1樓：匿名使用者
這個題目注意到兩個積分割槽域拼在一起剛好是一個八分之一圓，轉化為極座標形式，令x=rcos，y=rsin,注意極座標上下限的確定，然後就是轉化為二重積分有一個r不能丟了
2樓：
用極座標：
=∫（0，r/√2）∫（0，y）e^[-x²-y²]dxdy+∫（r/√2，r）∫（0，√（r²-y²））e^[-x²-y²]dxdy
積分割槽間：
前面：y=0~r/√2，x=0~y，y=x，y軸，y=r/√2圍成的△；
後面：y=r/√2~r，x=0~√（r²-y²），y軸，y=x，圓x²+y²=r²，y=r/√2圍成的第一象限的半個弓形。
兩者合起來，是圓x²+y²=r²，半徑位於π/4~π/2間的扇形。
θ=π/4~π/2，r=0~r
積分=∫（π/4，π/2）dθ∫（0，r）e^[-r²]rdr=(π/4).(1/2)∫（0，r）e^[-r²]dr²=-（π/8）e^[-r²]（0，r）
=-（π/8）[e^[-r²]-1]
=（π/8）[1-1/e^r²]
二重積分怎麼計算？
3樓：人設不能崩無限
化為二次積分。
∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
4樓：wuli都靈
把二重積分化成二次積分，也就是把其中一個變數當成常量比如y，然後只對一個變數積分，得到一個只含y的被積函式，再對y積分就行了。你可以找一本高等數學書看看。
你這個題目積分割槽域中，x、y並不成函式關係，要是積分割槽域是由比如說1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所圍成的話，那麼就要先對y積分其中上下限就是f(x)、g(x)，要看誰的圖形在上誰就是上限，這時候的x就當做一個常數來看待。
5樓：黃徐升
r1 對應圓弧，所以 r1=2 ，
r2 對應的是 y=2 這條直線，寫成極座標就是 r*sin(θ)=2 ，所以 r=2/sin(θ)
6樓：椋露地凜
利用極座標計算二重積分，有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中積分割槽域是一樣的。 i=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的積分上限是1,下限0 y的積分上限是x,下限是x2 積分割槽域d即為直線y=x,和直線y=x2在區間[0，1]所圍成的面積，轉換為極座標後，θ的範圍為[0,π/4],下面計算r的範圍：因為y=x2的極座標方程為：
rsinθ=r2cos2θ r=sinθ/cos2θ 因為直線y=kx和曲線y=x2的交點為(0,0),(k,k2),所以在極座標中r的取值範圍為[0,sinθ/cos2θ],則積分i化為極座標的積分為 i＝∫dθ∫1/√(rcosθ)2+(rsinθ)2rdr =∫dθ∫dr (θ範圍[0,π/4],r範圍[0,sinθ/cos2θ]) =∫(sinθ/cos2θ)dθ(θ範圍[0,π/4]) =∫(-1/cos2θ)dcosθ =|1/cosθ|(θ範圍[0,π/4]) =1/cos(π/4)-1/cos0 =√2-1
7樓：愽
這是利用了二重積分的性質，二重積分可以化為兩個一重積分，因此①式中先對y變數求積分，這時x變數對於y變數來說是常數，所以對y的函式求得原函式後帶入積分限，即可將①式轉化為②式
8樓：漪善幽雪
利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現的。
一、利用直角座標計算二重積分
我們用幾何觀點來討論二重積分 的計算問題。
討論中,我們假定 ；
假定積分割槽域可用不等式 表示,
其中, 在上連續。
據二重積分的幾何意義可知,的值等於以為底,以曲面為頂的曲頂柱體的體積。
在區間上任意取定一個點,作平行於面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為
一般地,過區間上任一點且平行於面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為
利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為
從而有(1)
上述積分叫做先對y,後對x的二次積分,即先把看作常數,只看作的函式,對計算從到的定積分,然後把所得的結果( 它是的函式 )再對從到計算定積分。
這個先對, 後對的二次積分也常記作
在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,匯出了二重積分的計算公式(1)。但實際上,公式(1)並不受此條件限制,對一般的(在上連續),公式(1)總是成立的。
例如:計算
解:類似地,如果積分割槽域可以用下述不等式
表示,且函式,在上連續,在上連續,則
(2)顯然,(2)式是先對,後對的二次積分。
二重積分化二次積分時應注意的問題
1、積分割槽域的形狀
前面所畫的兩類積分割槽域的形狀具有一個共同點:
對於i型(或ii型)區域, 用平行於軸(軸 )的直線穿過區域內部,直線與區域的邊界相交不多於兩點。
如果積分割槽域不滿足這一條件時,可對區域進行剖分,化歸為i型(或ii型)區域的並集。
2、積分限的確定
二重積分化二次積分, 確定兩個定積分的限是關鍵。這裡,我們介紹配置二次積分限的方法 -- 幾何法。
畫出積分割槽域的圖形(假設的圖形如下 )
在上任取一點,過作平行於軸的直線,該直線穿過區域,與區域的邊界有兩個交點與,這裡的、就是將,看作常數而對積分時的下限和上限；又因是在區間上任意取的,所以再將看作變數而對積分時,積分的下限為、上限為。
【例1】計算,其中是由軸,軸和拋物線在第一象限內所圍成的區域。
類似地,
【例2】計算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區域。
【例3】求由曲面及所圍成的立體的體積。
解: 1、作出該立體的簡圖, 並確定它在面上的投影區域
消去變數得一垂直於面的柱面 ,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區域就是該柱面在面上所圍成的區域
2、列出體積計算的表示式
3、配置積分限, 化二重積分為二次積分並作定積分計算
而 由,的對稱性有
所求立體的體積為
二、利用極座標計算二重積分
1、變換公式
按照二重積分的定義有
現研究這一和式極限在極座標中的形式。
用以極點為中心的一族同心圓 以及從極點出發的一族射線 ,將剖分成個小閉區域。
除了包含邊界點的一些小閉區域外,小閉區域的面積可如下計算
其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。
(數學上可以證明: 包含邊界點的那些小閉區域所對應項之和的極限為零, 因此, 這樣的一些小區域可以略去不計)
在小區域上取點,設該點直角座標為,據直角座標與極座標的關係有於是即
由於也常記作, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發性的形式
(1)(1)式稱之為二重積分由直角座標變數變換成極座標變數的變換公式,其中,就是極座標中的面積元素。
(1)式的記憶方法:
2、極座標下的二重積分計演算法
極座標系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來計算。
【情形一】積分割槽域可表示成下述形式
其中函式, 在上連續。
則【情形二】積分割槽域為下述形式
顯然,這只是情形一的特殊形式( 即極點在積分割槽域的邊界上 )。
故【情形三】積分割槽域為下述形式
顯然,這類區域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分割槽域的內部 ),可剖分成與,而故則
由上面的討論不難發現, 將二重積分化為極座標形式進行計算, 其關鍵之處在於: 將積分割槽域用極座標變數表示成如下形式
下面通過例子來介紹如何將區域用極座標變數來表示。
【例4】將下列區域用極座標變數表示
1、2、
3、ê先畫出區域的簡圖, 據圖確定極角的最大變化範圍；
ë再過內任一點作射線穿過區域,與區域的邊界有兩交點,將它們用極座標表示,這樣就得到了極徑的變化範圍。
注: 本題不能利用直角座標下二重積分計演算法來求其精確值。
利用此題結果可求出著名概率積分 。
而被積函式滿足 ,從而以下不等式
成立，再利用例二的結果有,,
於是不等式可改寫成下述形式
故當時有 ,
即 。
3、使用極座標變換計算二重積分的原則
(1)、積分割槽域的邊界曲線易於用極座標方程表示( 含圓弧,直線段 )；
(2)、被積函式表示式用極座標變數表示較簡單( 含, 為實數 )。
【例6】計算
解此積分割槽域為
區域的簡圖為
該區域在極座標下的表示形式為
9樓：匿名使用者
體積=∫(0,1)dz∫∫dzdxdy
其中dz：9x²+y²≤z
原式=∫(0,1)π×1/3×z dz
=π/6 z²|（0，1）
=π/6
10樓：匿名使用者
化累次積分
∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2
11樓：攞你命三千
∫(-1→2)dx∫(x²-2→x²+1)x(x²－y)dy
＝∫(-1→2)dx∫(x²-2→x²+1)(x³－xy)dy＝∫(-1→2)(x³y－½xy²)|(y=x²-2→x²+1)dx＝∫(-1→2)[x³(x²+1)－½x(x²+1)²]－[x³(x²－2)－½x(x²－2)²]dx
＝∫(-1→2)[(x^5＋x³－½x^5－x³－½x)－(x^5－2x³－½x^5＋4x³－4x)]dx
＝∫(-1→2)[－2x³＋(7/2)x]dx＝[－½x^4＋(7/4)x²]|(x=-1→2)＝[－½×16＋(7/4)×4]－[－½×1＋(7/4)×1]＝(－8＋7)－(5/4)
＝－9/4
12樓：匿名使用者
如果只學到定積分，要理解二重積分還有很多要學。首先空間解析幾何、向量代數、多元函式極限、連續、微分等等。不過求二重積分是化為二次定積分求得的。
13樓：匿名使用者
^|換元：x=rcosθ,y=rsinθ,j=r,原式=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,acosθ>a^*rdr/√(a^-r^)
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*[-√(a^-r^)]|<0,acosθ>
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*|a|[1-|sinθ|]=2a^*|a|∫<0,π/2>(1-sinθ)dθ=2a^*|a|(θ+cosθ)|<0,π/2>=2a^*|a|(π/2-1).
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聖克萊西亞 嚴格來說，並不是只有x對稱或y對稱才滿足積分為零的情況。由對稱性推導二重積分為零的原理，是出於以下的狀況 1 積分割槽域由於對稱性被分為相等的兩部分a1和a2，且存在一個一一對映，使得a1部分的任意一個面積微分ds1，在a2中存在唯一的面積微分ds2與之對應。2 對於相互對應的面積微分，...
二重積分問題求解，求解二重積分問題
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