因式分解配方和相乘法和待定係數法

時間 2021-09-13 09:13:49

1樓:

一、因式分解的十二種方法 :

把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現總結如下:

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.

例1、 分解因式x

-2x -x(2003淮安市中考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係,如果把乘法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式.

例2、分解因式a +4ab+4b

(2003南通市中考題)

a +4ab+4b =(a+2b)

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對於mx

+px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析: 1 -3

7 22-21=-19

7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

對於那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解.

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若干部分,再用進行因式分解.

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來.

例7、分解因式2x

-x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1)

(2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x

)(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法

令y=f(x),做出函式y=f(x)的圖象,找到函式圖象與x軸的交點x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=

f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析:此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c

b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值

則x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定係數法

首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析:易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式.

設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x

-2x-4)

二、十字相乘法

十字分解法的方法簡單來講就是:十字左邊相乘等於二次項,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

十字分解法能把二次三項式分解因式(不一定在整數範圍內)。對於形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式來說,方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a1,a2的積a1·a2,把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1·c2,並使a1c2+a2c1正好等於一次項的係數b,那麼可以直接寫成結果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。

在運用這種方法分解因式時,要注意觀察,嘗試,並體會,它的實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時,往往需要多次試驗,務必注意各項係數的符號。基本式子:

x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

三、待定係數法

待定係數法,一種求未知數的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定係數的新的形式,這樣就得到一個恆等式。然後根據恆等式的性質得出係數應滿足的方程或方程組,其後通過解方程或方程組便可求出待定的係數,或找出某些係數所滿足的關係式,這種解決問題的方法叫做待定係數法。

使用待定係數法解題的一般步驟是:

(1)確定所求問題含待定係數的一般解析式;

(2)根據恆等條件,列出一組含待定係數的方程;

(3)解方程或消去待定係數,從而使問題得到解決。

2樓:清初夏綦芫

十字相乘法是直接從正面入手分解因式,找公因式。

而待定係數法則是先假設分解好因式,再來求具體的值,是逆向思考。

3樓:匿名使用者

高中似乎沒怎麼正式講

4樓:匿名使用者

高中也沒有

在大學有系統介紹

但在高中要經常甬道啊

因式分解(用待定係數法或雙十字相乘法)過程要詳細

5樓:匿名使用者

1.雙十字交叉法,

1 1 1

1 -1 4

2.待定係數分解式是(x+a)(x+y+b)對比係數求出a,b

3.令x=-1,-2分別代入,右邊是0

4.平方項是(x+y±5),對比係數

5.分解成(ax+1)(x²+x+1),對比係數

因式分解相乘待定係數法,因式分解 十字相乘 待定係數法

春風化雨時 把一個多項式在一個範圍 如有理數範圍內分解,即所有項均為有理數 化為幾個最簡整式的積的形式,這種變形叫做因式分解,也叫作分解因式。在數學求根作圖方面有很廣泛的應用。十字相乘一般指十字相乘法 十字分解法的方法簡單來講就是 十字左邊相乘等於二次項,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項...

用相乘法分解因式,用十字相乘法分解因式

又是你,這麼多沒有分,我不做。我不要15分鐘可以搞定 1 a 3 24a 2b 44ab 2 a a 2 24ab 44b 2 a a 22b a 2b 2 6x 2 23xy 20y 2 2x 5y 3x 4y 3 a 6 9a 3 8 a 3 8 a 3 1 a 2 a 2 4a 4 a 1 a...

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