1樓：
利用積分割槽域關於y=x對稱、轉化成極座標求解。
設x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/4，0≤ρ≤asecθ。∴原式=2∫(0,π/4)dθ∫(0,asecθ)ρ²dρ。
而，∫(0,asecθ)ρ²dρ=ρ³/3丨(ρ=0,asecθ)=(asecθ)³/3。∴原式=(2a³/3)∫(0,π/4)sec³θdθ。
又，2∫sec³θdθ=secθtanθ+ln丨secθ+tanθ丨+c。∴原式=[√2+ln(1+√2)]a³/3。
供參考。
2樓：匿名使用者
x = a，rcost = a， r = asect; y = a, rsint = a, r = acsct.
i = ∫<0, π/4> dt ∫<0, asect> r rdr + ∫<π/4, π/2> dt ∫<0, acsct> r rdr
= (a^3/3)∫<0, π/4> (sect)^3dt + (a^3/3)∫<π/4, π/2> (csct)^3dt .
∫(sect)^3dt = ∫sectdtant = sect tant - ∫sect(tant)^2dt
= sect tant - ∫[sect(sect)^2-1]dt
= sect tant - ∫(sect)^3dt + ln|sect+tant|
得 ∫(sect)^3dt = (1/2)[sect tant + ln|sect+tant|] ;
∫(csct)^3dt = -∫csctdcott = -csct cott - ∫csct(cott)^2dt
= -csct cott - ∫csct[(csct)^2-1]dt
= -csct cott - ∫(csct)^3dt + ln|csct-cott|
得 ∫(csct)^3dt = (1/2)[-csct cott + ln|csct-cott|]
則 i = (a^3/6)[sect tant + ln|sect+tant|]<0, π/4>
+ (a^3/6)[-csct cott + ln|csct-cott|]<π/4, π/2>
= (a^3/6)[√2+ln(√2+1) + √2-ln(√2-1)]
= (a^3/6) = (a^3/6)[2√2+2ln(√2+1)]
= (a^3/3)[√2+ln(√2+1)]
3樓：匿名使用者
設x=rcosu,y=rsinu,
原式=∫<0,π/4>du∫<0,a/cosu>r^2dr+∫<π/4，π/2>du∫<0,a/sinu>r^2dr
=(a^3/3)[∫<0,π/4>du/(cosu)^3+∫<π/4，π/2>du/(sinu)^3]
=(a^3/3)[∫<0,1/√2>dv/(1-v^2)^2(v=sinu）
+∫<0,1/√2>dw/(1-w^2)^2(w=cosu)]
=(2a^3/3)[2ln(1-v^2)+1/(1-v)+1/(1+v)]|<0,1/√2>
=(2a^3/3)(-2ln2+2).
利用極座標計算二重積分中，θ的範圍如何確定
4樓：桑葚味的小桑葚
確定θ的範圍的方法：看這個區域所在的象限範圍，解兩曲線的交點座標(x，y)後，角度θ=arctan(y/x)，就可得到θ的範圍。極座標θ的變化都是從原點位置開始掃起的。
注意角度必須是弧度制。
一般分3種情況：
1、原點（極點）在積分割槽域的內部，角度範圍從0到2π；
2、原點（極點）在積分割槽域的邊界，角度範圍從區域的邊界，按逆時針方向掃過去，到另一條止；
3、原點（極點）在積分割槽域之外，角度範圍從區域的靠極軸的邊界，按逆時針方向掃過去，到另一條止。
5樓：是你找到了我
1、原點（極點）在積分割槽域的內部
，θ的範圍從0到2π；
2、原點（極點）在積分割槽域的邊界，θ的範圍從區域的邊界，按逆時針方向掃過去；
3、原點（極點）在積分割槽域之外，θ的範圍從區域的靠極軸的邊界，按逆時針方向掃過去。
有許多二重積分僅僅依靠直角座標下化為累次積分的方法難以達到簡化和求解的目的。當積分割槽域為圓域，環域，扇域等，或被積函式為
等形式時，採用極座標會更方便。
6樓：匿名使用者
極座標r的範圍，可以畫一個從原點指向出來的箭頭，先穿越的曲線就是下限，後穿越的曲線就是上線。
角度θ的範圍就是看這個區域所在的象限範圍，解兩曲線的交點座標(x,y)後，角度θ=arctan(y/x)，如圖中，角度就是由0變化到π/2
極座標下的二重積分計算？？？？？
7樓：小夏在深圳
可以用極抄座標代替直角座標。積分結果幾何上為積分函式和積分割槽域所圍成的體積。積分割槽域可以無限劃分為更小的區域。
極座標下，二元函式的幾何意義是相同的，即二元函式與定義域圍成的體積。積分割槽域不確定，大部分情況下，首先給定角度，對r做積分。積分物件變複雜，因為引入了三角函式。
當化為二次積分時通常先對r積分後對θ積分。偶爾情況有變。
擴充套件資料
1、當區域d是圓形、扇形、環形或者它們的一部分時，而被積函式為f（x²+y²）、f（x/y）、f（y/x）時可在極座標系中計算二重積分。
2、二重積分的計算過程中，如何選擇所化的二次積分的次序是一個要點。通常可根據圖形結構特點選擇能使所化的二次積分較為簡單的那種次序。
3、在計算二次積分時，對第一個積分變數積分時，第二個變數應視為與其無關的常數。
8樓：亂碼都不行
首先值得肯定bai
，你是一位du愛思考愛鑽研的同學zhi
我大概明白
dao了，你是內想知道每一步的幾
容何意義吧
平面直角座標系四四方方，從幾何角度解釋既可以整體考慮（兩個積分號）f(x,y)dxdy，又可以分開一步步考慮（一個積分號）f(x,y)dx(或dy)
至於極座標，整體說得通，分開似乎就不行了。我想，這時只能把第一步（或者說每一步）積分理解為「滿足某種形式的需要」。
最後談一點自己的想法
數學抽象最初當然來自於具體的事物，通俗的說即生產實踐。從中提煉出來之後，經過若干牛人的加工處理，數學逐漸符號化，規範化。所以有些能夠給出形象的解釋，有些則不能在現實生活中找到對應的存在。
比如一段連續曲線的積分是面頰，而dirichlet函式的積分就說不清楚是什麼東西了（或許在物理、化學的某些領域有「意義」）我想表達的意思是，你的問題可以當作茶餘飯後的「休閒話題」，倒不必刨根問底。
ps 當初我學分析（或者說高數）的時候，精神也像你這樣。結果費了很多時間，沒抓住所謂的重點吧，成績平平。不過可比那些達人快樂多了，嘿嘿。阿q一個...
9樓：匿名使用者
前面那位bai
回答已經很清楚，我du從幾何意義上作zhi一些解釋：
極座標dao系下的面積微元專與直角坐屬標系下的面積微元完全不同，後者是邊長分別是dx和dy的矩形，前者則是兩個同心的扇形之間的部分：
從極點出發化兩條射線，它們之間的夾角是 dθ，在角的一邊上標出兩個點，一個是 r,另一個是 r+dr，然後分別以 r 和 dr 為半徑畫圓弧與另一條邊相交，兩個圓弧之間的平面圖形就是極座標系下的面積微元，它的面積就是ds.
下面計算ds：扇形面積等於半徑的平方乘以圓心角的弧度數的一半，所以這個圖形的面積等於 (1/2)[(r+dr)^2-r^2]dθ=[rdr+(1/2)(dr)^2]dθ;
注意當 dr 趨於零時 (dr)^2 是高階無窮小，因此將其忽略，得到
ds=rdrdθ
10樓：匿名使用者
rdrdθ 是進行座標變換復的產物制.
dxdy=rdrdθ , 這是從直角座標bai系du變換到極座標系.
其中的r是由雅可
zhi比行列式計算得出的.
也可以直接dao由面積公式計算, 極座標下ds=rdθ * dr=rdrdθ
之所以只見到rdr, 是因為dθ提到前面去了進行等量代換不一定都有幾何意義的.
f(rcosθ,rsinθ)rdr這種東西的幾何意義可以理解為面密度為f(rcosθ,rsinθ)時圓的面積的1/π
11樓：匿名使用者
我也有樓主同樣的疑問，解答沒有看清楚呀，我聽我同學說數學分析有解答，你可以去找找看
12樓：匿名使用者
rdθ是切向的長度，dr是徑向的，rdrdθ就是小正方形的面積。這和dxdy是
一樣的，不過座標線取版得不一樣。
然後權轉化為2次之後，就開始按θ和r分步積分，基本上就純粹是代數手續，再要找幾何解釋就比較牽強了。就算對這樣比較簡單的例子你能找到每一步的幾何意義，但再複雜了，就可能沒有簡單的幾何解釋了。
13樓：多強篤清昶
可以看到圖中的r與直線的交點到原點的距離即為r的下限：可以知道x=r*cosθ;y=r*sinθ,而且知道x+y=1,則可知道r下限為
1/sinθ+cosθ
高等數學，例4（利用極座標的二重積分求解）
前莊科教 首先極座標思路是對的，可知道你用極座標解題錯在哪了？存在積分割槽域，你認為它是圓了，實際上不是的，z面 是由xy 共同組成的線向z 積分組成的面，這個r 在動，不是固定的圓半徑。你細心品你的 dxy 到底是啥 極座標是 x cos y sin 則 r 2 x 2 r 2 cos 2 你錯為...
利用二重積分定義求解二重積分的問題
零奕聲校香 利用對稱性。積分割槽域是關於座標軸對稱的。被積函式也時關於座標軸對稱的。在對稱區域內，奇函式的積分為0.常數的積分 常數倍的積分割槽域的面積。就利用這些吧。1 x立方siny dxdy dxdy x立方siny dxdy 前面1項的積分 面積，後面1項的積分 0 dxdy 積分割槽域的面...
極座標系下的二重積分的計算問題 高等數學一
ln 1 x2 y2 dxdy ln 1 r2 rdrd x rcos y rsin 0 r 1,0 2 ln 1 x2 y2 dxdy ln 1 r2 rdrd ln 1 r2 rdr d 2 ln 1 r2 rdr 0 1 4 ln 1 r2 dr2 4 ln 1 r2 r2 r2dln 1 r...