1樓：匿名使用者
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/
2樓：玉杵搗藥
n(n+1)(2n+1)/6
數學證明題:1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2.求詳細過程.
3樓：匿名使用者
可以用數學歸納法證明.
n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立.
假設n=k時成立，即1³+2³+...+k³=[k(k+1)]²/4.
1³+2³+...+k³+(k+1)³=[k(k+1)]²/4+(k+1)³
=(k+1)²[k²/4+4(k+1)
=(k+1)²(k+2)²/4
=右邊.
也可以利用(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1通過累加法證明.
4樓：year陌路人
當n=1時，左邊=1³=1，右邊=1²（1+1）²/4=1，左邊=右邊，所以等式成立；
假設當n=k時，等式成立即1³+2³+3³+…+k³=k²(k+1)²/4；
當n=k+1時，左邊=1³+2³+3³+…+k³+（k+1)³=k²(k+1)²/4+（k+1)³=（k+1)²[k²+4（k+1)]/4=（k+1)²（k+2)²/4=（k+1)²[(k+1)+1]²/4，右邊=（k+1)²[(k+1)+1]²/4，所以當n=k+1時，等式成立；
所以綜上所述，等式成立。
5樓：匿名使用者
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2證明：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+13^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+14^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)]^2/4
1方+2方+3方+.+n方 這是什麼數列
6樓：angela韓雪倩
整數平方數列
1^2+2^2+3^2+.....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
數列是一種特殊的函式。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集n*或其有限子集的函式，其中的不能省略。
函式不一定有解析式，同樣數列也並非都有通項公式。
7樓：創作者
1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n=n(n＋1)(2n＋1)/6 來歷是:用完全立方公式和等差數列求和公式推導 因為: (n＋1)^3=n^3+3n^2+3n+1 在這個等式中,讓依次取從1開始的n個連續的自然數,就得到n個相對應的等式, 2^3=1^3+3×1^2+3×1+1 3^3=2^3+3×2^2+3×2+1 4^3=3^3+3×3^2+3×3+1 ……………… (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 將這個等式中等號兩邊的式子分別加起來,劃去等號兩邊相同的數,就得到, (n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n 第二個括號內的和就是一個等差數列,和為n(1+n)÷2,於是 (n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3n(n+1)÷2+n 所以, 3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)= (n+1)^3－3n(n+1)÷2－(n+1) =n^3+3n^2+3n+1－3n^2/2－3n/2－n－1 =n^3+3/2n^2+n/2 所以, 1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/3(n^3+3n^2/2+n/2) =n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是什麼
8樓：你愛我媽呀
^s=(1/6)n(n+1)(2n+1)。
推導過程：
設s=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以s= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
擴充套件資料：
數列求和方法
1、分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列。
2、拆項相消：有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和。
3、錯位相減：適用於一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和。
4、倒序相加：例如，等差數列前n項和公式的推導。
9樓：等待楓葉
^^1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
解：1、因為當n=1時，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，
2、當n=2時，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，
3、設n=k（k≥2，k為正數）時，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成立。
那麼當n=k+1時，
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2，
而k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(k+1))
=(k+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6
=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)
=1/6*(k+1)*(2k+3)*(k+2)
=(k+1)*((k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6，
即1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)*((k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6也滿是公式。
所以根據數學歸納法，對一切自然數n有1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。
10樓：趙芷曼
^^設s=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1...
.. ...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以s= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
11樓：匿名使用者
^^設s=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... ..
... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...
+n^2] +3*[1+2
12樓：韓罕憨漢
原式＝n（n＋1）／2•（n＋n＋1）／3
＝n（n＋）（2n＋1）／6
13樓：東東西西580怕
想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
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用數學歸納法證明，1 2 3n 1 2 n（n
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