1樓：尨蓇厵菭
第一個尤拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下:
從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。
但是，點，邊和麵的個數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)
重複一系列可以簡化網路卻不改變其尤拉數(也是尤拉示性數) f − e + v的額外變換。
若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和麵的個數各減一而保持頂點數不變。
（逐個）除去所有和網路外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。
重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對於一個三角形f = 2 (把外部數在內), e = 3, v = 3。所以f − e + v = 2。證畢。
尤拉公式：
其中v,e和f分別是點，邊和麵的個數。 特別的有，對於所有和一個球面同胚的多面體，我們有：
2樓：匿名使用者
用拓樸學方法證明尤拉公式
嘗尤拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假 設f，e和v分別表示面，稜（或邊），角（或頂）的個數，那麼
f-e+v=2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的尤拉公式。
證明 如圖15（圖是立方體，但證明是一般的，是「拓樸」的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設f′，e′和v′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明f′-e′+v′=1。
（3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，f′和e′各增加1，而v′卻不變，所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候，f′-e′+v′的值仍然沒有變。
有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△abc，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即ac，這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變，所以f′-e′+v′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△def，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即df和ef，這樣就去掉△def。這樣f′減去1，e′減去2，v′減去1，因此f′-e′+v′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。
即f′-e′+v′=1
成立，於是尤拉公式：
f-e+v=2得證。
尤拉公式如何推匯出來
3樓：縱橫豎屏
推導過程這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式
這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；
以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」。
4樓：匿名使用者
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!
+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!
-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!
-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=
5樓：抗豐席韋
尤拉公式有4條
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）複數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=r＾2-2rr
（4）多面體
設v為頂點數，e為稜數，是面數，則
v-e+f=2-2p
p為尤拉示性數，例如
p=0的多面體叫第零類多面體
p=1的多面體叫第一類多面體
等等其實尤拉公式是有4個的，上面說的都是多面體的公式
6樓：林清他爹
尤拉公式不是推匯出來的，尤拉公式就是一個定義式！如下：
在複變函式中，設z是一個作為宗量（也就是自變數）的複數，則z=x+iy。則定義w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。請注意上式的幾個等號的含義：
第二個等號定義了有e^z這種形式的複變函式（具體是什麼對應法則不清楚，只是告訴你有這麼樣的一個函式）；第三個等號不是新的定義，是等價替換；第四個等號是一個新的定義，定義了這個函式滿足一個新的運演算法則（指數之和可以拆分成兩項之積，類似於實數）；第五個等號定義了尤拉公式，告訴你e^iy具體的對應法則！（這裡可能有點不好理解，因為e^z是一個複變函式，那麼e^z肯定是一個複數，那麼它肯定也能用x+iy這樣的形式表達出來，第五個等號就是給出了函式的對應法則！）
所以嚴格來說尤拉公式不是推匯出來的，只是一個定義式！只不過當時沒有直接定義，而是根據類比實數得出來的，然後才有了嚴格的定義。網上有好多人問尤拉公式怎麼證明，其實這顯示出了他們邏輯的混亂，沒有正確區分類比演義，定義，定理，證明四者的關係。
剛開始並沒有尤拉公式這個嚴格的定義，最初的尤拉公式是人們通過類比實數得出的演繹結果罷了，然後才有了尤拉公式嚴格的定義。
7樓：
複變函式論裡的尤拉公式
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!
+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!
-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!
-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!
-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!
…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式裡的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起：兩個超越數：
自然對數的底e，圓周率
π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」，我們只能看它而不能理解它。
8樓：匿名使用者
|令z=cosx＋isinx
則dz/dx=－sinx＋icosx=i²sinx＋icosx=zidz/z=idx
ln|z|=ix＋c
由於x=0時，z=1，則c=0
所以ln|z|=ix
z=e^(ix)=cosx＋isinx
9樓：狂曠念鴻禧
用拓樸學方法證明尤拉公式
嘗尤拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假
設f，e和v分別表示面，稜（或邊），角（或頂）的個數，那麼
f-e+v=2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的尤拉公式。
證明如圖15（圖是立方體，但證明是一般的，是「拓樸」的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設f′，e′和v′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明f′-e′+v′=1。
（3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，f′和e′各增加1，而v′卻不變，所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候，f′-e′+v′的值仍然沒有變。
有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△abc，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即ac，這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變，所以f′-e′+v′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△def，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即df和ef，這樣就去掉△def。這樣f′減去1，e′減去2，v′減去1，因此f′-e′+v′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。
即f′-e′+v′=1
成立，於是尤拉公式：
f-e+v=2得證。
尤拉公式的推導過程，尤拉公式如何推匯出來
慕野清流 一方面，在原圖中利用各面求內角總和。設有f個面，各面的邊數為n1,n2，nf，各面內角總和為 n1 2 180 n2 2 180 nf 2 180 n1 n2 nf 2f 180 2e 2f 180 e f 360 1 另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形，其內角...
尤拉公式是怎麼推匯出來的，尤拉公式如何推匯出來
用拓樸學方法證明尤拉公式 嘗尤拉公式 對於任意多面體 即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體 假 設f，e和v分別表示面，稜 或邊 角 或頂 的個數，那麼 f e v 2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面 稜 頂點數的尤拉公式。證明 如圖15 圖是立方體，但證明是一般的，是 拓樸 的 1 把多面體...
求尤拉公式的推導
e ix cosx isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。e ix cosx isinx的證明 因為e x 1 x 1！x 2 2！x 3 3 x 4 4 cos x 1 x 2 2 x 4 4...