利用球面座標計算三重積分,如何利用球面座標計算下列三重積分?

時間 2021-08-30 09:04:14

1樓:小陳lrij9墋

那些東西都是略去了高階無窮小以後的近似值,不是可以嚴格推出的準確值!不要去看《高等數學》教材裡的這些內容,這些東西純粹是「搗漿糊」(上海時髦話),在講平面裡極座標下面積元素的時候就在「搗」了,大多學生被糊弄過去了,在空間能被「搗」明白的就不多了。之所以我說是「搗漿糊」,是因為它根本沒有證明被略去的是否真的是高階無窮小!

——以學習高等數學的學生水平,要證明也難。

如果你是教師,建議你還是先講重積分的換元法,可以在講極座標計算二重積分之前就講,這樣得到極座標下的面積元素、柱面座標與球面座標下的體積元素就非常容易了。雖然重積分的換元法一般沒有列入教學計劃,也沒有列入考研大綱,但從教學時間而言,不會多花費時間的;從學生而言,畢竟可以多得到一些知識,否則反覆「搗漿糊」化了不少時間,學生卻一無所得,何苦呢?倒不如干脆讓學生記住各種座標下的面積元素、體積元素,把這些搗漿糊的內容略去,這還可以省去一些課堂教學時間呢!

2樓:宰父梅花所姬

上面回答沒有符合問題的要求,他是利用二重積分計算體積,並且使用極座標時極徑r的取值範圍,而你是希望用三重積分計算體積,並且使用球面座標,解答如下:

如何利用球面座標計算下列三重積分?

3樓:匿名使用者

答:32πa⁵/15

方法一:標準球座標

x²+y²+(z-a)² = a²

x²+y²+z² = 2az

x = r sinφ

62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365633836 cosθ

y = r sinφ sinθ

z = r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = 2acosφ

由於整個球面在xoy面上,所以0 ≤ φ ≤ π/2

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr

= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)

= 32πa⁵/15

方法二:廣義球座標

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = a + r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = a

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr

後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0

剩下r² * r²就好算了

方法三:平移,其實跟廣義極座標一樣原理

x = u

y = v

z = a + w

dv = du***w

ω方程變為:u²+v²+w² = a²

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w

= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w

後面那個利用對稱性得結果為0,前面的可直接用球座標

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr

= (2π)(2)(8a⁵/15)

= 32πa⁵/15

利用球面座標計算下列三重積分∫∫∫ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中ω為球體x2+y2+(z-

4樓:匿名使用者

答:32πa⁵/15

方法一:標準球座標

x²+y²+(z-a)² = a²

x²+y²+z² = 2az

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = 2acosφ

由於整個球面在xoy面上,所以0 ≤ φ ≤ π/2

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr

= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)

= 32πa⁵/15

方法二:廣義球座標

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = a + r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = a

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr

後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0

剩下r² * r²就好算了

方法三:平移,其實跟廣義極座標一樣原理

x = u

y = v

z = a + w

dv = du***w

ω方程變為:u²+v²+w² = a²

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w

= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w

後面那個利用對稱性得結果為0,前面的可直接用球座標

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr

= (2π)(2)(8a⁵/15)

= 32πa⁵/15

利用球面座標計算三重積分時候fai角的範圍怎麼確定

墨汁諾 先把空間區域投影到到yoz平面而 是z正軸到z負軸的角度 要從空間方程取得 先把x設為0 方程變為f y,z 0這形式 然後兩個關於y和z的方程的交接點,以第一象限為準最後 arctan z座標 y座標 對於錐面,一般為 4 直角座標系法 適用於被積區域 不含圓形的區域,且要注意積分表示式的...

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