1樓：匿名使用者
∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=∫∫ln(1+r2)rdrdθ,x=rcosθ,y=rsinθ
0≤r≤1,0≤θ≤π/2
∴∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=∫∫ln(1+r2)rdrdθ=∫ln(1+r2)rdr∫dθ
=π/2*∫ln(1+r2)rdr(0～1)=π/4*∫ln(1+r2)dr2
=π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2dln(1+r2)]=π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2/(1+r2)dr2]=π/4*[ln2-∫(1-a)/ada]其中，r自0至1，故ln(1+r2)*r2=2；
a=1+r2,故a自1至2，∫(1-a)/ada=∫1da-∫1/ada=1-ln2
再帶回去，就得到：∴∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=π/4*[2ln2-1]
注意，2ln2=ln4；r2表示r的平方
2樓：匿名使用者
設極座標參量r,a，a是角度。
r^2=x^2+y^2
dxdy=rdrda
代換，原式=ln(1+r^2)rdrda，積分割槽間r,[0,1];a[0,pi/2]
分離變數分別積分
da積分的pi/2
ln(1+r^2)rdr
可作適當變換,變為1/2*ln(1+r^2)d(1+r^2)換元y=1+r^2，積分範圍變為[1,2]得到1/2*lnydy
用分部積分得到1/2[ylny-y]，代入上下限[1,2]得1/2*(ln4-1)
在乘上da積分的pi/2即得答案。
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