因為1 2 3n n n 1 2,類比上述求1 2 2 2 3 2n 2的值

時間 2021-10-14 23:01:41

1樓:匿名使用者

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/

2樓:玉杵搗藥

n(n+1)(2n+1)/6

數學證明題:1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2.求詳細過程.

3樓:匿名使用者

可以用數學歸納法證明.

n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立.

假設n=k時成立,即1³+2³+...+k³=[k(k+1)]²/4.

1³+2³+...+k³+(k+1)³=[k(k+1)]²/4+(k+1)³

=(k+1)²[k²/4+4(k+1)

=(k+1)²(k+2)²/4

=右邊.

也可以利用(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1通過累加法證明.

4樓:year陌路人

當n=1時,左邊=1³=1,右邊=1²(1+1)²/4=1,左邊=右邊,所以等式成立;

假設當n=k時,等式成立即1³+2³+3³+…+k³=k²(k+1)²/4;

當n=k+1時,左邊=1³+2³+3³+…+k³+(k+1)³=k²(k+1)²/4+(k+1)³=(k+1)²[k²+4(k+1)]/4=(k+1)²(k+2)²/4=(k+1)²[(k+1)+1]²/4,右邊=(k+1)²[(k+1)+1]²/4,所以當n=k+1時,等式成立;

所以綜上所述,等式成立。

5樓:匿名使用者

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2證明:

利用立方差公式:

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+13^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+14^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1......

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1各式相加有

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n

=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)]^2/4

1方+2方+3方+.+n方 這是什麼數列

6樓:angela韓雪倩

整數平方數列

1^2+2^2+3^2+.....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

數列是一種特殊的函式。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集n*或其有限子集的函式,其中的不能省略。

函式不一定有解析式,同樣數列也並非都有通項公式。

7樓:創作者

1×1+2×2+3×3+……+n×n=n(n+1)(2n+1)/6 來歷是:用完全立方公式和等差數列求和公式推導 因為: (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 在這個等式中,讓依次取從1開始的n個連續的自然數,就得到n個相對應的等式, 2^3=1^3+3×1^2+3×1+1 3^3=2^3+3×2^2+3×2+1 4^3=3^3+3×3^2+3×3+1 ……………… (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 將這個等式中等號兩邊的式子分別加起來,劃去等號兩邊相同的數,就得到, (n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n 第二個括號內的和就是一個等差數列,和為n(1+n)÷2,於是 (n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3n(n+1)÷2+n 所以, 3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)= (n+1)^3-3n(n+1)÷2-(n+1) =n^3+3n^2+3n+1-3n^2/2-3n/2-n-1 =n^3+3/2n^2+n/2 所以, 1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/3(n^3+3n^2/2+n/2) =n(n+1)(2n+1)/6

1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是什麼

8樓:你愛我媽呀

^s=(1/6)n(n+1)(2n+1)。

推導過程:

設s=1^2+2^2+....+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1

...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

把上面n個式子相加得:(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n

所以s= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

擴充套件資料:

數列求和方法

1、分組求和:把一個數列分成幾個可以直接求和的數列。

2、拆項相消:有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式,相加過程消去中間項,只剩有限項再求和。

3、錯位相減:適用於一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和。

4、倒序相加:例如,等差數列前n項和公式的推導。

9樓:等待楓葉

^^1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。

解:1、因為當n=1時,1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1,

2、當n=2時,1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5,

3、設n=k(k≥2,k為正數)時,1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成立。

那麼當n=k+1時,

1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2,

而k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2

=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(k+1))

=(k+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6

=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)

=1/6*(k+1)*(2k+3)*(k+2)

=(k+1)*((k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6,

即1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)*((k+1)+1)*(2(k+1)+1)/6也滿是公式。

所以根據數學歸納法,對一切自然數n有1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的計算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。

10樓:趙芷曼

^^設s=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1...

.. ...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1把上面n個式子相加得:(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n

所以s= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

11樓:匿名使用者

^^設s=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... ..

... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n個式子相加得:(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...

+n^2] +3*[1+2

12樓:韓罕憨漢

原式=n(n+1)/2•(n+n+1)/3

=n(n+)(2n+1)/6

13樓:東東西西580怕

想像一個有圓圈構成的正三角形,

第一行1個圈,圈內的數字為1

第二行2個圈,圈內的數字都為2,

以此類推

第n行n個圈,圈內的數字都為n,

我們要求的平方和,就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r

下面將這個三角形順時針旋轉60度,得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度,得到第三個三角形然後,將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加,我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢,這是一個簡單的等差數列求和1+2+……+n=n(n+1)/2

於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6

2023年陰曆12月26日白天中午12 30分出去女命,是不是童子命

1978年陰曆12月26日白天中午12.30生辰八字 戊午 乙丑 辛卯 甲午 屬於一級童子命,感情會有一些曲折。五行缺水,八字過弱,八字喜金。給你一些建議 1衣服床單被褥枕巾等多用黃色白色,不要紅色紫色.2可以帶點金銀首飾或者金屬飾品 3燒替身化解童子命。農曆2012年12月26日是童子命麼 非你莫...

求高手,猜成語 1 2 3 ,求高手,猜成語 1 2

貴族尼姑 第5個雞飛蛋打 第9個七嘴八舌 第12個捨己救人第16愁眉苦臉 米蘭小街 15一針見血7人走茶涼11雷聲震耳12捨己救人14豬朋狗友 devil佰 第一個成語 喜上眉梢 喜上玫燒 這個感覺十分明顯了,相信只要將每個表情都念出來,然後這個成語也就引刃而解了吧,沒有什麼難度的 2.第二個成語 ...

用數學歸納法證明,1 2 3n 1 2 n(n

小寬 n 1時,1 1 2 1 1 1 成立 當n k 1時成立,即1 2 3 k 1 1 2 k 1 k 1 1 當n k時,1 2 3 k 1 2 k 1 k 1 1 k 1 2 k 1 k k 1 2 k 1 k,成立 故無論n為何值,1 2 3 n 1 2 n n 1 都成立 不懂請追問 手...