方程的左右兩邊都有未知數該怎麼解

時間 2021-09-07 22:13:52

1樓:夢的啟程

可以通過移項把未知數移到同一邊。

解方程依據:

1、移項變號:把方程中的某些項帶著前面的符號從方程的一邊移到另一邊,並且加變減,減變加,乘變除以,除以變乘;

2、等式的基本性質:等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式,所得的結果仍是等式。

擴充套件資料:

一、一元一次方程解法:

去分母 方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數。

去括號 一般先去小括號,再去中括號,最後去大括號。但順序有時可依據情況而定使計算簡便。可根據乘法分配律。

移項 把方程中含有未知數的項移到方程的另一邊,其餘各項移到方程的另一邊移項時別忘記了要變號。

合併同類項將原方程化為ax=b(a≠0)的形式。

化係數為一方程兩邊同時除以未知數的係數。

得出方程的解。

二、二元一次方程解法:

消元:將方程組中的未知數個數由多化少,逐一解決。

代入消元。

三、一元二次方程解法:

1、公式法(直接開平方法)

2、配方法

3、因式分解法

4、十字相乘法

2樓:平皖清

以2x+1=3x-2為例

解方程的依據是等式的基本性質.

兩邊先同時減去2x,得到:

2x+1-2x=3x-2-2x

1=x-2

方程兩邊交換位置,得到:

x-2=1

兩邊同時加上2,得到:

x-2+2=1+2x=3

兩邊都有未知數的方程怎麼解?

3樓:匿名使用者

1、整式方程

等號兩邊都是關於未知數的整式的方程,叫做整式方程.

2、一元二次方程

一個格式方程整理後如果只含有一個未知數,且未知數的最高次項的次數為2次的方程,叫做一元二次方程.

3、一元二次方程的一般形式

方程ax2+bx+c=0(a、b、c為常數,a≠0)稱為一元二次方程的一般形式,其中ax2,+bx,+c分別叫做二次項,一次項和常數項,a、b分別稱為二次項係數和一次項係數.

4、一元二次方程的解

能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解.

5、直接開方法

形如x2=a(a≥0)和(x+m)2=n(n≥0)的方程,根據平方根的定義,可採用直接開平方法解方程.

6、配方法解一元二次方程

例如:將方程x2+6x+7=0的常數項移到右邊,並將一次項6x改寫成2·x·3得:x2+2·x·3=-7.

可以看出,為了使左邊成為完全平方式,在方程兩邊都加上32(即一次項係數一半的平方)得

x2+6x+32=-7+32,整理得

(x+3)2=2,

解這個方程得.

這種解一元二次方程的方法叫做配方法.這種方法就是先把方程的常數項移到方程的右邊,再把左邊配成一個完全平方式,如果右邊是非負數,就可以直接利用開平方法求出它的解.

7、一元二次方程的求根公式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),當b2-4ac≥0時的根為.

該式稱為一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法,簡稱公式法.

8、一元二次方程的根的判別式

(1)當b2-4ac>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數根,;

(2)當b2-4ac=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數根;

(3)當b2-4ac<0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數根.

其中b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式.

9、因式分解法

(1)分解因式法:當一元二次方程的一邊為0,而另一邊易於分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以將一元二次方程化為兩個一元一次方程來求解,從而求出原方程的解,這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法.

(2)用分解因式法解一元二次方程的步驟:

①將方程的右邊化為0;

②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;

③令每一個因式分別為零,得到兩個一元一次方程;

④解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解.

二、重難點知識歸納

1、一元二次方程的解法.

2、一元二次方程根的判別式.

三、典型例題剖析

例1、關於x的方程是一元二次方程,則m=______;

解:由題意得解得.

故填.例2、(1)已知關於x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一根是0,則a的值為( )

a.1 b.-1

c.1或-1 d.

(2)關於x的方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一根為0,則2m2-4m+3的值為( )

a.3 b.19

c.±2 d.3或19

思路:根據方程的根的定義可知數0都滿足方程,但不同的是第(1)題給出的是關於x的一元二次方程,而第(2)題是關於x的方程,即後者有可能是關於x的一元一次方程,即(m+2)2有可能為0,也有可能不為0,前者的二次項係數(a-1)一定不為0.

(1)將x=0代入方程(a-1)x2+x+a2-1=0得a2-1=0,∴a=1或a=-1,又因為關於x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0是一元二次方程,∴a-1≠0即a≠1,故a的值為-1;

(2)將x=0代入原方程得m2-4=0,∴m=±2,當m=2時,2m2-4m+3=3,當m=-2時,此時方程為一次方程,符合題意,且此時2m2-4m+3=19,故所求的代數式的值為3或19.

解:(1)b; (2)d.

總結:(1)代解、求解是解決與方程的根有關的問題的兩種基本方法;

(2)要注意關於x的方程與關於x的一元二次方程的區別,後者必須滿足二次項係數不能為0.

例3、已知m、n都是方程x2+2006x-2008=0的根,試求(m2+2006m-2007)(n2+2006n+2007)的值.

思路:根據一元二次方程的根的定義,由於m、n都是方程x2+2006x-2008=0的根,所以m2+2006m-2008=0,n2+2006n-2008=0,由此不難求出(m2+2006m-2007)和(n2+2006n-2007)的值.

解:∵m、n是方程x2+2006x-2008=0的根,

∴m2+2006m-2008=0,n2+2006n-2008=0

∴m2+2006m-2007=1

n2+2006n+2007=4015

∴(m2+2006m-2007)(n2+2006n+2007)=1×4015=4015

總結:要善於運用根的定義,求出某些代數式的值.

例4、解方程(1)x2-4x-3=0;(2)2x2+3=7x.

思路:(1)方程x2-4x-3=0的二次項的係數已經是1,可以直接運用配方法求解;

(2)方程2x2+3=7x先化為一般形式,這個方程的二次項係數是2,為了便於配方,可把二次項係數先化為1,為此,把方程的各項都除以2.

解:(1)移項得x2-4x=3

配方得x2-4x+(-2)2=7

即(x-2)2=7

解這個方程得x-2=±,即;

(2)移項得2x2-7x=-3

把方程兩邊都除以2得

配方得.

即解這個方程是,x2=3.

總結:配方法是解一元二次方程的重要方法,熟練掌握完全平方式是配方法解題的基礎.對於二次項係數為1的方程,在方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方即可配方,若二次項係數不為1,一般應先將二次項係數變為1,然後再配方比較簡便,熟練後,根據具體情況可靈活處理.

例5、小明、小華和小英三人共同**代數式x2-4x+5的值的情況,他們進行了明確的分工,小明負責找出最小值,小華負責找出值為0的x的值,小英負責求出最大值,5分鐘後,各自通報自己的成績.

小華說:當x2-4x+5=0時,方程沒有解,故找不到滿足條件的x值,使x2-4x+5的值為零.

小明說:我考察了很多數,發現最小值為1.

小英說:x2-4x+5的值隨x取值改變而改變,我暫時沒有找到它的最大值.

聰明的同學,你能用什麼方法很快對他們的結論作出準確的判斷嗎?我想,你一定行的!

思路:將x2-4x+5配方易得出結論.

解:因為x2-4x+5=x2-4x+22+1

=(x-2)2+1

當x=2時,代數式的值最小,最小值為1,所以小明結論正確,由此可知找不到滿足條件的x值,使x2-4x+5的值為零,也可以知道代數式沒有最大值(在此處配方的威力可大啊!)

總結:配方法是一種最重要的數學方法,通過配方,使代數式**現完全平方式的形式,然後利用完全平方式的特點,使問題得到解決.

例6、解下列方程:

(1);

(2);

(3);

(4).

思路:用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找出a、b、c的值,再代入公式計算,

解:(1)∵a=1,,c=10∴∴

(2)原方程可化為

∵a=1,,c=2∴∴

(3)原方程可化為

∵a=1,,c=-1∴∴;

∴.(4)原方程可化為∵∴

∴;∴.

總結:(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式;如果二次項係數為負數,通常將其化為正數;如果方程的係數含有分母,通常先將其化為整數,求出的根要化為最簡形式;

(2)用求根公式法解方程按步驟進行。

例7、解方程:.

思路:因為,若設則原方程可化為:3y2-5y-2=0,解此方程求得y值,再代回原式,求出x的值,也可以直接把看作一個整體,先求出的值,再求x.

解:設,原方程化為3y2-5y-2=0.

∵a=3,b=-5,c=-2,

∴b2-4ac=25-4×3×(-2)=49

∴,∴y1=2,

當時,,解得.

當y=2時,,解得.

∴原方程的解為,.

總結:使用換元法的關鍵在於換元式的確定.本例中求出y1=2,後還沒有達到解題的目的.因為本例中不是解關於y的方程,而是解關於x的方程,因此,必須反代回去,求出x.

例8、(1)解下列方程:

x2-2x-2=0①; 2x2+3x-1=0②;

2x2-4x+1=0③; x2+6x+3=0④.

(2)上面四個方程中,有三個方程一次項係數有共同特點,請你用代數式表示這個特點,並推匯出具有這個特點的一元二次方程的求根公式.

思路:利用求根公式法求出方程的根.觀察四個方程可知:方程①③④的一次項係數均為偶數.即一次項係數為偶數2n(n為整數),再利用求根公式推導.

解:(1)解方程x2-2x-2=0①

得解方程2x2+3x-1=0②

得解方程2x2-4x+1=0③

得解方程x2+6x+3=0④

得;(2)其中方程①③④的一次項係數為偶數2n(n為偶數)

一元二次方程ax2+bx+c=0其中b2-4ac≥0,b=2n,n為整數

因為b2-4ac≥0,即(2n)2-4ac≥0,∴n2-ac≥0

所以一元二次方程ax2+2nx+c=0(n2-ac≥0)的求根公式為.

總結:找出方程中一次項係數的共同特點,然後再運用一元二次方程的求根公式推匯出新的表示式.

例9、如果關於x的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0沒有實數根,試說明關於x的方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有實數根.

思路:由一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0沒有實數根,可以得出k≠0,b2-4ac<0,從而求出k的取值範圍,再由k的範圍來說明方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有實數根.

解:因為關於x的一元二次方程kx2-2(k+2)x+k+5=0沒有實數根,所以

解得k>4.

所以當k=5時,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0為一元一次方程,此時方程的根為.

當k≠5時,方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0為一元二次方程

所以b2-4ac=[-2(k+2)]2-4(k-5)·k

=4(9k+4)

因為k>4,且k≠5,所以4(9k+4)>0,即b2-4ac>0.

所以此時方程必有兩個不等實根.

綜上可知方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有實數根.

總結:(1)方程「有實數根」與「有兩個實數根」有著質的區別,方程有實數根「表示方程可能為一元一次方程」,此時方程有一實數根,方程也可能為一元二次方程,此時方程有兩個實數根;而方程「有兩個實數根」則表示此時方程一定為一元二次方程;

(2)運用根的判別式時,一定要注意其成立的前提條件是二次項係數不能為0,即方程是一元二次方程.

例10、用因式分解法解下列方程.

(1)3(2x-5)2=4(5-2x);(2)(3x-4)2=(4x-3)2;(3)9(2x+3)2=25(1-3x)2.

思路:用因式分解法解方程時,一定要通過分解因式的方式,使方程的左邊變成積的因式,而右邊為零,(1)中可提取公因式2x-5,(2)、(3) 中沒有公因式,但發現可用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)來分解.

解:(1)原方程化為3(2x-5)2-4(5-2x)=0

即3(2x-5)2+4(2x-5)=0

∴(2x-5)[3(2x-5)+4]=0

∴;(2)移項,得(3x-4)2-(4x-3)2=0

方程左邊分解因式,

得[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0

即(7x-7)(-x-1)=0

∴x1=1,x2=-1;

(3)移項,得9(2x+3)2-25(1-3x)2=0

方程左邊分解因式,

得[3(2x+3)+5(1-3x)][3(2x+3)-5(1-3x)]=0

即(14-9x)(21x-4)=0

∴.總結:

(1)在解方程中切忌在求解過程產生失根現象;

(2)運用公式法分解因式必須先將其改寫成符合公式的特徵的形式,再進行因式分解.

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