一道數學題

1樓：匿名使用者

孫子定理

中國人在世界數學史上的偉大成就之一 ――――孫子定理

孫子算經是我國古代的一本優良數學書籍,作者與年代不詳成書約在西元270年至

743年間魏晉南北時期,分成上,中,下三卷,上卷敘述籌算的乘除法,中卷敘述

籌算的分數演算法與開方法,是瞭解中國古代籌算很好的資料,下卷收集了一些算術

難題,如「雞兔同籠」,最有名的要算下卷第26題,通常所稱的「孫子問題」或「

物不知其數」,孫子問題不僅是一個有趣的算術問題,而且和中國古代曆法的推算有很密切關係.

孫子問題在中國民間流傳很廣,有「韓信點兵」,「秦王暗點兵」等名稱,其解法也有不同名稱,宋周密稱為「鬼谷算」,「隔牆算」,楊輝稱為「剪管術」秦九韶在其所著「數書九章」(西元2023年)稱為「大衍求一術」等,孫子問題的演算法,英國數學家alexander wylie(1815-1887)經由其著作中國算學叢談一書介紹到西方,稱為「中國剩餘定理」.歐洲直到18-19世紀,尤拉(euler,1707-1789)與高斯(gauss,1777-1855)等人才對此類問題進行研究.比秦九韶等人晚了四,五百年.

孫子問題這類問題的解法屬於數學的一個分支 ―― 數論,在近代數學仍佔有重要地位.方法與原則,反映在插入理論,代數理論及運算元理論,在計算機的設計中也有重要應用.

介紹孫子問題時,先玩一個遊戲

遊戲:「有位魔「數」師,聲稱在1000之內任選一整數,只要告訴魔「數」師,此數除以7,11,13,所得的餘數r1,r2,r3,就能猜出你所選的數.如此數除以7,11,13,所得餘數分別為1,2,3 ,則此數為211.

你知道魔「數」師是如何得知的嗎」

答:5(11×13)r1+4(7×13)r2+12(7×11)r3-α(7×11×13)

= 5(143)r1+4(91)r2+12(77)r3-

韓信點兵

「三人一列,則餘1人,五人一列,則餘2人,七人一列,則餘4人,十三人一列,則餘6人,問兵至少多少人」

答:2(5×7×13)r1+2(3×7×13)r2+6(3×5×13)r3+(3×5×7)r4-α(3×5×7×13)

=2(455)r1+2(273)r2+6(195)r3+(105)r4-α(1365)

至少487+α(1365)

孫子算經中的孫子問題

「物不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二,問物幾何」

答曰:二十三

術曰:三三數之賸二,則置一百四十,五五數之賸三,則置六十三,七七數之賸二,

則置三十,並之得二百三十三,以二百一十減之即得.

三三數之賸一置七十,五五數之賸一置廿一,七七數之賸一置十五.

一百零六以上,以一百零五減之,即得.

明朝程大位在其著作「演算法統宗」,將上述解法以四句詩表示

「三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝

七子團圓正半月,除百零五便得知」

宋代也有四句詩

「三歲孩兒七十稀,五留廿一事尤奇

七度上元重相會,寒食清明便可知」

孫子問題的解法,以現代的說法,是找出三個關鍵數70,21,15.解法的意思就是用70乘3除所得的餘數,21乘5除所得的餘數,15乘7除所得的餘數,然後總加起來,如果大於105,則減105,還大再減,最後所得的正整數就是答案.

即題目的答案為 70×2+21×3+15×2

=140+63+30

=233

233-2×105=23

公式:70r1+21r2+15r3-105α

解法中的三個關鍵數70,21,15,有何妙用,有何性質呢首先70是3除餘1而5與7都除得盡的數,所以70r1是3除餘r1 而5與7都除得盡的數,21是5除餘1,而3與7都除得盡的數,所以21r2是5除餘r2,而3與7除得盡的數.同理,15r3是7除餘r3,3與5除得盡的數,總加起來 70r1+21r2+15r3 是3除餘r1,5除餘r2 ,7除餘r3的數,也就是可能答案之一,但可能不是最小的,這數加減105仍有這樣性質,可以多次減去105而得到最小的正數解.

孫子問題解法中的三個關鍵數70,21,15,是如何找到的呢

例如:70是3除餘1且5與7除得盡的數,就是要找35的倍數中3除餘1的數,即求一整數x,使35x是3的倍數加1,換言之,就是要求兩整數x與y使35x-3y=1.

注:當方程組中方程式的個數少於未知數的個數,且要求解為整數解時,稱方程組

為不定方程式.

euler解法

代回取k =1 得x = 2 , 35x = 70

問題:求20的倍數中,83除之餘1的最小正整數

大衍求一術

秦九韶對這類問題有個獨特解法,稱為大衍求一數,說明如下:

求ni的倍數中,mi 除之餘1的數,就是求αini除以mi 餘1之αi

首先,若ni大於mi時,先求得ni除以mi的餘數g

那麼αini除以mi餘1就是αig除以mi餘1,作法原文如下:

「置奇右上(把g放在右上),定居右下(mi放在右下),立天元於左上左上置1,

左下空著),先以右上除右下(以g除mi),所得商數(q 1)與左上一相生(相

乘)入左下,(加入左下,同時將mi改為mi除以g的餘數r 1)然後乃以右行

上下以少除多,遞互除之(輾轉相除,並不斷以新餘數代替舊餘數),所得商

數隨即遞互累乘,歸左行上下,須使右上末後奇一而止(直算到右上角的數目

變為1才停止)乃驗左上所得,以為乘率(即為αi)

將歷次所得商數為q1, q2 ,…..qn,餘數為r1, r2,.….rn ,

左行上下歷次算得各數為k1, k2, ….kn, 演算圖示如下:

…. ….

圖示中左右兩行歷次變化,以現代算式記成如下左右兩串:

mi = gq1 + r1 ki = q1, k0 =1

g= r1q2 + r2 k2= q2ki+ 1

r1= r2q3 + r3 k3= q3k2 +ki

r2= r3q4 + r4 k4= q4k3 +k2

rn-2= rn-1qn+ rn kn= qnkn-1+kn-2

最後的 kn 就是所求的αi

注:n必需為偶數,若rn-1=1 (n-1為奇數)時,秦九韶,令qn =rn-2 -1多作一次,

使第n次仍為rn =1

問題:求19的倍數中,83除之餘1的最小正整數為何

解:即求乘率 αi 使19αi為83除之餘1的最小正整數,大衍求一術之解法如下:

qn k1= q1 k0= 1

19 14

4 21 283 76

qn kn= qnkn-1+ kn-2

4 42 2×4+ 1 = 9

1 1×9+ 4 = 13

2 2×13+ 9= 35

7 55 42 1即乘率使為 αi= 35 最小正整數為 19×35= 665

問題:求20的倍數中,27除之餘1的最小正整數為何

解: qn k1= q1 k0= 1

20 14

1 21 527 20

qn kn= qnkn-1+ kn-2

1 12 2×1+ 1 = 3

1 1×3+ 1 = 4

5 5×4+ 3 = 23

7 66 51 1即乘率使為 αi= 23 最小正整數為 20×23= 460

問題:分別以euler法與大衍求一術

求65的倍數中83除之餘1的最小正整數

孫子定理

設m1, m2, …,mk為兩兩互質的正整數,m為m1, m2, …,mk 的最小公倍數,

r1, r2, …,rk 為一數x分別除以m1, m2, …,mk 所得的餘數.

令, , …..

則最小的正數x=m1r1+m2r2+….+mkrk -αm

其中為的倍數,且mi 除之餘1的數

問:定理中若m1, m2, …,mk不是都兩兩互質呢

問題:求3除之餘2, 7除之餘3, 11除之餘2的最小正整數

問題:求6除之餘4, 10除之餘8, 9除之餘4的最小正整數

孫子定理與lagrange插入法

問題:有個函式在a,b,c三點的函式值分別為α,β,γ,如何求此函式

孫子定理提供解決這個問題的途徑:

即找一函式以 (x-a) 除之餘α,以 (x-b) 除之餘β,以 (x-c) 除之餘γ.

先作一個函式f(x), 使f(x) 以 (x-a) 除之餘α,以 (x-b) 與 (x-c) 除得盡,

再作一個函式g(x), 使g(x) 以 (x-b) 除之餘β,以 (x-a) 與 (x-c) 除得盡,

最後作一個函式h(x),使h(x) 以 (x-c) 除之餘γ,以 (x-a) 與 (x-b) 除得盡,

這樣 αf(x)+ βg(x)+γh(x) 就適合要求了!

最簡單的f(x)定法如下:f(x) 以(x-b)與(x-c)除得盡,以(x-a)除之餘1

令f(x)=λ(x-b)(x-c)

則f(a)=1 可得λ , 即 f(x)

同法 g(x) , h(x)

因此 αβγ 為問題的一個解答

注:上述這個公式稱為lagrange插入法

一般公式:

不定方程式三個有趣的問題

問題一:有一張清朝康熙年間的發票,歷史學家希望把據這份史料研判當時的米價,

但發票上有幾個重要數字被蟲蛀壞了無法立即看出米價,發票上的字跡為

發奉白粳壹佰伍拾參擔,每擔價銀分,

共計銀兩二錢七分

假設當時每擔米的價錢在一兩以內,問每擔米價為何

問題二:這是2023年10月9日由ben ames williams在報紙

the saturday evening post 所提供的「椰子問題」

有五個人帶著一隻猴子出海,不幸觸礁流落到一荒島上,由於缺乏食

物充飢,第一天下午,他們分頭摘取了許多椰子,預備第二天上午大

家來分配.但是當大家睡覺後,其中有個人醒來,他想反正明天大家

要平分這些椰子,我何不先把我那一份先取出來,於是他把椰子平分

為相同數量的五堆,發現多出一個.他想這一個分給猴子,就將它與

其中一堆藏起來,剩下的椰子又堆在一起,另外四個人輪流醒來,也

跟第一個人有相同想法,也分別做同樣的事,每個人發現分成相同數

量的五堆後,剩下一個椰子給猴子,經過每個人藏了部份椰子,第二

天早上他們開始分配剩下的椰子,結果剛好分成相同數量的五份,一

個都不剩,請問原有椰子共有多少

問題三:張丘建算經的百錢買百雞

(張丘建算經:五世紀中葉南北朝時期作品,共三卷有殘缺,收92個問題)

「今有雞翁一值錢五,雞母一值錢三,雞雛三值錢一,凡百錢買百雞,問

雞翁,雞母,雞雛各幾何」

k n rn

k n-1 rn-1

k 2 r2

k 3 r3

k 2 r2

k 1 r1

1 gk 1 r1

1 g0 mi

一道數學題

一道數學題，一道數學題

一道數學題，一道數學題

一道數學題，求解一道數學題。

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