1樓：匿名使用者
a（y''）+by'+cy=0
其中a,b,c為常實數 且a≠0, 特徵根為aλ²+bλ+c=0 的根
特徵根有三種情形（1）λ1，λ2為兩個不同實數，則特徵解y=c1exp(λ1x)+c2exp(λ2x)
（2）λ1=λ2=λ為兩個相同實數，則特徵解y=（c1+c2x）exp(λx)
（3）λ1，λ2為兩個共軛複數，λ1，λ2=r exp（±iφ）=r(cosφ±sinφ)
則特徵解y=[c1cos（φx）+c2sin（φx）]exp(rx)
上面符號exp()代表e的多少次方
2樓：匿名使用者
本來想貼公式的，後來發現樓主給了頭暈二字，於是打消了這個念頭。
二階常數係數齊次微分方程
二階指的是最高階導數是二階的，就是方程中含有未知函式的二階導數常係數，指的是未知函式的導數、二階導數、及其本身的係數是常數（與自變數無關）
齊次指的是除了未知函式的導數、二階導數、及其本身以外，沒有其它項其實你還少了一個定語，線性：未知函式的導數、二階導數、及其本身是一次的，沒有平方。非線性微分方程將會非常麻煩
特徵跟是特徵方程的解，沒聽說特徵解這個說法特徵方程你自己看看書吧 。。。
什麼是重根，哪位大佬能夠通俗的解釋一下？最近學那個二階非齊次微分方程，求通解的時候不會判斷
3樓：迷路明燈
這個書上有啊？
比如y''-2y'+y=0，
特徵根方程的根就是重根r=1。
二階常係數非齊次線性微分方程的通解，順便說一下啥叫特徵根謝謝，要詳細步驟，題在**裡
4樓：匿名使用者
通解就是有常數，帶進去不論常數是多少，都滿足微分方程，而特解就是任意給出了的常數，帶進去照樣滿足方程，特解就是一個特例，這個特例其實是通解裡的常數任意給出來後的一個值
二階常係數齊次線性微分方程通解
5樓：王鳳霞醫生
y'' - 2y' + 5y = 0,
設y = e^[f(x)],則
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
當f(x) = ax + b,a,b是常數時.
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或 y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2個解都滿足微分方程.所以,微分方程的實函式解為,
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的實函式的通解為,
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中,c1,c2 是任意常數.
記 c1 = 2c1e^b,c2 = 2c2e^b,
有 y = e^x[c1cos(2x) + c2sin(2x)]
c1,c2為任意常數.
已知r=0,r=-4是某二階常係數線性齊次微分方程的特徵方程的2個根,寫出微分方程,求通解
6樓：木沉
微分方程為
y''+4y'=0
通解為a*exp（x）+b*exp(-4x)明白了請採納，謝謝~
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