1樓：匿名使用者
取一個微元，如圖中x方向的dx, 那麼環繞x軸旋轉繞成的旋轉體就是藍色的帶環。
假設表面積的微元ds，這個旋轉體可以看成一個圓柱體，上圖的藍色帶環，也就是圓柱體，其底半徑為f(x), 其高為ds.
圓柱表面積為： 2πf(x)*ds，
注意，這裡應該是沿著曲線y=g(x)的積分，而不是dx. 因為圓柱的表面是隨著g(x)發生變化的。
而ds=√(1+f(x)^2)dx, 則
ds=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx
2樓：
1、側面面積。圓環剪開近似成矩形，長為圓周長2πf(x)，寬曲線y=f(x)的ds=√[（dx）²+(dy)²]=√[1+f′²(x)]*dx
2、積分沒有問題
3樓：藍藍路
旋轉體的側面積
用微元法分割了之後
想象把若干個圓帶子給（就像解皮帶的樣子）
其實就是若干個「圓」形帶子的側面積再去求和但要注意這裡的圓形帶子不同於圓柱的那樣是一條條的直線即帶子上面的「紋路」不一定都是像圓柱的帶子那樣來看是平行的可能會出現之後是c字形的同心圓環樣子的帶子（曲率）就是帶子上的紋路其實是指向某一個點的，並不平行，參考洋蔥片而每一個圓形帶子的側面積就是
2πr*ds
其中r的主體部分就是f（x）
但是存在「c型帶子或比喻為洋蔥片」的情況，所以要用一些修正的方法就是後面的√[1+f'（x）^2]了
因為對f（x）有f'（x）=tana，就是夾角嘛...
所以√[1+f'（x）^2]=seca=1/cosa，而ds=dx/cosa
即ds=√[1+f'（x）^2]dx
實際上是把若干個斜著的紋路通過三角函式給掰成平行的了就可以同一套用「圓柱形態」的基本形勢了。。。。
4樓：促磷肥韶
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如何證明旋轉體表面積積分公式
5樓：小肥肥
證明過程如下：
注意到圖中那個灰色的帶環就是表面積的微元ds，它應該等於這個帶子的周長乘以寬度，帶子的周長為2πf(x)。
主要是寬度，注意，這裡寬度不是dx（一個容易出錯的地方），因為這個帶子的寬度並不是一個線段，而是弧線，因此這裡要用弧微分，就是ds，根據弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx這樣我們就可得到微元，ds=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx。
擴充套件資料：表面積公式：
柱體稜柱體表面積（n為稜柱的側稜條數，即側面數）s=n*s側 + 2*s底
圓柱體表面積（「u底」為底面圓的周長，r為底面圓的半徑）s=u底*h + 2πr^2
s=2πr*h + 2πr^2
錐體稜錐體表面積（n為稜錐的斜稜條數，即側面數）s=n*s側(三角形) + s底
圓錐體表面積
s=s扇 + s底
s=1/2*l(母線)*2πr + πr^2臺體稜臺體表面積（n為稜錐的稜條數，即側面數）s=n*s側(梯) + s上底 + s下底
6樓：angela韓雪倩
曲線方程 f(x)
ds=2π*∫f(x)*√[1+f'(x)^2] dx從 a積到b
圖中那個灰色的帶環就是表面積的微元ds，它應該等於這個帶子的周長乘以寬度，帶子的周長為2πf(x)。
因為這個帶子的寬度並不是一個線段，而是弧線，因此這裡要用弧微分，就是ds，根據弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx這樣我們就可得到微元，ds=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx。
旋轉曲面的面積
（不妨設f(x) ≥0）這段曲線繞 x 軸旋轉一週得到旋轉曲面，如圖3所示。則旋轉曲面的面積公式為：
7樓：匿名使用者
誰知到求旋轉體表面積的定積分公式。。？一直直線解析式繞y軸或者x軸旋轉y軸的公式有嗎。。？再加20分謝 曲線方程 f(x) s=2π*∫f(x)
8樓：丘冷萱
注意到圖中那個灰色的帶環就是表面積的微元ds，它應該等於這個帶子的周長乘以寬度，帶子的周長為2πf(x)，這個應該不難理解吧？主要是寬度，注意，這裡寬度不是dx（一個容易出錯的地方），因為這個帶子的寬度並不是一個線段，而是弧線，因此這裡要用弧微分，就是ds，根據弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx這樣我們就可得到微元，ds=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx，下面就是做積分了，其它地方圖中講得很清楚了。如滿意，請採納。
一般旋轉體的表面積公式 （定積分）是什麼？
9樓：匿名使用者
[a,b]上y＝f（x）繞x軸旋轉的旋轉體的表面積
s＝π（f（a））²+π（f（b））²+2π∫[a,b]f（x）√[1+（f'（x））²]dx
高數旋轉體側面積公式
10樓：假面
公式如圖所示：
一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面；該定直線叫做旋轉體的軸；封閉的旋轉面圍成的幾何體叫作旋轉體。
圓柱體是旋轉體的一種，一個長方形以一邊為軸順時針或逆時針旋轉一週，所經過的空間叫做圓柱體。以一個圓為底面，上或下移動一定的距離，所經過的空間叫做圓柱體。
11樓：啊往事知多少
一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面；該定直線叫做旋轉體的軸；封閉的旋轉面圍成的幾何體叫作旋轉體。圓柱體是旋轉體的一種，一個長方形以一邊為軸順時針或逆時針旋轉一週，所經過的空間叫做圓柱體。以一個圓為底面，上或下移動一定的距離...
微積分旋轉體繞y軸旋轉體積~我看不懂**上的公式~請大家分析下
12樓：諸葛小兔兔
看**，這個繞y軸的公式需要認真理解。將繞成的立體圖形隨便擷取一段切開後得到一小卷，將卷後是一段長方體，2xπ是其長，ᐃx是其寬，所以2xπ·△x是其面積，再乘f(x)就是長方體體積。最後將區間內的無數個這樣的小長方體積分即可。
參考圖示加強理解即可。望採納。
13樓：匿名使用者
取柱殼微元：半徑為(x+dx)的圓柱體摳掉半徑為x的圓柱體。柱殼微元體積就等於微元面積×高：
dv=ds×h=πr²h
h也就是f(x)。
先計算微元面積，把內部面積摳掉：
ds=π(x+dx)²-πx²
=2πxdx+(dx)²
其中(dx)²是dx項的高階無窮小，所以捨去。
dv=ds×f(x)=2πxf(x)dx
14樓：
將a到b的數軸等分成n分，每份寬△x
則函式繞y軸旋轉，每一份的體積為一個圓環柱，該圓環柱的底面圓的周長為2πx，所以底面面積約為2πx*△x該圓環柱的高為f(x)
所以當n趨向無窮大時，vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
15樓：匿名使用者
我是理解成一個捲筒紙，一卷的長度(一個圓周2πx)×一卷的高f(x)×厚度dx
16樓：匿名使用者
沿x軸旋轉時 半徑=f(x) 圓的面積s=π[f(x)]^2dv=π[f(x)]^2dx
積分 vx=∫π[f(x)]^2dx
=π∫f(x)^2dx
沿y軸旋轉時 圓環的面積s=π(x+dx)^2-πx^2=π[(x+dx-x)(x+dx+x)]
=πdx*(2x+dx)
=2πxdx+π(dx)^2
因為 dx 無限小 所以 π（dx）^2 也是無限小所以上式就可以取 2πxdx
dv=2πxdx*f(x)=2πxf(x)dx積分 vy=∫2πx*f(x)dx=2π∫xf(x)dx
17樓：匿名使用者
積分= 無窮小體積的總和
將a到b的數軸等分成n分，每份寬△x, △x-->0, n--> 無窮大
則函式繞x軸旋轉，每一份的體積為一個圓柱
半徑=f(x) 圓的面積s=π[f(x)]^2,厚度= △x每一份的體積 △v= π[f(x)]^2 *△x積分 vx= 無窮小體積△v 的總和= ∫π[f(x)]^2dx=π∫[f(x)]^2dx
函式繞y軸旋轉，每一份的體積為一個圓環柱，該圓環柱的底面圓的周長為2πx，
所以圓環底面面積約為2πx*[(x+△x)-x]= 2πx*△x該圓環柱的高為f(x)
每一份的體積 △v= 2πx*f(x)*△x所以當n趨向無窮大時，
積分 vy=無窮小體積△v 的總和= ∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
18樓：匿名使用者
確實不能解釋
正常應當是：大的圓柱體積（以b為底半徑，以f(b)為高）減去 中心的小圓柱體積（以a為底半徑，以f(a)為高）再減去 曲邊旋轉的體積（以f（a）為下限，以f(b)為上限，以y=f(x）的
逆函式的平方為積分函式）
樓上的解釋頗有道理，實際是具體的微元法，不過不好理解，主要是取近似。
19樓：
2xπ·△x是其面積，再乘f(x)就是長方體體積
20樓：一個人在那看書
微淳風旋轉體燒油種季節，我看不懂上的公司必須要算出來
21樓：華者秋
對y軸旋轉可把旋轉體分成無數個厚度為δx的圓環體，每個這樣的圓環體的高度為f(x),體積為2πf(x)δx,再積分就是那個公式了。
22樓：匿名使用者
既然圓柱半徑之差是 △x＝x＋dx－x 那為什麼高就不是△y＝f(x＋dx)－f(x)而是直接預設等於0？？？why? 圓柱的半徑都沒忽略dx憑什麼圓柱的高要忽略 而且你們考慮過f(x)在某點的斜率為∞嗎 比如f(x)是圓心為座標原點的圓 此圓與x軸的右交點的x0斜率為∞ 難道x0處的△y可以忽略？
23樓：加賀
為什麼不用π×母線的平方
24樓：咔咔的
繞y軸旋轉，題目未說明f(x)的反函式的話不能直接用同計算x軸一樣的方法。但是可以轉化為求旋轉形成的面積的積分，即求s=2丌rh(h為f(x))在f(a)到f(b)上的定積分
高數旋轉體表面積問題
25樓：匿名使用者
應該是∫2πlf(x)ldx，如果是前者就可能出現負數，對於上下限，也應該是上限大於下限，不然也會出現負數（其實該積分是從x軸左邊積到右邊的，顯然就會有上限大於下限）！！！
26樓：匿名使用者
應該是∫2πf(x)ds，因為積分允許具有幾何、物理含義的式子為負，這個可以有「牛頓萊布尼茨」公式解釋。這裡要注意的是：ds，而不是dx，也就是要把弧微分開啟。
怎麼算旋轉體的側面積，高數旋轉體側面積公式
1 根據定積分公式可得 2 1,t t x x 2dx 2 t,2 x t x 2dx。2 一條平面曲線繞著它所在的平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面 該定直線叫做旋轉體的軸 封閉的旋轉面圍成的幾何體叫作旋轉體。3 表面積是指所有立體圖形的所能觸控到的面積之和。球體表面積計算公式為 s 4...
求y sinx繞Y軸旋轉體體積。是怎麼旋轉的？這個式子是怎麼得到的
我是一個麻瓜啊 繞y軸旋轉得到的是一個空心的旋轉體，所以應當是大的旋轉體減去小的旋轉體，大的旋轉體是由y sinx在 2到 部分 即x arcsiny 繞y軸旋轉所得，小的旋轉體是由y sinx在0到 2部分 即x arcsiny 繞y軸旋轉所得。arcsiny的值域是 2,2 當x在 2到 時，x...
y ex sinx在x 0上繞旋轉體體積
y e x sinx在 x 0上繞x軸旋轉的旋轉體體積v 0,e x sinx 2dx 0,e 2x sinxdx 1 2 e 2x sinx 0,1 2 0,e 2x cosxdx 2 1 2 e 2x cosx 0,1 2 0,e 2x sinxdx e 2 1 4 v 4,所以v e 2 1 ...