函式有極限,有界,收斂三者是這樣的關係

時間 2021-08-11 17:08:12

1樓:陶思瑩婁兒

用反證法。若不然,則對任意實數m>0,總存在實數xm>a,使得|f(xm)|>m.可令m=1,2,3,...

,則得一無窮數列.(xm>a).且有|f(xm)|>m.

(1)若數列有界,則由維爾斯特拉斯定理知,數列必有一子列存在極限,可設limx"n=k,(n--->+∞,且k≥a).由題設,函式f(x)在點k處連續,必在包含點k的一個小區間內有界,且limf(x)=f(k).(x-->k).

===>limf(x"n)=f(k).但由假設知,|f(x"n)|--->+∞,矛盾。(2)若數列無界,則必有一子列,limx"n=+∞.

且lim|f(x"n)|=+∞.這與limf(x)=a矛盾。原命題得證。

2樓:鈔麥商流

首先,收斂和有極限是一個概念。

其次,函式收斂能推出它是區域性有界的。【關於這個區域性,如果已知的是x→x0時函式有極限,則這個區域性是指x0的某個δ臨域;如果已知的是x→∞時函式有極限,則這個區域性指的是x>+∞或x<-∞】

但是有界不一定能推出收斂(有極限)【如函式f(x)=sinx,它是有界的,但當x→∞

時它並不收斂。】

綜上,收斂<=>有極限

收斂=>有界

高數:收斂,有界,有極限 之間的聯絡與區別到底是什麼?

3樓:粒下

收斂是指會聚於一點,向某一值靠近。如數列收斂,函式收斂的定義。

數列收斂

令為一個數列,且a為一個固定的實數,如果對於任意給出的b>0,存在一個正整數n,使得對於任意n>n,有|a n-a|函式收斂

定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則:關於函式f(x)在點x0處的收斂定義。對於任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|函式的有界性

設函式f(x)的定義域為d,f(x)集合d上有定義。

如果存在數k1,使得 f(x)≤k1對任意x∈d都成立,則稱函式f(x)在d上有上界。

反之,如果存在數字k2,使得 f(x)≥k2對任意x∈d都成立,則稱函式f(x)在d上有下界,而k2稱為函式f(x)在d上的一個下界。

如果存在正數m,使得 |f(x)|≤m 對任意x∈d都成立,則稱函式在x上有界。如果這樣的m不存在,就稱函式f(x)在x上無界;等價於,無論對於任何正數m,總存在x1屬於x,使得|f(x1)|>m,那麼函式f(x)在x上無界。

此外,函式f(x)在x上有界的充分必要條件是它在x上既有上界也有下界。

函式極限

設函式f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義,如果存在常數a,對於任意給定的正數ε(無論它多麼小),總存在正數δ,使得當x滿足不等式0<∣x0-x∣<δ時,對應的函式值f(x)都滿足不等式:

那麼常數a就叫做函式f(x)當x-﹥x0時的極限。

函式有界,但不一定收斂。比如函式y=sinx此類的三角函式是發散的。

函式收斂,但不一定有界,比如函式y=1/n,n為自然數,y=1/n是無界的。

函式極限存在,根據單調有界準則,函式必定收斂。

函式極限存在,根據極限的有界性,函式必定有界。

函式有界,但不一定存在極限;根據單調有界準則,函式極限應存在上界和下界才能成立。此外函式有界有存在單側有界的情況。

擴充套件資料:

函式極限存在準則

1、夾逼定理

當x0在δ的去心鄰域時,有g(x)-﹥x0=a,h(x)-﹥x0=a成立,且∣a m-a n∣<ξ,那麼,f(x)極限存在,且等於a。

2、單調有界準則:單調增加(減少)有上(下)界的數列必定收斂。

在運用以上兩條去求函式的極限時尤需注意以下關鍵之點。

一是先要用單調有界定理證明收斂,然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函式 ,並且要滿足極限是趨於同一方向 ,從而證明或求得函式 的極限值。

3、柯西準則

數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在n(ε),使得當n>n,m>n時,都有極限值為a成立。

4樓:qjxin在路上

收斂就是有極限

單調有界必收斂

收斂必有界

5樓:我薇號

數列:有極限一定有界,有界不一定有極限(如數列:1,-1,1,-1……則有界但無極限).

無窮小則極限為0;(n趨於無窮大時)極限為0則為無窮小.無窮小(n趨於無窮大時)則有界;有界則不一定無窮小(如數列:an=1+(1/n)有界但不是無窮小 )

涵數【自變數在同一變化範圍內】:(在這一範圍內)有極限則有界;有界且有單調性則有極限.(在某一範圍內)若極限為0則在這一範圍內為無窮小;反之成立.

(在某一範圍內)若是無窮小則在這範圍內有界;在某一範圍內若有界且單調則有極限但不一定是無窮小

6樓:匿名使用者

收斂即有極限

收斂可以推出有界,但有界未必收斂

有界不一定有極限,但是單調有界必有極限

收斂、連續、有界的關係?

7樓:月似當時

收斂必然有界,反之不一定;連續是說函式在某範圍是一條不間斷的曲線。與收斂、有界,沒有必然關係。

比如,數列是典型的不連續函式,但是,可以收斂、有界;y=sinx是典型的有界、處處收斂、連續的函式。

擴充套件資料

對於任意的x0∈[a,b],由迭代式xk+1=φ(xk)所產生的點列收斂,即其當k→∞時,xk的極限趨於x*,則稱xk+1=φ(xk)在[a,b]上收斂於x*。

若存在x*在某鄰域r=,對任何的x0∈r,由xk+1=φ(xk)所產生的點列收斂,則稱xk+1=φ(xk)在r上收斂於x*。

關於函式的有界性,應注意以下兩點:

(1)函式在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界。如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間,那麼函式一定是無界的。

8樓:匿名使用者

收斂就是說數列有極限。

「極限」是數學中的分支——微積分的基礎概念,廣義的「極限」是指「無限靠近而永遠不能到達」的意思。數學中的「極限」指:某一個函式中的某一個變數,此變數在變大(或者變小)的永遠變化的過程中,逐漸向某一個確定的數值a不斷地逼近而「永遠不能夠重合到a」(「永遠不能夠等於a,但是取等於a『已經足夠取得高精度計算結果)的過程中,此變數的變化,被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近a點的趨勢」。

極限是一種「變化狀態」的描述。此變數永遠趨近的值a叫做「極限值」(當然也可以用其他符號表示)。

可定義某一個數列的收斂:

設為一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a,對於任意正數ε (不論其多麼小),總存在正整數n,使得當n>n時,均有這個不等式,那麼就稱常數a是數列 的極限,或稱數列 收斂於a。

注意:擺動數列是沒有極限的。

無窮常數數列的極限為這個數本身,這個極限是可以達到的。

9樓:我曾經任性過

收斂是指函式有極限,極限乃微積分中的基礎概念,它指的是變數在一定的變化過程中,從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值(極限值)。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。在現代的數學分析教科書中,幾乎所有基本概念(連續、微分、積分)都是建立在極限概念的基礎之上。

ps1:有界集:

設在r中有一個集合a,如果存在正數m<∞:

|x-y|≤m,其中任意x,y∈a;

就稱a為有界集,即a是有界的

函式的有界性與其他函式性質(函式的性質:有界性,單調性,週期性,連續性,可積性。)之間的關係

閉區間上的單調函式必有界。其逆命題不成立。

閉區間上的連續函式必有界。其逆命題不成立。

閉區間上的可積函式必有界。其逆命題不成立。

極限和導數關係密切,而關於函式的導數和連續有比較經典的四句話:

1、連續的函式不一定可導.

2、可導的函式是連續的函式.

3、越是高階可導函式曲線越是光滑.

4、存在處處連續但處處不可導的函式.(比如y=|x|)所以可導與連續的關係:可導必連續,連續不一定可導;

可微與連續的關係:可微與可導是一樣的;

可積與連續的關係:可積不一定連續,連續必定可積;

可導與可積的關係:可導一般可積,可積推不出一定可導或者說,每個函式的特性不一樣,就又有各種各樣的極限和有界,在這個前提下,連續才可以被討論和測定

10樓:老村長

首先,收斂和有極限是一個概念。其次,函式收斂能推出它是區域性有界的。【關於這個區域性,如果已知的是x→x0時函式有極限,則這個區域性是指x0的某個δ臨域;如果已知的是x→∞時函式有極限,則這個區域性指的是x>+∞或x<-∞】但是有界不一定能推出收斂(有極限)【如函式f(x)=sinx,它是有界的,但當x→∞時它並不收斂。

】 綜上,收斂<=>有極限 收斂=>有界

11樓:匿名使用者

有界不一定收斂,收斂一定有界。

單調有界連續函式一定收斂

單調函式不一定連續,也不一定有界,

比如y=1/x,單調減, x=0時間斷,無界。

12樓:武雲霞上的青菜

收斂可以推出有界,但有界不能推出收斂,必須使單調有界函式才收斂.

一致連續描述的是一個函式在某區間上的連續程度;,等度連續描述的是一個函式族中所有的函式在某區間上的連續程度,

而收斂是連線函式列與某個函式的橋樑.連續、收斂、在有界閉區間上的關係,並對相應結果給出出證明.

13樓:筱磊這個名字好

可微一定可導,可導一定連續,在二元函式中可微能夠推出偏導數存在,

但偏導數存在不能推出可微.

收斂可以推出有界,但有界不能推出收斂,必須使單調有界函式才收斂.

14樓:露西陌言

如果說兩者是否有界的關係,此時「界」用「度」來替換更為合適

收放有度,適度,得體既是一種收斂,又為連續做了鋪墊、依據。

15樓:匿名使用者

1、如果討論物件為函式,則函式沒有收斂的概念,且要看在什麼區間討論(1)若是有限區間中的[a,b]——連續必有界,有界未必連續;

(2)若是有限區間中的其他區間——連續未必有界,有界未必連續;

(3)若是無限區間,比如(-∞.+∞),那麼——連續未必有界,有界也未必連續。

2、如果討論物件為數列,則數列沒有連續的概念,只有——收斂必有界,有界未必收斂

16樓:精銳崇明張老師

收斂必有界,有界不一定收斂

收斂必連續,連續不一定收斂

連續不一定有界,有界不一定連續

17樓:金牛

大家快點快點快點快點快點**休閒褲大碼倒買倒賣

18樓:平面鏡的假期

好像書上有明確定義 在極限那塊

19樓:化成天下

這個很複雜的:

首先函式與數列分開

我們先定義了數列的

收斂, 然後到函式的收斂

而函式的連續式建立在收斂的定義上的。

至於有界問題,要看是在什麼樣的區域上了。

如果連續函式在閉區間上, 那麼有cantor定理可知函式一直連續,且此時函式有界,

如果區間不是有界的,不一定了,舉個例子了:1/x在 (0,1)開區間: 所以可能無界:這個函式取值(1, infinity)

什麼樣的函式才有極限,函式有極限的條件是什麼?

如果只說求某某函式的極限,別人是不明白的,還必須要指明自變數 例如x 是如何變化的。考慮自變數的變化趨勢,有x x0 x0是某個實數,這有多少種?與x 細分的話,還有x從左邊趨向於x0 從右邊趨向於x0 趨向於正無窮大 趨向於負無窮大。還不要忘記,我們研究函式的極限是有前提條件的 研究x x0時的極...

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