1樓：用童餘琇晶
那是因為你求原函式時分子分母同除以cos^2x了，這樣得到的原函式在x＝pi/2時不連續，因此不能用newton——leibniz公式了。必須分解為0到pi/2和pi/2到pi兩個區間分別計算就可以了。
當x從pi/2－時，tanx趨於正無窮，arctan正無窮是pi/2，因此0到pi/2的積分值是pi/【4根號(5)】。
另外一個類似得到pi/【4根號(5)】，兩者相加是pi/【2根號(5)】。
2樓：練芙函千秋
∫xdx/(1+sinx)
=∫x*d[-2/（1+tan（x/2）]
分佈積分法
=-2x/[1+tan（x/2）]-∫[-2dx/（1+tanx/2）]
=-2x/[1+tan（x/2）]+2∫dx/[1+tan（x/2）]
令u=x/2，du=1/2dx
=-2x/[1+tan（x/2）]+4∫du/（1+tanu）
令t=tanu，dt=sec^2udu=(1+tan^2u)du=(1+t^2)du
=-2x/[1+tan(x/2)]+4∫dt/(1+t)(1+t^2)
=-2x/[1+tan(x/2)]+4∫dt
待定係數法化簡有理多項式
=-2x/[1+tan(x/2)]+2∫dt/(1+t^2)-2∫tdt/(1+t^2)+∫2dt/(1+t)
=-2x/[1+tan(x/2)]+2∫dt/(1+t^2)-∫d(1+t^2)/(1+t^2)+2∫d(1+t)/(1+t)
=-2x/[1+tan(x/2)]+2arctant-ln|1+t^2|+2ln|1+t|+c
=-2x/[1+tan(x/2)]+2u-ln|1+tan^2u|+2ln|1+tanu|+c
=-2x/[1+tan(x/2)]+x-2ln|sec(x/2)|+2ln|1+tan(x/2)|+c
=-2x/[1+tan(x/2)]+x+2ln|cos(x/2)[1+tan(x/2)]|+c
所以∫xdx/(1+sinx)
=-[2*π/4/(1+tanπ/8)-2*（-π/4)/[1+tan(-π/8)]-2[ln|cosπ/8*(1+tanπ/8)|-ln|cos(-π/8)*(1+tan-π/8)|]
=-π/2[1/（1+tan(π/8)+1/(1-tanπ/8)]-2ln|(1+tanπ/8)/(1-tanπ/8)|
帶入tanπ/8=√2-1,結果為
π/2-2ln(√2-1)
在提供一種巧算：
=∫xdx/(1+sinx)+∫<0,π/4>xdx/(1+sinx)
對前部分設x=-t有dx=-dt
=∫-t(-dt)/(1-sint)+∫<0,π/4>xdx/(1+sinx)
=-∫<0,π/4>tdt/(1-sint)+∫<0,π/4>xdx/(1+sinx)
=-∫<0,π/4>xdx/(1-sinx)+∫<0,π/4>xdx/(1+sinx)
=∫<0,π/4>[x/(1+sinx)-x/(1-sinx)]dx
=2∫<0,π/4>tanxsecx*xdx
=2∫<0,π/4>xd(secx)
=2xsecx-2∫<0,π/4>secxdx
=2xsecx-2ln|tan（π/4+x/2)|
=2*(π/4)*√2-2ln(tan3π/8-tanπ/4)
=(√2/2)π-2ln(√2-1)前面計算複雜最後一步結果因該有錯。
sin^4xdx的不定積分
3樓：我是一個麻瓜啊
∫(sinx)^4dx=(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + c。c為積分常數。
解答過程如下：
=∫(sinx)^4dx
=∫(1-cos²x)²dx 【利用公式cos²x+sin²x=1】
=∫(1 - cos2x)/2)^2dx 【利用公式cos²x=(cos2x+1)/2】=∫(1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4 dx 】
=∫[1/4- 1/2cos2x + 1/8*(1 + cos4x)]dx 【利用cos²2x=(cos4x+1)/2】
=∫[(cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8] dx
=(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + c
擴充套件資料：
同角三角函式的基本關係式
倒數關係：tanα ·cotα=1、sinα ·cscα=1、cosα ·secα=1；
商的關係： sinα/cosα=tanα=secα/cscα、cosα/sinα=cotα=cscα/secα；
和的關係：sin2α+cos2α=1、1+tan2α=sec2α、1+cot2α=csc2α；
平方關係：sin²α+cos²α=1。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
4樓：
∫（sinx）^4dx=(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + c。c為積分常數。 =∫（sinx）^4dx =∫（1-cos²x）²dx 【利用公式cos²x+sin²x=1】 =∫（1 - cos2x）/2)^2dx 【利用公式cos²x=(cos2x+
1)/2】=∫（1 - 2cos2x +
5樓：匿名使用者
把原式通過二倍角公式變成 （1/4）×（sin2x）^2 之後過程會簡單
6樓：玩y世不恭
此問題用到華里士公式(點火公式)。
7樓：茹翊神諭者
詳情如圖所示
有任何疑惑，歡迎追問
求微積分高手解決帶根號定積分一題
先計不定積分 令x 2sin dx 2cos d 2 x 2cos 得出cos 2 x 2原式 2 2sin d 2 2cos c 2 x 2arcsin x 2 c代入上下限。定積分為 2 2 x 2 x 2 1 2 x i 1到1 2 x 1 2 2 2 x 1 2 1到1 2 2 1 2 1 ...
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