
擴充套件資料：
洛必達法則的應用條件：
一是分子分母的極限是否都等於零(或者無窮大)；
二是分子分母在限定的區域內是否分別可導。
如果這兩個條件都滿足，接著求導並判斷求導之後的極限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，則說明此種未定式不可用洛必達法則來解決；如果不確定，即結果仍然為未定式，再在驗證的基礎上繼續使用洛必達法則。
9樓：北極雪
這個問題的證明比較複雜，需要用到高等數學，符號較複雜，難以寫出當x趨於正無窮大或負無窮大時，「1加x分之一的x次方」這個函式表示式（1+1/x）^x的極限就等於e，用公式表示，即：
lim（1+1/x）^x＝e
（x趨於±∞）
實際上e就是尤拉通過這個極限而發現的，它是個無限不迴圈小數，其值等於2.71828……。以e為底的對數叫做自然對數，用符號「ln」表示。
10樓：呦呵你少衝
最簡單的就是可以用複合函式解決：
令y=1/x，則x趨近於0則有y趨近於無窮=> 原式 = lim(y趨於無窮) (1+1/y) ^ y=e
11樓：匿名使用者
如果需要證明的話，有一個簡單方法：
1. (1-1/x)^(-x)=1/((1-1/x)^x)
2. 為了打字方便，只看分母
，也就是(1-1/x)^x=exp(ln((1-1/x)^x)))=exp(x*ln(1-1/x))=exp((ln(1-1/x))/(1/x))，令1/x=t，也就是=exp((ln(1-t))/t) (注意括號的層數)
3. 用洛比達法則：因為分子分母在x趨向正無窮的時候的極限都為0，所以上下求導，lim ln(1-t))/t=lim(-1/(1-t))/1=-1
4. 所以回到2：lim(1-1/x)^x=lim exp(ln((1-1/x)^x)))=exp(-1)=e^-1
5. 回到1： lim(1-1/x)^(-x)=lim1/((1-1/x)^x)=1/e^-1=e
12樓：噓白
因為x趨於0，lim[(1+x)^(1/x)] 等同於 x →∞ lim(1+1/x)^x,這個式子 就e的定義
13樓：單戀著的小豬
解：設y=（1+x）^（1/x）
兩邊同時取自然對數得
lny=（1/x）ln(1+x)=ln(1+x)/x則得lny=ln(1+x)/x=1（當x趨於0時）所以lny=1=lne
即y=e
14樓：無情天魔精緻
設y=(1+1/x)^x
兩邊同時取自然對數得
lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)由羅比達法則lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)] (1/x) '/(1/x)'=1/(1+1/x)=1
所以y=e【x→∞】
即lim(x→∞) (1+1/x)^x=e
15樓：
因為x趨於0，lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e
limx趨近於0時。sin1 x的極限是什麼？x sin
x趨於0時x.sin1 x的極限為0的原因 limsin 1 x 1 x 0 上述沒有極限，因為正弦函式為週期連續函式，1 x為無窮量，sin1 x為不定值，因而沒有極限。limxsin 1 x 2 x 0 正弦函式為週期連續函式，sin1 x 1，是有限值，x為無窮小量，兩者相乘仍為無窮小量，其極...
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