1樓：小陳lrij9墋
那些東西都是略去了高階無窮小以後的近似值，不是可以嚴格推出的準確值！不要去看《高等數學》教材裡的這些內容，這些東西純粹是「搗漿糊」（上海時髦話），在講平面裡極座標下面積元素的時候就在「搗」了，大多學生被糊弄過去了，在空間能被「搗」明白的就不多了。之所以我說是「搗漿糊」，是因為它根本沒有證明被略去的是否真的是高階無窮小！
——以學習高等數學的學生水平，要證明也難。
如果你是教師，建議你還是先講重積分的換元法，可以在講極座標計算二重積分之前就講，這樣得到極座標下的面積元素、柱面座標與球面座標下的體積元素就非常容易了。雖然重積分的換元法一般沒有列入教學計劃，也沒有列入考研大綱，但從教學時間而言，不會多花費時間的；從學生而言，畢竟可以多得到一些知識，否則反覆「搗漿糊」化了不少時間，學生卻一無所得，何苦呢？倒不如干脆讓學生記住各種座標下的面積元素、體積元素，把這些搗漿糊的內容略去，這還可以省去一些課堂教學時間呢！
2樓：宰父梅花所姬
上面回答沒有符合問題的要求，他是利用二重積分計算體積，並且使用極座標時極徑r的取值範圍，而你是希望用三重積分計算體積，並且使用球面座標，解答如下：
如何利用球面座標計算下列三重積分？
3樓：匿名使用者
答：32πa⁵/15
方法一：標準球座標
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ
62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365633836 cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = 2acosφ
由於整個球面在xoy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
方法二：廣義球座標
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = a
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0
剩下r² * r²就好算了
方法三：平移，其實跟廣義極座標一樣原理
x = u
y = v
z = a + w
dv = du***w
ω方程變為：u²+v²+w² = a²
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w
= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w
後面那個利用對稱性得結果為0，前面的可直接用球座標
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15
利用球面座標計算下列三重積分∫∫∫ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中ω為球體x2+y2+(z-
4樓：匿名使用者
答：32πa⁵/15
方法一：標準球座標
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = 2acosφ
由於整個球面在xoy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
方法二：廣義球座標
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = a
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0
剩下r² * r²就好算了
方法三：平移，其實跟廣義極座標一樣原理
x = u
y = v
z = a + w
dv = du***w
ω方程變為：u²+v²+w² = a²
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w
= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w
後面那個利用對稱性得結果為0，前面的可直接用球座標
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15
利用球面座標計算三重積分時候fai角的範圍怎麼確定
墨汁諾 先把空間區域投影到到yoz平面而 是z正軸到z負軸的角度 要從空間方程取得 先把x設為0 方程變為f y,z 0這形式 然後兩個關於y和z的方程的交接點，以第一象限為準最後 arctan z座標 y座標 對於錐面，一般為 4 直角座標系法 適用於被積區域 不含圓形的區域，且要注意積分表示式的...
用柱面座標計算下面的三重積分，利用柱面座標計算三重積分
用補形的方法將積分割槽域化為叫規整的形狀在求積分 詳細過程請見下圖,希望對親有幫助 有不明白或看不到圖的話請hi我,隨時幫助 用柱面 x 2 y 2 1 把 分成 1 x 2 y 2 1,1 z 2 和 2 1 x 2 y 2 2,x 2 y 2 z 2 兩部分。i1 d r 4 r dr dz r...
高等數學三重積分問題，高等數學三重積分計算問題，要詳細過程，本人小白
西域牛仔王 二重積分是計算曲邊多面體體積，當被積函式 1 時，在數值上等於積分割槽域面積。同理，定積分計算曲邊梯形面積，當被積函式 1 時，在數值上等於積分割槽間長度。因此，當被積函式 1 時，三重積分在數值上等於積分割槽域的體積。 本例題都是用截面法求體積。v1 是球體的一部分，x 2 y 2 z...