1樓：楓
證：a，b都是m*n的矩陣，則需證r(a+b)≤r(a)+r(b)
設a的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一個極大線性無關組，β(j1),
β(j2),...,β(jt)是b的列向量的一個極大線性無關組。那麼a的每一個列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)線性表出，b的每一個列向量均可以用β(j1),
β(j2),...,β(jt)線性表出。於是a+b的每一個列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),
α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)線性表出。
因此a+b列向量組中極大線性無關組的向量個數不大於α(i1),α(i2),...,
α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量個數，即r(a+b)≤r+t=r(a)+r(b)
2樓：沈洋然山發
考察相抵變換a0
0b=>a0
ab=>aa
aa+b
右下角子陣的秩當然不超過整個矩陣的秩，從而r(a+b)<=r(a)+r(b)。
3樓：匿名使用者
怎麼可能啊
反例：兩個n階單位矩陣和和秩還是n,肯定小於n+n阿
兩同型矩陣的秩的和大於或等於矩陣和的秩 需要嚴格的證明，謝謝！
4樓：drar_迪麗熱巴
解題過程如下圖：
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的演算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。
無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。
由 m × n 個數aij排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣，簡稱m × n矩陣。記作：
這m×n 個數稱為矩陣a的元素，簡稱為元，數aij位於矩陣a的第i行第j列，稱為矩陣a的(i,j)元，以數 aij為(i,j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣a也記作amn。
元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是複數的矩陣稱為復矩陣。而行數與列數都等於n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。
5樓：匿名使用者
證明見**:
我明白你補充的內容的意思, 你是指**中 倒數第2行 倒數第1個小於等於號 不成立
是吧.其實這一步是因為向量組的秩不超過向量組含向量的個數.
有疑問請追問
滿意請採納^_^
6樓：匿名使用者
r(a+b)<=r(a)+r(b)
矩陣a,b如何證明a+b的秩小於等於a的秩？ 10
7樓：drar_迪麗熱巴
解題過程如下圖：
變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣(3)r(ka)=r(a),k不等於0
(4)r(a)=0 <=> a=0
(5)r(a+b)<=r(a)+r(b)
(6)r(ab)<=min(r(a),r(b))(7)r(a)+r(b)-n<=r(ab)
8樓：斷劍重鑄
不知題主的題幹是不是有問題哈，矩陣加法只有在同型矩陣的情況下才能進行，而a:mxn, b:nxn,兩個矩陣顯然不同型，故無法相加。
線性代數有這個結論：秩(ab) ≤ min(秩(a)，秩(b)) 。證明見下圖：
9樓：西域牛仔王
你這結論根本不成立 。比如 a = 0 ，b 滿秩 ，a+b = b 仍灌秩 。
應該是 秩(ab) ≤ min(秩(a)，秩(b)) 。書上都有證明 。
兩個矩陣乘積的秩為何能小於兩個中小的那個？
10樓：笑書神俠客
樓主說的應該是r（ab）<=min(r(a),r(b))證明很簡單，但是方法很重要
設ab=c，將矩陣b分塊為b=(b1,b2,,,,,,bs) ，c分塊為c=（c1,c2,,,,,cs）
則ab=(ab1,ab2,,,,,,abs) = （c1,c2,,,,,cs）
即 abi=ci 其中i=1,2，，，，s可知矩陣c的第i個列向量均是由矩陣a的所有列向量線性組合而成，而組合係數即為矩陣b的第i列的各分量。
既然c可以有矩陣a線性表示，即r（c）<=r(a)同理對b進行行分塊也可證明
11樓：他說你妖言惑眾
設ab=c，將矩陣b分塊為b=(b1,b2,...,bs) ，c分塊為c=（c1,c2,...,cs）
則ab=(ab1,ab2,...,abs) = （c1,c2,...,cs）
即 abi=ci 其中i=1,2，.......，s可知矩陣c的第i個列向量均是由矩陣a的所有列向量線性組合而成，而組合係數即為矩陣b的第i列的各分量。
既然c可以有矩陣a線性表示，即r（c）<=r(a)。
同理對b進行行分塊也可證明。
矩陣的秩和其伴隨矩陣的秩有什麼關係？
12樓：豆村長de草
當r(a)=n時，|a|≠0,所以|a*|≠0，所以r(a*)=n；當r(a)=n-1時，|a|=0，但是矩陣a中至少存在一個n-1階子 式不為0【秩的定義】，所以r(a*)大於等於1【 a*的定義 】
設a是n階矩陣，若r（a） = n, 則稱a為滿秩矩陣。但滿秩不侷限於n階矩陣。若矩陣秩等於行數，稱為行滿秩若矩陣秩等於列數，稱為列滿秩。
既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。
擴充套件資料
行列式的值與把向量寫成列向量橫排還是行向量豎排的方式是無關的。這也就是為什麼說，在計算行列式時，行和列的地位是對等的。
並且注意到，由上述分析，交換向量的順序，面積的值取負號，這也就是為什麼行列式中，交換列向量或者行向量一次，就要取一次負號的原因。
另外，行列式的其他計算性質，都一一反映在面積對映的線性性之中。 由此我們可見，行列式就是關於「面積」的推廣。他就是在給定一組基下，n個向量張成的一個n維廣義四邊形的體積。
這就是行列式的本質含義。
設a是n階矩陣，若r（a） = n, 則稱a為滿秩矩陣。但滿秩不侷限於n階矩陣。若矩陣秩等於行數，稱為行滿秩若矩陣秩等於列數，稱為列滿秩。
既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。
13樓：西域牛仔王
一個方陣與其伴隨矩陣的秩的關係：
1、如果 a 滿秩，則 a* 滿秩；
2、如果 a 秩是 n-1，則 a* 秩為 1 ；
3、如果 a 秩 < n-1，則 a* 秩為 0 。（也就是 a* = 0 矩陣）
14樓：葉慕白
設a是n階矩陣，a*是a的伴隨矩陣，兩者的秩的關係如下：
r(a*) = n, 若r(a)=n
r(a*)=1, 若r(a)=n-1；
r(a*)=0，若r(a)明行列式|a|≠0，說明|a*|≠0，所以這時候r(a*)=n；
若秩r(a) 若秩r(a)=n-1，說明，行列式|a|=0，但是矩陣a中存在n-1階子式不為0，對此有： aa*=|a|e=0 從而r(a)+r(a*)小於或等於n，也就是r(a*)小於或等於1，又因為a中存在n-1階子式不為0，所以aij≠0，得r(a*)大於或等於1，所以最後等於1. 15樓：獨行沒趣 r(a)=n，即a可逆，$a^a=e$，秩為n。r(a)=n-1時，則至少有一個n-1代數餘子式不為0，即秩≥1。又由線性方程組理論矩陣a和其伴隨矩陣秩的和≤n，可得秩為1。 r(a)＜n-1時，n-1代數餘子式全為0，即伴隨矩陣為零矩陣，秩為 16樓： 假設是n階矩陣，矩陣的秩為n時，伴隨矩陣秩也是n，這個很簡單，因為矩陣可逆，所以行列式非零矩陣的秩是n-1時，伴隨矩陣的秩是1，這個可以把矩陣經過初等變換化成標準型，而初等變換不改變矩陣的秩以及其伴隨的秩，化成標準型後輕鬆看出伴隨的秩是1矩陣的秩小於n-1時，伴隨的秩是0，因為原矩陣的任意一個n-1階子陣都是0，所以伴隨矩陣是零矩陣，從而秩是0 17樓：遍體鱗傷 一個方陣與其伴隨矩陣的秩的關係： 1、如果 r(a)=n，則 r(a*)=n； 2、如果 r(a)=n-1，則 r(a*) =1； 3、如果 r(a)< n-1，則 r(a* )= 0 。 18樓：匿名使用者 矩陣秩=n時，伴隨=n;秩=n-1時，伴隨=1;秩小於n-1時，伴隨=0 19樓： a小於n-1 伴隨矩陣為0 等於n-1 1 等於n 為n 20樓：霖雨灰濛濛 在高等代數第四版課本第202頁，是課本上的證明題。 21樓：仰望天空 鄙人對線代也很無語。。。 22樓：凳不利多 別這樣說自己，人類學習知識的過程就是重塑大腦神經元的過程，沒什麼智商不智商的。 你可以自己寫一個矩陣，比如 1234 來對照下面的知識點去做實際的運算， 設a是n階矩陣，a*是a的伴隨矩陣，兩者的秩的關係如下： r(a*) = n, 若r(a)=n r(a*)=1, 若r(a)=n-1； r(a*)=0，若r(a) 證明如下所示： 若秩r(a)=n，說明行列式|a|≠0，說明|a*|≠0，所以這時候r(a*)=n； 若秩r(a) 若秩r(a)=n-1，說明，行列式|a|=0，但是矩陣a中存在n-1階子式不為0，對此有： aa*=|a|e=0 從而r(a)+r(a*)小於或等於n，也就是r(a*)小於或等於1，又因為a中存在n-1階子式不為0， 所以aij≠0，得r(a*)大於或等於1，所以最後等於1. 路映穎紹妮 秩小於n的n階矩陣的行列式一定為零。當m不等於n時，mxn矩陣沒有行列式。任何方陣都可以通過初等行變換轉化為上三角陣。上三角陣的行列式為0當且僅當主對角線上的元素中有0。n階上三角陣的秩 n 主對角線上0的個數。初等行變換 左乘 可逆 初等矩陣。於是初等行變換保秩，並且使得變換前後的矩陣... 所晨璐 證明方法有很多，這裡用一個方程的思想 r a r1,r b r2 r a b r3 作分塊陣 a,b 設這個分塊陣為秩為r4 顯然 r1 r2 r4 列方程 a,b x 0 及 a b x 0 可以知道，第一個方程的解必然是第2個方程的解。說明解空間中，第一個方程的解空間的維度 n r4不會... 郎幼白野思 設a是m n的矩陣。可以通過證明 ax 0 和a ax 0 兩個n元齊次方程同解證得 r a a r a 1 ax 0 肯定是a ax 0 的解，好理解。2 a ax 0 x a ax 0 ax ax 0 ax 0 故兩個方程是同解的。同理可得 r aa r a 另外有 r a r a ...矩陣的秩小於N，那麼矩陣的係數行列式等於0。 如何理解
如何證明 任何秩為r的矩陣均可表示成r個秩為1的矩陣的和？兩個矩陣等價是什麼意思
證明 矩陣A與A的轉置A的乘積的秩等於A的秩，即r AA