1樓：夏娃的夏天
在利用偏導數求多元函式的極值時，若函式的自變數有附加條件，則稱之為條件極值。這時，可用拉格朗日乘數法求條件極值。
具體方法如下：
設給定二元函式z=ƒ(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=ƒ(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函式l(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ為引數。
求l(x,y)對x和y的一階偏導數，令它們等於零，並與附加條件聯立，即
l'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0
l'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0
φ(x,y)=0
套用到微觀經濟學裡面：設效用函式u(qx,qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函式：l=u(qx,qy)+λ( i-px∙qx-py∙qy)，λ為引數。
求l(x,y)對x和y的一階偏導數，令它們等於零，並與附加條件連立。
即∂l/∂qx=∂u/∂qx-λpx=0 （1）
∂l/∂qy=∂u/∂qy-λpy=0 （2）
i-px∙qx-py∙qy=0 （3）
將方程（1）除以方程（2），得：
∂u/∂qx =px 即 mux = muy
∂u/∂qy =py
所以，消費者要實現兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應該等於**比率。
以上是關於x和y兩種商品所說的，是否同樣適用於多種商品呢？答案是肯定的。如果消費者在n種商品中做出選擇，則消費者均衡的原則可表達為：
mu1=mu2 =mu3 = …=mun
p1= p2= p3=...= pn
這一結論同樣可用拉格朗日乘數法證明。
拉格朗日乘數法可推廣到求n元函式ƒ(x1,x2,…,xn)在m個附加條件φ(x1,x2,…,xn)下的條件極值。
方法如下：
（1）做拉格朗日函式l(x1,x2,…,xn)=ƒ(x1,x2,…,xn)+ ∑λiφi(x1,…x2)；
（2）求l(x1,…xn)關於x1,…xn的偏導數，令它們等於零，並與附加條件聯立，即
l'xi==ƒ'xi+ ∑λiφ'i=0 ,i=1,2,…,n
φk(x1,x2,…,xn)=0 ,k=1,2,…,n
求解此方程組，可得到極值點。
回到我們的問題中，設效用函式u(qx1,qx2,…qxn)，為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函式：
l=u(qx1,qx2,…qxn )+λ(i-px1∙qx1-p2∙qy2-…-pxn∙qxn)，λ為引數。求l(x1,x2,…xn)對x1,…,xn的一階偏導數，令它們等於零，並與附加條件聯立。
即∂l/∂qx1=∂u/∂qx1-λpx1=0 （1）
∂l/∂qx2=∂u/∂qx2-λpx2=0 （2）
∂l/∂qxn=∂u/∂qxn-λpxn=0 （n）
i-px1∙qx1-p2∙qy2-…-pxn∙qxn
將方程（1）到（n）相除，即得，
mux1 = mux2 =…=muxn
px1 =px2 =...=pn
所以，消費者要實現n種商品的效用最大化，邊際效用的比率應該等於**比率。
擴充套件資料：
這種方法將一個有n 個變數與k 個約束條件的最優化問題轉換為一個有n + k個變數的方程組的極值問題，其變數不受任何約束。
這種方法引入了一種新的標量未知數，即拉格朗日乘數：約束方程的梯度（gradient）的線性組合裡每個向量的係數。
設給定二元函式z=ƒ(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=ƒ(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函式
f(x,y,λ)=f(x,y)+λφ（x,y）
其中λ為引數。
令f(x,y,λ)對x和y和λ的一階偏導數等於零，即
f'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0 [1]
f'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0
f'λ=φ(x,y)=0
由上述方程組解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函式z=ƒ(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。
若這樣的點只有一個，由實際問題可直接確定此即所求的點。
函式在約束條件之下的條件極值點應是方程組的解。
引進所謂lagrange函式(稱其中的實數 為lagrange乘數 )，則上述方程組即為方程組。
因此，解決條件極值通常有三種方法：
1）直接的方法是從方程組（1）中解出 並將其表示為 代入 消去 成為變數為 的函式將問題化為函式無條件極值問題；
2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常採用的拉格朗日乘數法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問題化為求下面拉格朗日函式的穩定點問題，然後根據所討論的實際問題的特性判斷出哪些穩定點是所求的極值的。
3）在給定的條件下，若是可以將未知數代換或是解出，則可以將條件極值轉化為無條件極值，從而避免引入拉格朗日乘數的麻煩。
注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的點不會被該方法計算到，因此，若求最大值或最小值時，應把這些點列出來並單獨計算。
2樓：
如果只有兩個方程，那就只能用拉格朗日餘項瞭如果是有三個方程，可以利用一階全微分不變性，目標函式微分為零，方程組係數矩陣a,|a|=0，然後求，至於為什麼這樣做，我也不是很明白，書上是這麼介紹的，求起來很簡單！
3樓：
兄弟，解方程最高境界不是你算出來是多少。。而是你直接看出答案。。。特別是有些方程可以看做是等價方程也就是說y=x，或者y=-x.。。
然後代入約束條件看看滿足不就很輕鬆了。。。如果害怕自己沒有把答案解完，，，那你就用死辦法辦法去算吧。。。畢竟180分鐘，算他兩小時。
一定能算出來
高等數學，拉格朗日乘數法式子的計算問題 用拉格朗日乘數法求條件極值時，式子非常好列，可列出的方程組
4樓：匿名使用者
通常利用對稱性，線性代數的知識等，有些題沒必要解出x，y，z的具體值，這要具體題具體對待了
5樓：匿名使用者
一般都有捷徑，主要是消元法（靠做題加思考加背書），比如這題，由方程1-2，可得（內x-y）*∧容=0，然後假定∧=0，可得u=0，可得出矛盾，所以x=y,由後面兩個方程可得x,y,z的值，從而另倆個也可以求出
6樓：
由前兩個方程可知x=y，因為2x(1-λ)=-μ，2y(1-λ)=-μ，相除即可。
把x=y代入最後兩個方程求解。
高數！ 用拉格朗日乘數法，構造出來的方程組，求解，好麻煩，解這種方程有沒有什麼規律的方法啊？ 例 20
7樓：
一般常規方法做，xyz都化為λ，代入到條件，也就是圖中第四個方程。有時可以用輪換對稱。比如此題x=y，代入後就簡單一些。
8樓：肩挑日月陳平安
這道題是10年的真題吧，可以用係數行列式＝0求解，會簡單很多
9樓：匿名使用者
矩陣求解 方程有解 a的行列式不為零
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