1樓：匿名使用者
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+…+n^2求和公式推導
2樓：你的眼神唯美
n(n+1)(2n+1)/6。數學工具多多益善如圖所示請採納謝謝。
1^2+2^2+3^2+......+n^2=?的公式推導
3樓：星願老師
解題過程如下：
數學歸納法性質：
數學歸納法是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者區域性）自然數範圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。
這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和電腦科學領域，稱作結構歸納法。
在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的（第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外）的數學定理。
雖然數學歸納法名字中有「歸納」，但是數學歸納法並非不嚴謹的歸納推理法，它屬於完全嚴謹的演繹推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。
自然數集是良序的。（每個非空的正整數集合都有一個最小的元素）比如這個正整數集合中有最小的數——1.
證明數學歸納法：
對於一個已經完成上述兩步證明的數學命題，我們假設它並不是對於所有的正整數都成立。
對於那些不成立的數所構成的集合s，其中必定有一個最小的元素k。（1是不屬於集合s的，所以k>1）
k已經是集合s中的最小元素了，所以k-1是不屬於s，這意味著k-1對於命題而言是成立的——既然對於k-1成立，那麼也對k也應該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠對所有n都成立。
4樓：匿名使用者
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一個很好玩的做法
想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形
再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形
然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，
我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1
而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
5樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
6樓：赤柔翼
補充說明解答超強樓主第二種解法：
想像一個由邊長為1、含有內切圓的三角形無限拼湊成的邊長為n的三角形（外切圓也可，在此以內切說明），平行分為n行，
第一行1個三角形1個圓，圓內數字為1，
第二行2個三角形2個圓，圓內數字都為2，
第三行3個三角形3個圓，圓內數字都為3，
以此類推：
第n行n個三角形n個圓，圓內數字都為n，
那麼，我們要求的平方和，就轉化為求這個三角形內切圓內數字的和.設為s將這個等邊三角形以其重心、垂心、內心或者外心（非旁心）旋轉；
順時針120度一次，順時針120度再一次（或者順時針120度一次，再逆時針120度一次）
得到第二個、第三個三角形
將這三個三角形對應的圓內的數字相加，
我們神奇地發現所有圈內的數字都變成了2n+1 ！！！！
總共有1+2+……+n=n(n+1)/2 個圓，於是3t=[n(n+1)/2]·(2n+1)t=n(n+1)(2n+1)/6
無心冒犯樓主，只是這個方法太好玩了，而我起先卻領會錯了意思，木有看懂~~
怎麼證明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式？
7樓：假面
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
立方差公式與立方和公式共稱為完全立方公式。具體表述為：兩數的平方和加上兩數的積再乘以兩數的差，所得到的積就等於兩數的立方差。
用公式表達即：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
擴充套件資料：
由於立方項不好拆分，但是我們學過，遇到高階項要儘量採用低階項來對其進行簡化處理，所以很容易想到a2，同時由於對a3降階的同時還要和b3進行結合，所以很容易想到a2b這樣一個加法項，因此對上式採取分別加和減一個a2b項，得到下式，同時進行相應的合併
證得：高階證明
因為所以根據交換律法則：
證得：(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³
分解步驟如下：
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3
解題時常用它的變形：
(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b) 和 a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)
(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³
8樓：匿名使用者
利用立方等差公式、各等式相加
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
由於n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3所以1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3[前後消項]=[n(n+1)(n+2)]/3所1^2+2^2+3^2+......
+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
數學歸納法.2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
應用(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得系列等式[(n-1)+1]^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1[n-2)+1]^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1以上各式兩邊分別求和即可得結論16*n(n+1)(2n+1)
尤拉公式的推導過程，尤拉公式如何推匯出來
慕野清流 一方面，在原圖中利用各面求內角總和。設有f個面，各面的邊數為n1,n2，nf，各面內角總和為 n1 2 180 n2 2 180 nf 2 180 n1 n2 nf 2f 180 2e 2f 180 e f 360 1 另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形，其內角...
尤拉公式是怎麼推匯出來的，尤拉公式如何推匯出來
用拓樸學方法證明尤拉公式 嘗尤拉公式 對於任意多面體 即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體 假 設f，e和v分別表示面，稜 或邊 角 或頂 的個數，那麼 f e v 2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面 稜 頂點數的尤拉公式。證明 如圖15 圖是立方體，但證明是一般的，是 拓樸 的 1 把多面體...
2的N次方計算公式，2的n次方計算方式，
直接算當然計算不出來。建議考慮二分法，記得好像在組合語言中涉及到過。太久了，記不清了。lz搞加密的麼？以前有個搞加密的朋友給我說過這個問題。2的192次方是非常非常大的，計算不出來的！2的n次方計算方式，10 2 n 2 n 2 2 n 2 以此類推。舉例說明如下 2 n 2 n 2 2 n 2 以...