1樓：子不語望長安
證明：∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx 兩倍角公式
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)], [注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+c]
=ln|tan(x/2)|+c
進一步化簡:
=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+c
=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+c 湊出兩倍角公式
=ln|sinx/(1+cosx)|+c
=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+c
=ln|(1-cosx)/sinx|+c
=ln|cscx-cotx|+c
用到常用不定積分：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c
14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c
16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;
17) ∫shx dx=chx+c;
18) ∫chx dx=shx+c;
19) ∫thx dx=ln(chx)+c
2樓：一個人郭芮
是這樣來做的，
∫ (1/sinx)dx
=∫ (cscx)dx
=∫ cscx(cscx-cotx)/(cscx-cotx) dx=∫ (csc²x-cscxcotx)/(cscx-cotx) dx 注意cscx的導數是 -cscxcotx，而 -cotx的導數是csc²x
=∫ 1/(cscx-cotx) d(cscx-cotx)=ln|cscx-cotx|+c
或者可以這樣來做
∫1/sinxdx
=∫sinx/sin²x dx
= -∫dcosx/(1-cos²x)
=1/2 ∫ [1/(cosx -1) - 1/(cosx +1)] dcosx
=1/2 ln|(cosx-1)/(cosx+1)|+c
1/sinx的不定積分
3樓：韓苗苗
∫ 1/sinx dx
= ∫ cscx dx
= ∫ cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx
= ∫ (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx
= ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)
= ln|抄cscx - cotx| + c
擴充套件資料
設f(x)是函式f(x)的一個
原函式，函式f(x)的所有原函式f(x)+ c(其中，c為任意常數）叫做函式f(x)的不定積分，又叫做函式f(x)的反導數，記作∫f(x)dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f(x)dx=f(x)+c。
∫叫做積分號，f(x)叫做被積函式，x叫做積分變數，f(x)dx叫做被積式，c叫做積分常數或積分常量，求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行不定積分。
4樓：匿名使用者
本題有多種做法，結果可能不太一樣，但可以驗證，不同的結果之間最多相差一個常數.
5樓：匿名使用者
||∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,兩倍角公式=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)], [注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+c]
=ln|tan(x/2)|+c, (答案一)進一步化內簡:
=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+c=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+c,湊出容兩倍角公式
=ln|sinx/(1+cosx)|+c
=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+c=ln|(1-cosx)/sinx|+c
=ln|cscx-cotx|+c, (答案二)
6樓：匿名使用者
一種更快的方法,嘿嘿
不定積分dx/sinx=，要步驟謝謝
7樓：小小芝麻大大夢
∫ dx/sinx=ln|cscx-cotx| +c。c為常數。
解答過程如下：
∫ cscx dx=ln|cscx-cotx| +c
∫ secx dx=ln|secx+tanx| +c
∫ dx/sinx
=∫ cscx dx
=∫ cscx (cscx-cotx)/(cscx-cotx) dx
=∫ 1/(cscx-cotx) d(cscx-cotx)
=ln|cscx-cotx| +c
擴充套件資料：
分部積分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
兩邊積分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,這就是分部積分公式
也可簡寫為：∫ v du = uv - ∫ u dv
不定積分的公式
1、∫ a dx = ax + c，a和c都是常數
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c，其中a為常數且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + c
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + c，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + c
6、∫ cosx dx = sinx + c
7、∫ sinx dx = - cosx + c
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + c = - ln|cscx| + c
8樓：匿名使用者
其實這裡有兩個公式 最好記住
∫ cscx dx=ln|cscx-cotx| +c∫ secx dx=ln|secx+tanx| +c∫ dx/sinx
=∫ cscx dx
=∫ cscx (cscx-cotx)/(cscx-cotx) dx=∫ 1/(cscx-cotx) d(cscx-cotx)=ln|cscx-cotx| +c,c為常數
9樓：匿名使用者
∫dx/sinx=∫sinxdx/sin²x=-∫d(cosx)/(1-cos²x)=-∫1/2[1/(1+cosx)+1/(1-cosx)]d(cosx)
=-1/2∫d(cosx)/(1+cosx)-1/2∫d(cosx)/(1-cosx)=-1/2ln(1+cosx)+1/2ln(1-cosx)+c
=1/2ln(1-cosx)/(1+cosx)+c
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