三角函式正弦,餘弦,正切,餘切公式

時間 2021-05-07 20:01:23

1樓:等待晴天

三角函式中:

角a的正弦值就等於角a的對邊比斜邊,

餘弦等於角a的鄰邊比斜邊

正切等於對邊比鄰邊,

1.正弦公式是

sin(a) = 直角三角形的對邊比斜邊

放到圓裡,斜邊r為半徑,對邊y平行y向,鄰邊x平行x向.

斜邊與鄰邊夾角a

sin(a) = y / r

無論y>x 或 y<=x

無論a多大多小.

2.餘弦=勾長/弦長

勾股弦放到圓裡。弦是圓周上兩點。

3.在rt△abc(直角三角形)中,∠c=90°,ab是∠c的對邊c,bc是∠a的對邊a,ac是∠b的對邊b,正切函式就是tana=a/b,即tana=bc/ac。

4.直角三角形任意一銳角的鄰邊和對邊的比,叫做該銳角的餘切。

假設∠a的對邊為a、鄰邊為b,那麼:

cot a= b/a(即鄰邊比對邊)。

2樓:匿名使用者

平方關係

sin^2(α)+cos^2(α)=1

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=1- 2sin^2(a)=2cos^2(a)-1

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

tan^2(α)+1=1/cos^2(α)

2sin^2(a)=1-cos(2a)

cot^2(α)+1=1/sin^2(a)

積的關係

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα

倒數關係

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

商的關係

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

三角函式

直角三角

三角函式

形abc中,

角a的正弦值就等於角a的對邊比斜邊,

餘弦等於角a的鄰邊比斜邊

正切等於對邊比鄰邊,

·對稱性

180度-α的終邊和α的終邊關於y軸對稱。

-α的終邊和α的終邊關於x軸對稱。

180度+α的終邊和α的終邊關於原點對稱。

90度-α的終邊和α的終邊關於y=x對稱。

誘導公式

公式一:

設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等

k是整數

sin(2kπ+α)=sinα

cos(2kπ+α)=cosα

tan(2kπ+α)=tanα

cot(2kπ+α)=cotα

公式二:

設α為任意角,π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:

任意角α與 -α的三角函式值之間的關係

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六:

π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

誘導公式的**以及推導方法(定名法則和定號法則)

sinβ

cosβ

tanβ

cotβ

secβ

cscβ

360°k+α

sinα

cosα

tanα

cotα

secα

cscα

90°-α

cosα

sinα

cotα

tanα

cscα

secα

90°+α

cosα

-sinα

-cotα

-tanα

-cscα

secα

180°-α

sinα

-cosα

-tanα

-cotα

-secα

cscα

180°+α

-sinα

-cosα

tanα

cotα

-secα

-cscα

270°-α

-cosα

-sinα

cotα

tanα

-cscα

-secα

270°+α

-cosα

sinα

-cotα

-tanα

cscα

-secα

360°-α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

﹣α-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

定名法則

90°的奇數倍+α的三角函式,其絕對值與α三角函式的絕對值互為餘函式。90°的偶數倍+α的三角函式與α的三角函式絕對值相同。也就是「奇餘偶同,奇變偶不變」

定號法則

將α看做銳角(注意是「看做」),按所得的角的象限,取三角函式的符號。也就是「象限定號,符號看象限」.(或為「奇變偶不變,符號看象限」

2在kπ/中如果k為奇數時函式名不變,若為偶數時函式名變為相反的函式名。正負號看原函式中α所在象限的正負號。關於正負號有可口訣;一全二正弦,三切四餘弦,即第一象限全部為正,第二象限角正弦為正,第三為正切、餘切為正,第四象限餘弦為正。

)比如:90°+α。定名:

90°是90°的奇數倍,所以應取餘函式;定號:將α看做銳角,那麼90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦為正,餘弦為負。所以sin(90°+α)=cosα, cos(90°+α)=-sinα 這個非常神奇,屢試不爽~

還有一個口訣「縱變橫不變,符號看象限」,例如:sin(90°+α),90°的終邊在縱軸上,所以函式名變為相反的函式名,即cos,將α看做銳角,那麼90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦為正,所以sin(90°+α)=cosα

兩角和與差的三角函式

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

積化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)

cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) =tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)

n倍角公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-c(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+c(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-c(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+c(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…

半形公式

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))

csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))

輔助角公式

asinα+bcosα=√(a^2+b^2)sin(α+φ)(tanφ=b/a)

asinα+bcosα=√(a^2+b^2)cos(α-φ)(tanφ=a/b)

萬能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

降冪公式

sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

三角和的三角函式

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

其它公式

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)

cos30=sin60

sin30=cos60

推導公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2

其他及證明

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0

以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0

cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

證明:左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (積化和差)

=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊

等式得證

sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

證明:左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊

等式得證

三倍角公式推導

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]

=4sina(sin^260°-sin^2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4)

=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos^2a-cos^230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

三角函式,正弦,餘弦定理,三角函式 正餘弦定理

a sina b sinb c sinc c 2 a 2 b 2 2abcosc 三角函式正弦餘弦定理 三角函式 正餘弦定理 sin c a 1 所以c a 90 sinb 1 3 sin a c 1 3 sin 90 2a 1 3 cos2a 1 3 cosa 2 sina 2 1 3 1 cos...

三角函式30 45 60 75 90的正弦餘弦正切餘切

記不住的話用的時候就畫圖,把邊的長度用簡單的數字寫出來,比如三十度的,三十度對應的設為 1,則斜邊為2六十度對應的是根號3 這樣也不浪費時間 sin30 1 2 cos30 3 2 tan30 3 3 cot30 3 sec30 2 3 3 csc30 2 sin45 2 2 cos45 2 2 t...

如何求三角函式的單調性,正弦,餘弦三角函式單調性怎麼判斷

1.求函式y 3sin 3 x 2 的單調遞增區間。因為x的係數是負的,所以變成求它的減區間,是不是這樣說呢?可是為什麼不能把負號提出來然後依然就是求它的增區間呢?y sin x sinx而和y sinx的圖象是關於x軸對稱的。所以求函式y sinx的單調遞增區間 是求函式y sinx的減區間。求函...