1樓：匿名使用者
．函式y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1] ，值域是.
2．函式y＝arccosx的定義域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .
3．函式y＝arctgx的定義域是 r ，值域是.
4．函式y＝arcctgx的定義域是 r ，值域是 (0, π) .
5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.
6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.
7．若cosx＝－, x∈(, π)，則x＝.
8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，則x＝.
9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，則x＝.
二．基本要求：
1．正確理解反三角函式的定義，把握三角函式與反三角函式的之間的反函式關係；
2．掌握反三角函式的定義域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函式中，定義域和值域的作用更為明顯，在研究問題時，一定要先看清楚變數的取值範圍；
3．符號arcsinx可以理解為[－，]上的一個角或弧，也可以理解為區間[－，]上的一個實數；同樣符號arccosx可以理解為[0，π]上的一個角或弧，也可以理解為區間[0，π]上的一個實數；
4．y＝arcsinx等價於siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等價於cosy＝x, x∈[0, π], 這兩個等價關係是解反三角函式問題的主要依據；
5．注意恆等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的運用的條件；
6．掌握反三角函式的奇偶性、增減性的判斷，大多數情況下，可以與相應的三角函式的圖象及性質結合起來理解和應用；
7．注意恆等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的應用。
例一．下列各式中成立的是（c）。
（a）arcctg(－1)＝－ （b）arccos(－)＝－
（c）sin[arcsin(－)]＝－ （d）arctg(tgπ)＝π
解：(a)(b)中都是值域出現了問題，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],
(d)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (a)(b)(d)都不正確。
例二．下列函式中，存在反函式的是（d）。
（a）y＝sinx, x∈[－π, 0] （b）y＝sinx, x∈[, ]
（c）y＝sinx, x∈[,] （d）y＝sinx, x∈[,]
解：本題是判斷函式y＝sinx在哪個區間上是單調函式，由於y＝sinx在區間[,]上是單調遞減函式， 所以選d。
例三． arcsin(sin10)等於（c）。
（a）2π－10 （b）10－2π （c）3π－10 （d）10－3π
解：本題是判斷哪個角度的正弦值與sin10相等，且該角度在[－, ]上。
由於sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以選c。
例四．求出下列函式的反函式，並求其定義域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),
∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].
(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,
∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].
例五．求下列函式的定義域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),
解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,
由於－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由於2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈r, y∈(0, ).
例六．求下列函式的值域：
(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.
解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).
(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx與arctgx都是增函式,
∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].
例七．判斷下列函式的奇偶性：
(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.
解：(1) f (x)的定義域是r， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),
∴ f (x)是偶函式;
(2) f (x)的定義域是r,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函式.
例八．作函式y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的圖象.
解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 圖象略。
例九．比較arcsin, arctg, arccos(－)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,
設arcsin＝α，sinα＝, 設arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝.
解：(1) x∈[－1, 1], 當x＝時, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函式,arccosx是減函式，
∴ 當x∈[－1, )時, arcsinx, ∴ arcsinx>＝arcsin,
∵ arcsinx是增函式, ∴ 0 （b）π－arcctgx>0 （c）arcsinx－≥0 （d）arctgx－>0
2．定義在(－∞, ∞)上的減函式是（d）。
（a）y＝arcsinx （b）y＝arccosx （c）y＝arctgx （d）y＝arcctgx
3．不等式arcsinx>－的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是.
四．試題精選：
(一) 選擇題：
1．cos(arccos)的值是（d）。
（a） （b） （c）cos （d）不存在
2．已知arcsinx>1，那麼x的範圍是（c）。
（a）sin10)以2為最小正週期，且能在x=2時取得最大值，則θ的一個值是（ ）
(a)- π (b)- π (c) π (d)
7．ω是正實數，函式 在 上遞增，那麼（ ）
(a) (b) (c) (d)
8．y=cos( +2x)sin( -2x)的單調遞增區間是（以下k∈z）（ ）
(a)[ ] (b)[ ]
(c)[ ] (d)[ ]
9．函式y=3sin(x+ 的最大值為（ ）
(a)4 (b) (c)7 (d)8
10．當x∈( )時，f(x)=|sin(3kx+ )|有一個完整的週期，則k能取的最小正整數值是（ ）
(a)12 (b)13 (c)25 (d)26
答案與解析
答案：1、d 2、c 3、a 4、d 5、c 6、a 7、a 8、a 9、d 10、b
解析：1．對於x∈r，-1≤sinx≤1，cos(sinx)>0恆成立，所以x∈r。
2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，則根據f(0)=0代入選項驗證即可。
注：奇函式的一個性質：如果奇函式f(x)的定義域中有0，則f(0)=0（反之不一定成立）。
3．首先整理，y=cos(x-π)=-cosx，
y= =|cosx|=-cosx (∵x∈，cosx<0)
y= (x= 時無意義，顯然不是答案)
y=cos(x- π)=-sinx，
y=cos(-x-4π)=cosx。
4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。
注：對於函式圖象平移，掌握左加右減（向左平移時x加一個數，向右平移時x減一個數）的法則，還需注意，只是改變(x)。
5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]
即x變成x- ，所以是向右平移 個單位。
6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由t= =2，ω= ，且x=2時，f(x)取最大值，代入選項驗證即可。
7．令ωx=t，因為f(x)=2sint在[- ， ]上是增函式，
所以- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ，
根據已知f(x)在[- ， ]上遞增，所以 ，解出0<ω≤ 。
8．化簡出y= - sin4x=- sin4x+ ，原題即求sin4x的遞減區間，
2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。
9．注意到 ，化簡原式y=8cos(x- )。
10．函式f(x)的週期t= ，根據題意t ，即 ，解出k≥4π。
注：函式f(x)=|sinωx|的週期是t= 。
含引數的三角函式問題
有關含引數的問題，因為能很好的考察分類討論的數學思想和比較深刻地考察數學能力，在前幾年的高考中一度成為熱門。但是因為難度較大，近兩年有所降溫。含引數問題較多的出現在不等式和函式的有關問題中，在三角函式中也時有涉及。
但因為三角函式在高考中多以低檔題和中檔題出現，本部分內容較難。
所謂的含引數，就是與變數有關。因此處理這類問題要有變數的思想，就是要把引數看作是一個運動的、一個變化的量。這個引數變化為不同的值時，可能對解題過程產生不同的影響，這就需要分類討論。
下面幾個例題都是參變數與三角函式的圖象與性質相結合的問題。
例1．若對於一切實數x，cos2x=acos2x+bcosx+c恆成立，那麼a2+b2+c2=_______。
分析：當變數x變化時，cosx的值也在變化，但這個變化不能影響整個式子的值。
解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不論x取何值，這個式子恆成立，
則必須a-2=0，b=0，c+1=0同時成立，解出a=2，b=0，c=-1，所以a2+b2+c2=5。
注：要使acosx不受x值變化的影響，只能a=0。
例2．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值範圍。
分析：要求變數a的取值範圍，則必須根據已知條件找到一個含有a的不等式，同時注意本題中正弦函式的有界性。
解：因為α+β<0，則α<-β，同時α,-β∈[- ， ],
根據y=sinx在[- ， ]上是增函式，得到sinα (sinθ-1<0)
令y= ，則y是一個變數，要使2m>y成立，只要2m>y的最大值即可。
下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1)
y= =sinθ+
=sinθ+1+
=-[(1-sinθ)+ ]+2
∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0時，取最小值3，
∴ y最大值=-1，2m>-1，m>- ，
所以當θ= 時，m取任意實數，原式都成立，
當0≤θ< 時，m>- 原式都成立。
注意：1、本題是一個綜合題，屬於較難的題目，考察的知識較多，但要體會變數的思想。
2、求函式y=x+ (a>0)的最值，可根據影象觀察在(0,+∞)的圖象，如圖（是奇函式）。
總結：在例1，3，4，5中都體現了變數的思想，注意體會。例5比較深刻地考察了分類討論的思想。另外，含引數問題往往和取值範圍聯絡在一起，也就註定了要與不等式聯絡在一起。
高考精題
1．下列四個函式中，以π為最小正週期，且在區間 上為減函式的是（ ）。
a、y=cos2x b、y=2|sinx| c、 d、y=-cotx
解：y=cos2x, ，週期是π，在區間 上是增函式，
y=2|sinx|，週期是π，在區間 上是減函式，
，至少可以判斷，在區間 上不是減函式，
y=-cotx，在區間 上是增函式，∴應選b。
2．函式y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致圖象是（ ）。
解：由函式的奇偶性（非奇非偶）及特殊點的座標先刪去a、b、d。∴ 應選c。
3．設函式f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函式，則t的一個可能值是___。
解：畫出f(x)=sin2x的草圖，不難看出將影象向左水平移 ，就可得到關於y軸對稱的影象，
∴ 應填 。
4. 函式y=-xcosx的部分影象是（ ）。
解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),
那麼f(x)是奇函式(x∈r)，可在b、d中選，
又∵ 設影象上一點 ，在x軸下方，
∴ 應選d。
5．已知函式f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，其中 。
（1）當 時，求函式f(x)的最大值與最小值；
（2）求θ的取值範圍，使y=f(x)在區間 上是單調函式。
解：（1）當 時， ，
∴ 時，f(x)的最小值為 ，
x=-1時，f(x)的最大值為 。
（2）函式f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ影象的對稱軸為x=-tanθ，
∵ y=f(x)在區間[-1, ]上是單調函式，
∴ -tanθ≤-1或 ，
即tanθ≥1或tanθ≤ ,
因此，θ的取值範圍是 。
評註：本題是二次函式與三角函式基本知識的綜合題，問題（1）解中，得到二次函式的解析式後，要注意區間端點處的函式值與該函式的最值的正確比較，加以取捨。
第（2）問中，依題設f(x)在區間 上是單調函式，要分類考慮，若是單調遞增，則-tanθ≤-1，若是單調遞減，則 ，這一步是解題的關鍵，也是難點。
6．已知函式 x∈r。
（i）當函式y取得最大值時，求自變數x的集合；
（ii）該函式的影象可由y=sinx(x∈r)的影象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
解：（i）
y取得最大值必須且只需
即 k∈z。
所以當函式y取得最大值時，自變數x的集合為 .
（ii）將函式y=sinx依次進行如下變換：
(i)把函式y=sinx的影象向左平移 ，得到函式 的影象；
(ii)把得到的影象上各點橫座標縮短到原來的 倍（縱座標不變），得到函式 的影象；
(iii)把得到的影象上各點縱座標縮短到原來的 倍（橫座標不變），得到函式 的影象；
(iv)把得到的影象向上平移 個單位長度，得到函式 的影象；
綜上得到函式 的影象。
評註：應用三角公式，將已知函式式化成一個角[即 ]的簡單函式解析式，便可討論其最值，本題的解答以相應的影象變換給以詳細說明，要理解掌握。
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