1樓：
由於數論函式很不規則，所以一般不考慮他們的精確和，而只考慮他們的近似逼近或考慮平均值，故只有近似公式，小於x(x 為實數)的尤拉函式都加起來為3*x^2/(π^2)+o(x*lnx).
2樓：逍遙小帝皇
φ函式的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。
φ(1)=1（唯一和1互質的數(小於等於1)就是1本身）。 (注意：每種質因數只一個。
比如12=2*2*3那麼φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。
設n為正整數，以 φ(n)表示不超過n且與n互素的正整數的個數，稱為n的尤拉函式值，這裡函式φ：n→n，n→φ(n)稱為尤拉函式。
尤拉函式是積性函式——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性質：當n為奇數時，φ(2n)=φ(n), 證明與上述類似。
若n為質數則φ(n)=n-1。
一道初等數論證明題其中φ（n）是尤拉函式？
3樓：就一水彩筆摩羯
^24的約數有1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 其中後繼為素數的有1, 2, 4, 6, 12.
因此n的可能質因數有2, 3, 5, 7, 13.
可設n = 2^a·3^b·5^c·7^d·13^e.
有24 = φ(n) = φ(2^a)·φ(3^b)·φ(5^c)·φ(7^d)·φ(13^e).
分別由φ(2^a), φ(3^b), φ(5^c), φ(7^d), φ(13^e)是24的約數, 可知a ≤ 4, b ≤ 2, c, d, e ≤ 1.
可能性情況約束為有限種.
1. 若e = 1, 有φ(2^a)·φ(3^b)·φ(5^c)·φ(7^d) = φ(n)/φ(13) = 2.
可知a ≤ 2, b ≤ 1, c = d = 0.
(1) 若b = 1, φ(2^a) = 1, 可得a = 0, 1, 分別得解n = 39, 78.
(2) 若b = 0, φ(2^a) = 2, 可得a = 2, 得解n = 52.
2. 若e = 0, d = 1, 有φ(2^a)·φ(3^b)·φ(5^c) = φ(n)/φ(7) = 4.
可知a ≤ 3, b ≤ 1, c ≤ 1.
(1) 若c = 1, φ(2^a)·φ(3^b) = 1, 得b = 0, a = 0, 1, 分別得解n = 35, 70.
(2) 若c = 0, b = 1, φ(2^a) = 2, 得a = 2, 得解n = 84.
(3) 若b = c = 0, φ(2^a) = 4, 得a = 3, 得解n = 56.
3. 若d = e = 0, c = 1, 有φ(2^a)·φ(3^b) = φ(n)/φ(5) = 6.
可知b = 2, 否則左端不能被3整除.
於是φ(2^a) = 1, 得a = 0, 1, 得解n = 45, 90.
4. 若c = d = e = 0, 有φ(2^a)·φ(3^b) = 24.
同樣知b = 2, 於是φ(2^a) = 4, 得a = 3, 得解n = 72.
綜上, 全部解為n = 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90, 共10個.
以上過程可以推廣為一般方法(雖然效率難以保證).
列舉φ(n)的約數, 確定n的可能的素因子.
確定各素因子的指數範圍, 然後在有限的範圍內列舉指數的取值.
視情況不需要列舉所有可能的組合, 而是可由已經取定的指數進一步限制未取定的指數的範圍.
4樓：匿名使用者
因為n+1和n-1均為素數，且n>4，所以n-1和n+1均為奇數，所以n是偶數或者說2的倍數。
因為n+1和n-1均為素數，且n>4，所以n-1和n+1均不是3的倍數（因為3的倍數的素數只有3）。有連續3個自然數必有一個是3的倍數，所以n是3的倍數。
所以n和2的倍數及3的倍數均不互質。
所以比n小的2的倍數有n/2個，比n小的3的倍數有n/3個，這些數中重複計算了比n小的6的倍數，這些數有n/6個。
所以與n互質的數最多有n-(n/2+n/3-n/6)=n/3證畢。
5樓：007數學象棋
^n>4，出現這樣兩個素數，n一定是6的倍數，設n=2^a 3^b c。
(c,6)=1, a>=1, b>=1
φ（n）= 2^(a-1) (2-1)3^(b-1)(3-1) φ（c）
= 2^a 3^(b-1) φ（c）
<=2^a 3^(b-1) c =n/3
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