尤拉公式的證明,尤拉公式如何推匯出來

時間 2021-12-19 11:40:03

1樓:尨蓇厵菭

第一個尤拉公式的嚴格證明,由20歲的柯西給出,大致如下:

從多面體去掉一面,通過把去掉的面的邊互相拉遠,把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性,可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。

但是,點,邊和麵的個數保持不變,和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)

重複一系列可以簡化網路卻不改變其尤拉數(也是尤拉示性數) f − e + v的額外變換。

若有一個多邊形面有3條邊以上,我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。

除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和麵的個數各減一而保持頂點數不變。

(逐個)除去所有和網路外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。

重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對於一個三角形f = 2 (把外部數在內), e = 3, v = 3。所以f − e + v = 2。證畢。

尤拉公式:

其中v,e和f分別是點,邊和麵的個數。 特別的有,對於所有和一個球面同胚的多面體,我們有:

2樓:匿名使用者

用拓樸學方法證明尤拉公式

嘗尤拉公式:對於任意多面體(即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體),假 設f,e和v分別表示面,稜(或邊),角(或頂)的個數,那麼

f-e+v=2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的尤拉公式。

證明 如圖15(圖是立方體,但證明是一般的,是「拓樸」的):

(1)把多面體(圖中①)看成表面是薄橡皮的中空立體。

(2)去掉多面體的一個面,就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形,像圖中②的樣子。假設f′,e′和v′分別表示這個平面圖形的(簡單)多邊形、邊和頂點的個數,我們只須證明f′-e′+v′=1。

(3)對於這個平面圖形,進行三角形分割,也就是說,對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線,一直到成為一些三角形為止,像圖中③的樣子。每引進一條對角線,f′和e′各增加1,而v′卻不變,所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候,f′-e′+v′的值仍然沒有變。

有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

(4)如果某一個三角形有一邊在邊界上,例如圖④中的△abc,去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊,即ac,這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變,所以f′-e′+v′也沒有變。

(5)如果某一個三角形有二邊在邊界上,例如圖⑤中的△def,去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊,即df和ef,這樣就去掉△def。這樣f′減去1,e′減去2,v′減去1,因此f′-e′+v′仍沒有變。

(6)這樣繼續進行,直到只剩下一個三角形為止,像圖中⑥的樣子。這時f′=1,e′=3,v′=3,因此f′-e′+v′=1-3+3=1。

(7)因為原來圖形是連在一起的,中間引進的各種變化也不破壞這事實,因此最後圖形還是連在一起的,所以最後不會是分散在向外的幾個三角形,像圖中⑦那樣。

(8)如果最後是像圖中⑧的樣子,我們可以去掉其中的一個三角形,也就是去掉1個三角形,3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。

即f′-e′+v′=1

成立,於是尤拉公式:

f-e+v=2得證。

尤拉公式如何推匯出來

3樓:縱橫豎屏

推導過程這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式,其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式

這個恆等式也叫做尤拉公式,它是數學裡最令人著迷的一個公式,它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起:兩個超越數:自然對數的底e,圓周率π;兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1;

以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」。

4樓:匿名使用者

e^ix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數,建立了三角函式和指數函式的關係,它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明:

因為e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!

+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!

-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!

-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=

5樓:抗豐席韋

尤拉公式有4條

(1)分式:

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

當r=0,1時式子的值為0

當r=2時值為1

當r=3時值為a+b+c

(2)複數

由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:

sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

(3)三角形

設r為三角形外接圓半徑,r為內切圓半徑,d為外心到內心的距離,則:

d^2=r^2-2rr

(4)多面體

設v為頂點數,e為稜數,是面數,則

v-e+f=2-2p

p為尤拉示性數,例如

p=0的多面體叫第零類多面體

p=1的多面體叫第一類多面體

等等其實尤拉公式是有4個的,上面說的都是多面體的公式

6樓:林清他爹

尤拉公式不是推匯出來的,尤拉公式就是一個定義式!如下:

在複變函式中,設z是一個作為宗量(也就是自變數)的複數,則z=x+iy。則定義w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。請注意上式的幾個等號的含義:

第二個等號定義了有e^z這種形式的複變函式(具體是什麼對應法則不清楚,只是告訴你有這麼樣的一個函式);第三個等號不是新的定義,是等價替換;第四個等號是一個新的定義,定義了這個函式滿足一個新的運演算法則(指數之和可以拆分成兩項之積,類似於實數);第五個等號定義了尤拉公式,告訴你e^iy具體的對應法則!(這裡可能有點不好理解,因為e^z是一個複變函式,那麼e^z肯定是一個複數,那麼它肯定也能用x+iy這樣的形式表達出來,第五個等號就是給出了函式的對應法則!)

所以嚴格來說尤拉公式不是推匯出來的,只是一個定義式!只不過當時沒有直接定義,而是根據類比實數得出來的,然後才有了嚴格的定義。網上有好多人問尤拉公式怎麼證明,其實這顯示出了他們邏輯的混亂,沒有正確區分類比演義,定義,定理,證明四者的關係。

剛開始並沒有尤拉公式這個嚴格的定義,最初的尤拉公式是人們通過類比實數得出的演繹結果罷了,然後才有了尤拉公式嚴格的定義。

7樓:

複變函式論裡的尤拉公式

e^ix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數,建立了三角函式和指數函式的關係,它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明:

因為e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!

+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!

-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!

-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!

-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!

…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式裡的x換成-x,得到:

e^-ix=cosx-isinx,然後採用兩式相加減的方法得到:

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到:

e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式,它是數學裡最令人著迷的一個公式,它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起:兩個超越數:

自然對數的底e,圓周率

π,兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1,以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」,我們只能看它而不能理解它。

8樓:匿名使用者

|令z=cosx+isinx

則dz/dx=-sinx+icosx=i²sinx+icosx=zidz/z=idx

ln|z|=ix+c

由於x=0時,z=1,則c=0

所以ln|z|=ix

z=e^(ix)=cosx+isinx

9樓:狂曠念鴻禧

用拓樸學方法證明尤拉公式

嘗尤拉公式:對於任意多面體(即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體),假

設f,e和v分別表示面,稜(或邊),角(或頂)的個數,那麼

f-e+v=2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的尤拉公式。

證明如圖15(圖是立方體,但證明是一般的,是「拓樸」的):

(1)把多面體(圖中①)看成表面是薄橡皮的中空立體。

(2)去掉多面體的一個面,就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形,像圖中②的樣子。假設f′,e′和v′分別表示這個平面圖形的(簡單)多邊形、邊和頂點的個數,我們只須證明f′-e′+v′=1。

(3)對於這個平面圖形,進行三角形分割,也就是說,對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線,一直到成為一些三角形為止,像圖中③的樣子。每引進一條對角線,f′和e′各增加1,而v′卻不變,所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候,f′-e′+v′的值仍然沒有變。

有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

(4)如果某一個三角形有一邊在邊界上,例如圖④中的△abc,去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊,即ac,這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變,所以f′-e′+v′也沒有變。

(5)如果某一個三角形有二邊在邊界上,例如圖⑤中的△def,去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊,即df和ef,這樣就去掉△def。這樣f′減去1,e′減去2,v′減去1,因此f′-e′+v′仍沒有變。

(6)這樣繼續進行,直到只剩下一個三角形為止,像圖中⑥的樣子。這時f′=1,e′=3,v′=3,因此f′-e′+v′=1-3+3=1。

(7)因為原來圖形是連在一起的,中間引進的各種變化也不破壞這事實,因此最後圖形還是連在一起的,所以最後不會是分散在向外的幾個三角形,像圖中⑦那樣。

(8)如果最後是像圖中⑧的樣子,我們可以去掉其中的一個三角形,也就是去掉1個三角形,3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。

即f′-e′+v′=1

成立,於是尤拉公式:

f-e+v=2得證。

尤拉公式的推導過程,尤拉公式如何推匯出來

慕野清流 一方面,在原圖中利用各面求內角總和。設有f個面,各面的邊數為n1,n2,nf,各面內角總和為 n1 2 180 n2 2 180 nf 2 180 n1 n2 nf 2f 180 2e 2f 180 e f 360 1 另一方面,在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形,其內角...

尤拉公式是怎麼推匯出來的,尤拉公式如何推匯出來

用拓樸學方法證明尤拉公式 嘗尤拉公式 對於任意多面體 即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體 假 設f,e和v分別表示面,稜 或邊 角 或頂 的個數,那麼 f e v 2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面 稜 頂點數的尤拉公式。證明 如圖15 圖是立方體,但證明是一般的,是 拓樸 的 1 把多面體...

求尤拉公式的推導

e ix cosx isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數,建立了三角函式和指數函式的關係,它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。e ix cosx isinx的證明 因為e x 1 x 1!x 2 2!x 3 3 x 4 4 cos x 1 x 2 2 x 4 4...