1樓：陶思瑩婁兒
用反證法。若不然，則對任意實數m>0,總存在實數xm>a,使得|f(xm)|>m.可令m=1,2,3,...
,則得一無窮數列.(xm>a).且有|f(xm)|>m.
(1)若數列有界，則由維爾斯特拉斯定理知，數列必有一子列存在極限，可設limx"n=k,(n--->+∞,且k≥a).由題設，函式f(x)在點k處連續，必在包含點k的一個小區間內有界，且limf(x)=f(k).(x-->k).
===>limf(x"n)=f(k).但由假設知，|f(x"n)|--->+∞,矛盾。（2）若數列無界，則必有一子列,limx"n=+∞.
且lim|f(x"n)|=+∞.這與limf(x)=a矛盾。原命題得證。
2樓：鈔麥商流
首先，收斂和有極限是一個概念。
其次，函式收斂能推出它是區域性有界的。【關於這個區域性，如果已知的是x→x0時函式有極限，則這個區域性是指x0的某個δ臨域；如果已知的是x→∞時函式有極限，則這個區域性指的是x>+∞或x<-∞】
但是有界不一定能推出收斂（有極限）【如函式f(x)=sinx,它是有界的，但當x→∞
時它並不收斂。】
綜上，收斂<=>有極限
收斂=>有界
高數：收斂，有界，有極限 之間的聯絡與區別到底是什麼？
3樓：粒下
收斂是指會聚於一點，向某一值靠近。如數列收斂，函式收斂的定義。
數列收斂
令為一個數列，且a為一個固定的實數，如果對於任意給出的b>0,存在一個正整數n，使得對於任意n>n,有|a n-a|函式收斂
定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則：關於函式f(x)在點x0處的收斂定義。對於任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|函式的有界性
設函式f(x)的定義域為d，f（x）集合d上有定義。
如果存在數k1，使得 f(x)≤k1對任意x∈d都成立，則稱函式f(x)在d上有上界。
反之，如果存在數字k2，使得 f(x)≥k2對任意x∈d都成立，則稱函式f(x)在d上有下界，而k2稱為函式f(x)在d上的一個下界。
如果存在正數m，使得 |f(x)|≤m 對任意x∈d都成立，則稱函式在x上有界。如果這樣的m不存在，就稱函式f(x)在x上無界；等價於，無論對於任何正數m，總存在x1屬於x，使得|f(x1)|>m，那麼函式f(x)在x上無界。
此外，函式f(x)在x上有界的充分必要條件是它在x上既有上界也有下界。
函式極限
設函式f(x）在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<∣x0-x∣<δ時，對應的函式值f(x）都滿足不等式：
那麼常數a就叫做函式f(x）當x－﹥x0時的極限。
函式有界，但不一定收斂。比如函式y=sinx此類的三角函式是發散的。
函式收斂，但不一定有界，比如函式y=1/n，n為自然數，y=1/n是無界的。
函式極限存在，根據單調有界準則，函式必定收斂。
函式極限存在，根據極限的有界性，函式必定有界。
函式有界，但不一定存在極限；根據單調有界準則，函式極限應存在上界和下界才能成立。此外函式有界有存在單側有界的情況。
擴充套件資料:
函式極限存在準則
1、夾逼定理
當x0在δ的去心鄰域時，有g（x）－﹥x0=a，h（x）－﹥x0=a成立，且∣a m-a n∣<ξ，那麼，f(x)極限存在，且等於a。
2、單調有界準則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。
在運用以上兩條去求函式的極限時尤需注意以下關鍵之點。
一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函式 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函式 的極限值。
3、柯西準則
數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在n(ε),使得當n>n,m>n時，都有極限值為a成立。
4樓：qjxin在路上
收斂就是有極限
單調有界必收斂
收斂必有界
5樓：我薇號
數列:有極限一定有界,有界不一定有極限(如數列:1,-1,1,-1……則有界但無極限).
無窮小則極限為0;(n趨於無窮大時)極限為0則為無窮小.無窮小(n趨於無窮大時)則有界;有界則不一定無窮小(如數列:an=1+(1/n)有界但不是無窮小 )
涵數【自變數在同一變化範圍內】:(在這一範圍內)有極限則有界;有界且有單調性則有極限.(在某一範圍內)若極限為0則在這一範圍內為無窮小;反之成立.
(在某一範圍內)若是無窮小則在這範圍內有界;在某一範圍內若有界且單調則有極限但不一定是無窮小
6樓：匿名使用者
收斂即有極限
收斂可以推出有界，但有界未必收斂
有界不一定有極限，但是單調有界必有極限
收斂、連續、有界的關係？
7樓：月似當時
收斂必然有界，反之不一定；連續是說函式在某範圍是一條不間斷的曲線。與收斂、有界，沒有必然關係。
比如，數列是典型的不連續函式，但是，可以收斂、有界；y=sinx是典型的有界、處處收斂、連續的函式。
擴充套件資料
對於任意的x0∈[a,b],由迭代式xk+1=φ（xk）所產生的點列收斂，即其當k→∞時，xk的極限趨於x*，則稱xk+1=φ（xk）在[a，b]上收斂於x*。
若存在x*在某鄰域r=,對任何的x0∈r，由xk+1=φ（xk）所產生的點列收斂，則稱xk+1=φ（xk）在r上收斂於x*。
關於函式的有界性，應注意以下兩點：
(1)函式在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；
(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界。如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那麼函式一定是無界的。
8樓：匿名使用者
收斂就是說數列有極限。
「極限」是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的「極限」是指「無限靠近而永遠不能到達」的意思。數學中的「極限」指：某一個函式中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值a不斷地逼近而「永遠不能夠重合到a」（「永遠不能夠等於a，但是取等於a『已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變數的變化，被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近a點的趨勢」。
極限是一種「變化狀態」的描述。此變數永遠趨近的值a叫做「極限值」（當然也可以用其他符號表示）。
可定義某一個數列的收斂：
設為一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a，對於任意正數ε （不論其多麼小），總存在正整數n，使得當n>n時，均有這個不等式，那麼就稱常數a是數列 的極限，或稱數列 收斂於a。
注意：擺動數列是沒有極限的。
無窮常數數列的極限為這個數本身，這個極限是可以達到的。
9樓：我曾經任性過
收斂是指函式有極限，極限乃微積分中的基礎概念，它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。在現代的數學分析教科書中，幾乎所有基本概念（連續、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎之上。
ps1：有界集：
設在r中有一個集合a，如果存在正數m<∞：
|x-y|≤m，其中任意x,y∈a；
就稱a為有界集，即a是有界的
函式的有界性與其他函式性質（函式的性質：有界性，單調性，週期性，連續性，可積性。）之間的關係
閉區間上的單調函式必有界。其逆命題不成立。
閉區間上的連續函式必有界。其逆命題不成立。
閉區間上的可積函式必有界。其逆命題不成立。
極限和導數關係密切,而關於函式的導數和連續有比較經典的四句話：
1、連續的函式不一定可導.
2、可導的函式是連續的函式.
3、越是高階可導函式曲線越是光滑.
4、存在處處連續但處處不可導的函式.（比如y=|x|）所以可導與連續的關係：可導必連續，連續不一定可導；
可微與連續的關係：可微與可導是一樣的；
可積與連續的關係：可積不一定連續，連續必定可積；
可導與可積的關係：可導一般可積，可積推不出一定可導或者說，每個函式的特性不一樣，就又有各種各樣的極限和有界，在這個前提下，連續才可以被討論和測定
10樓：老村長
首先，收斂和有極限是一個概念。其次，函式收斂能推出它是區域性有界的。【關於這個區域性，如果已知的是x→x0時函式有極限，則這個區域性是指x0的某個δ臨域；如果已知的是x→∞時函式有極限，則這個區域性指的是x>+∞或x<-∞】但是有界不一定能推出收斂（有極限）【如函式f(x)=sinx,它是有界的，但當x→∞時它並不收斂。
】 綜上，收斂<=>有極限 收斂=>有界
11樓：匿名使用者
有界不一定收斂,收斂一定有界。
單調有界連續函式一定收斂
單調函式不一定連續，也不一定有界，
比如y=1/x，單調減， x=0時間斷，無界。
12樓：武雲霞上的青菜
收斂可以推出有界,但有界不能推出收斂,必須使單調有界函式才收斂.
一致連續描述的是一個函式在某區間上的連續程度;,等度連續描述的是一個函式族中所有的函式在某區間上的連續程度,
而收斂是連線函式列與某個函式的橋樑.連續、收斂、在有界閉區間上的關係,並對相應結果給出出證明.
13樓：筱磊這個名字好
可微一定可導,可導一定連續,在二元函式中可微能夠推出偏導數存在,
但偏導數存在不能推出可微.
收斂可以推出有界,但有界不能推出收斂,必須使單調有界函式才收斂.
14樓：露西陌言
如果說兩者是否有界的關係，此時「界」用「度」來替換更為合適
收放有度，適度，得體既是一種收斂，又為連續做了鋪墊、依據。
15樓：匿名使用者
1、如果討論物件為函式，則函式沒有收斂的概念，且要看在什麼區間討論（1）若是有限區間中的[a,b]——連續必有界，有界未必連續；
（2）若是有限區間中的其他區間——連續未必有界，有界未必連續；
（3）若是無限區間，比如（-∞.+∞），那麼——連續未必有界，有界也未必連續。
2、如果討論物件為數列，則數列沒有連續的概念，只有——收斂必有界，有界未必收斂
16樓：精銳崇明張老師
收斂必有界，有界不一定收斂
收斂必連續，連續不一定收斂
連續不一定有界，有界不一定連續
17樓：金牛
大家快點快點快點快點快點**休閒褲大碼倒買倒賣
18樓：平面鏡的假期
好像書上有明確定義 在極限那塊
19樓：化成天下
這個很複雜的：
首先函式與數列分開
我們先定義了數列的
收斂， 然後到函式的收斂
而函式的連續式建立在收斂的定義上的。
至於有界問題，要看是在什麼樣的區域上了。
如果連續函式在閉區間上， 那麼有cantor定理可知函式一直連續，且此時函式有界，
如果區間不是有界的，不一定了，舉個例子了：1／x在 （0,1）開區間： 所以可能無界：這個函式取值（1， infinity）
什麼樣的函式才有極限，函式有極限的條件是什麼？
如果只說求某某函式的極限，別人是不明白的，還必須要指明自變數 例如x 是如何變化的。考慮自變數的變化趨勢，有x x0 x0是某個實數，這有多少種？與x 細分的話，還有x從左邊趨向於x0 從右邊趨向於x0 趨向於正無窮大 趨向於負無窮大。還不要忘記，我們研究函式的極限是有前提條件的 研究x x0時的極...
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小派和寶寶 最好提出法院訴訟，這樣的女人從她有了第三者就不應該相信她，她不僅在精神上傷害了你，而且還傷害了你的自尊，你已經原諒她一次，她不知悔改，第二次又背叛了你對她的信任，還捲走了你的私有財產，為了孩子著想，儘早和她離婚，讓她做孩子的母親只會帶壞孩子，這樣的女人已經不能再信任了，這樣的女人也不值得...
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