利用球面座標計算三重積分時候fai角的範圍怎麼確定

時間 2021-09-13 23:07:19

1樓:墨汁諾

先把空間區域投影到到yoz平面而φ是z正軸到z負軸的角度

要從空間方程取得φ,先把x設為0

方程變為f(y,z)=0這形式

然後兩個關於y和z的方程的交接點,以第一象限為準最後φ = arctan(z座標/y座標)對於錐面,φ一般為π/4

直角座標系法:

適用於被積區域ω不含圓形的區域,且要注意積分表示式的轉換和積分上下限的表示方法

⑴先一後二法投影法,先計算豎直方向上的一豎條積分,再計算底面的積分。

①區域條件:對積分割槽域ω無限制;

②函式條件:對f(x,y,z)無限制。

⑵先二後一法(截面法):先計算底面積分,再計算豎直方向上的積分。

①區域條件:積分割槽域ω為平面或其它曲面(不包括圓柱面、圓錐面、球面)所圍成

②函式條件:f(x,y)僅為一個變數的函式。

2樓:禁偌寒蟬

這是空間立體的圖形: 1、只要球體內,平行於水平面的任何一個圓環確定了,這個圓環上的任何 一點與z軸的夾角,都是一樣的; 2、上半球的夾角在0度至90度之間,下半球的夾角在90度至180度之間, 只分上下兩個半球,沒有左右之分,也沒有前後之分。

利用球面座標計算三重積分

3樓:小陳lrij9墋

那些東西都是略去了高階無窮小以後的近似值,不是可以嚴格推出的準確值!不要去看《高等數學》教材裡的這些內容,這些東西純粹是「搗漿糊」(上海時髦話),在講平面裡極座標下面積元素的時候就在「搗」了,大多學生被糊弄過去了,在空間能被「搗」明白的就不多了。之所以我說是「搗漿糊」,是因為它根本沒有證明被略去的是否真的是高階無窮小!

——以學習高等數學的學生水平,要證明也難。

如果你是教師,建議你還是先講重積分的換元法,可以在講極座標計算二重積分之前就講,這樣得到極座標下的面積元素、柱面座標與球面座標下的體積元素就非常容易了。雖然重積分的換元法一般沒有列入教學計劃,也沒有列入考研大綱,但從教學時間而言,不會多花費時間的;從學生而言,畢竟可以多得到一些知識,否則反覆「搗漿糊」化了不少時間,學生卻一無所得,何苦呢?倒不如干脆讓學生記住各種座標下的面積元素、體積元素,把這些搗漿糊的內容略去,這還可以省去一些課堂教學時間呢!

4樓:宰父梅花所姬

上面回答沒有符合問題的要求,他是利用二重積分計算體積,並且使用極座標時極徑r的取值範圍,而你是希望用三重積分計算體積,並且使用球面座標,解答如下:

如何利用球面座標計算下列三重積分?

5樓:匿名使用者

答:32πa⁵/15

方法一:標準球座標

x²+y²+(z-a)² = a²

x²+y²+z² = 2az

x = r sinφ

62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365633836 cosθ

y = r sinφ sinθ

z = r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = 2acosφ

由於整個球面在xoy面上,所以0 ≤ φ ≤ π/2

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr

= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)

= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)

= 32πa⁵/15

方法二:廣義球座標

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = a + r cosφ

dv = r²sinφ drdφdθ

ω方程變為:r = a

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr

後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0

剩下r² * r²就好算了

方法三:平移,其實跟廣義極座標一樣原理

x = u

y = v

z = a + w

dv = du***w

ω方程變為:u²+v²+w² = a²

∫_(ω) (x²+y²+z²) dv

= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w

= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w

後面那個利用對稱性得結果為0,前面的可直接用球座標

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr

= (2π)(2)(8a⁵/15)

= 32πa⁵/15

如圖,用球面座標計算三重積分時,ψ的取值範圍為什麼是0到派

6樓:釐米

因為ψ的幾何含義是向量與向量間的夾角,值域就是[0,π].

具體來說,ψ是向量(x,y,z)同xy平面法向量(0,0,1)之間的夾角。

利用球面座標計算三重積分時候,fai角的範圍怎麼確定?

7樓:匿名使用者

先把空間區域投影到到yoz平面

而φ是z正軸到z負軸的角度

要從空間方程取得φ,先把x設為0

方程變為f(y,z)=0這形式

然後兩個關於y和z的方程的交接點,以第一象限為準最後φ = arctan(z座標/y座標)對於錐面,φ一般為π/4

利用球面座標計算三重積分

8樓:匿名使用者

^座標變換:x=rsinacosb,duy=rsinasinb,z=rcosa,0<=r<=1,0<=a<=pi/2,0<=b<=pi/2。

原積分zhi=積分(dao從專0到1)dr積分(從0到pi/2)da

積分(從0到b)r^屬3sin^3acos^3b*rsinasinb*rcosa*r^2sinadb

=積分(從0到1)r^7dr 積分(從0到pi/2)sin^5acosa da 積分(從0到pi/2)cos^3bsinb db

=1/8* (sin^6a)/6|上限pi/2下限0 --(cos^4b)/4|上限pi/2下限0

=1/8*1/6*1/4

=1/192。

利用球面座標計算三重積分,如何利用球面座標計算下列三重積分?

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