1樓：匿名使用者
達定理說明了一元n次方程中根和係數之間的關係。 這裡講一元二次方程兩根之間的關係。
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 設兩個根為x1，x2 則x1+ x2= -b/a x1·x2=c/a 用韋達定理判斷方程的根 若b^2-4ac≥0則方程有實數根 若b^2-4ac>0 則方程有兩個不相等的實數根 若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根 若b^2-4ac<0 則方程沒有實數解
編輯本段推廣
韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑aix^i=0 韋達定理推廣
它的根記作x1,x2…，xn 我們有右圖等式組 其中∑是求和，π是求積。 如果一元二次方程 在複數集中的根是，那麼 由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在複數集中必有根。
因此，該方程的左端可以在複數範圍內分解成一次因式的乘積： 其中是該方程的個根。兩端比較係數即得韋達定理。
(x1-x2)的絕對值為√(b^2-4ac)/|a| 法國數學家韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，因此，人們把這個關係稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在2023年才由高斯作出第一個實質性的論性。 韋達定理在方程論中有著廣泛的應用。
編輯本段證明及結論
二次函式與一元二次方程的解
由一元二次方程求根公式為：x = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次項係數，b指一次項係數，c指常數） 可得x1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，x2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1.
x1﹢x2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a 所以x1﹢x2=-b/a 2. x1x2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a] 所以x1x2=c/a （補充：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1·x2） （擴充）3.
x1-x2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因為x1.x2的值可以互換，所以則有 x1-x2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】 所以x1-x2=±（√b^2-4ac）/a 韋達定理推廣的證明 設x?，x?
，……，xn是一元n次方程∑aixi =0的n個解。 則有：an(x-x?
)(x-x?)……(x-xn)=0 所以：an(x-x?
)(x-x?)……(x-xn)=∑aixi （在開啟(x-x?)(x-x?
)……(x-xn)時最好用乘法原理） 通過係數對比可得： a（n-1）=-an(∑xi) a（n-2）=an(∑xixj) … a0=[(-1) ]×an×πxi 所以：∑xi=[(-1) ]×a(n-1)/a(n) ∑xixj=[(-1) ]×a(n-2)/a(n) … πxi=[(-1) ]×a(0)/a(n) 其中∑是求和，π是求積。
編輯本段有關韋達定理的例題
例1 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整數根． (94祖沖之杯數學邀請賽試題) 解：設方程的兩整數根為x1、x2，不妨設x1≤x2．由韋達定理，得 x1+x2=－p，x1x2=q． 於是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198， 即x1·x2－x1－x2+1=199． ∴運用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199． 注意到（x1－1）、（x2－1）均為整數， 解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0． 例2 已知關於x的方程x－(12－m)x+m－1=0的兩個根都是正整數，求m的值． 解：設方程的兩個正整數根為x1、x2，且不妨設x1≤x2．由韋達定理得 x1+x2=12－m，x1x2=m－1． 於是x1x2+x1+x2=11， 即(x1+1)( x2+1)=12． ∵x1、x2為正整數， 解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3． 故有m=6或7． 例3 求實數k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整數． 解：
若k=0，得x=1，即k=0符合要求． 若k≠0，設二次方程的兩個整數根為x1、x2，且x1≤x2，由韋達定理得 ∴x1x2－x1－x2=2， (x1－1)( x2－1)=3． 因為x1－1、x2－1均為整數， 所以x1=2，x2=4；x1=—2，x2=0. 所以k=1,或k=-1/7 例4 已知二次函式y=－x²+px+q的影象與x軸交於(α，0)、(β，0)兩點，且α>1>β，求證：p+q>1． (97四川省初中數學競賽試題) 證明：
由題意，可知方程－x²+px+q=0的兩根為α、β． 由韋達定理得 α+β=p，αβ=－q． 於是p+q=α+β－αβ， =－(αβ－α－β+1)+1 =－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)
2樓：匿名使用者
其實原理很簡單，公式可能趨於複雜了
高斯復根相關的定理研究告訴我們一元n次方程一定有n個根，天才伽得羅又說一元5次以上無求根公式。你說有意思把，它有根就是不知道怎麼求。現在回到正題。
一般一元n次方程為
a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+'''+a[0]=0
即(1):x^n+a[n-1]/a[n]x^(n-1)+'''+a[0]/a[n]=0
gauss（高斯）告訴我們還可以寫成下式(其中x[1],...,x[n]為相應的n個根)
(2):(x-x[1])(x-x[2])'''(x-x[n])=0
上面在x^n+(-x[1]-x[2]-'''-x[n])x^(n-1)+(x[1]x[2]+x[1]x[3]'''+x[n-1]x[n])x^(n-1)+'''+x[1]'''x[n](-1)^n=0
比較(1)(2)裡面x^n係數，其實沒什麼值得比較的；
比較(1)(2)裡面x^(n-1)係數，這就有意思了！a[n-1]/a[n]=-x[1]-x[2]-'''-x[n]這是什麼！係數與根的和關係，你要是那個時代的人發現這個也成為gauss了！
比較(1)(2)裡面x^(n-2)係數，也很有意思。a[n-2]/a[n]=x[1]x[2]+'''+x[n-1]x[n]
但右邊是什麼？！反應快馬上想到，這是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]這些根從中選擇兩個相乘之後求和，注意一定要不重不漏，所有n個根任選擇2個，把n個根選擇2個根的所有情況都找出來，然後加一下。
另外我們要寫成數學語言阿，怎麼辦當年那位偉人就想到一個表示方法sum[let 1<=i 不學排列也沒關係，想想不也一樣理解了~~ 比較(1)(2)裡面x^(n-1)係數，你估計也明白了八。a[n-3]/a[n]=x[1]x[2][3]+'''+x[n-2]x[n-1]x[n] 右邊是什麼ne？！這是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]這些根從中選擇三個求和，也就是c[n]，排列裡面的cn3。還是千萬要注意不重不漏！！！ 所有n個根任選擇3個，把n個根選擇3個根的所有情況都找出來，然後加一下。用數學語言表示sum[let 1<=i 現在看看1<=i 中間的比較其他的就不多說了。 最後一個很有意思 x[1]'''x[n](-1)^n=a[0]/a[n] 這是一個所有根之積與a[0]/a[n]的關係，學現性代數那段還拉出來證明過一個定理。 學習愉快，數學其實很有意思的說~~ 韋達定理的推廣！！不懂！！ 3樓：匿名使用者 其實原理很簡單，公式可能趨於複雜了 高斯復根相關的定理研究告訴我們一元n次方程一定有n個根，天才伽得羅又說一元5次以上無求根公式。你說有意思把，它有根就是不知道怎麼求。現在回到正題。 一般一元n次方程為 a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+'''+a[0]=0 即(1):x^n+a[n-1]/a[n]x^(n-1)+'''+a[0]/a[n]=0 gauss（高斯）告訴我們還可以寫成下式(其中x[1],...,x[n]為相應的n個根) (2):(x-x[1])(x-x[2])'''(x-x[n])=0 上面在x^n+(-x[1]-x[2]-'''-x[n])x^(n-1)+(x[1]x[2]+x[1]x[3]'''+x[n-1]x[n])x^(n-1)+'''+x[1]'''x[n](-1)^n=0 比較(1)(2)裡面x^n係數，其實沒什麼值得比較的； 比較(1)(2)裡面x^(n-1)係數，這就有意思了！a[n-1]/a[n]=-x[1]-x[2]-'''-x[n]這是什麼！係數與根的和關係，你要是那個時代的人發現這個也成為gauss了！ 比較(1)(2)裡面x^(n-2)係數，也很有意思。a[n-2]/a[n]=x[1]x[2]+'''+x[n-1]x[n] 但右邊是什麼？！反應快馬上想到，這是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]這些根從中選擇兩個相乘之後求和，注意一定要不重不漏，所有n個根任選擇2個，把n個根選擇2個根的所有情況都找出來，然後加一下。 另外我們要寫成數學語言阿，怎麼辦當年那位偉人就想到一個表示方法sum[let 1<=i 不學排列也沒關係，想想不也一樣理解了~~ 比較(1)(2)裡面x^(n-1)係數，你估計也明白了八。a[n-3]/a[n]=x[1]x[2][3]+'''+x[n-2]x[n-1]x[n] 右邊是什麼ne？！這是x[1]，x[2]，'''，x[n-1]，x[n]這些根從中選擇三個求和，也就是c[n]，排列裡面的cn3。還是千萬要注意不重不漏！！！ 所有n個根任選擇3個，把n個根選擇3個根的所有情況都找出來，然後加一下。用數學語言表示sum[let 1<=i 現在看看1<=i 中間的比較其他的就不多說了。 最後一個很有意思 x[1]'''x[n](-1)^n=a[0]/a[n] 這是一個所有根之積與a[0]/a[n]的關係，學現性代數那段還拉出來證明過一個定理。 學習愉快，數學其實很有意思的說~~ 什麼是韋達定理？韋達定理的推導過程，用一元二次方程求根公式。第一題。方程左邊通過因式分解得到x 6和x 1相乘，這兩個式子相乘等於0，說明這兩個式子中至少有一個是等於0的，即x 6 0或者x 1 0，這樣就得到方程的兩個解x1 6或x2 1 第二題和第一題的方法是一樣的。第三題由於不能因式分解，所以... 韋達定理，即一元二次方程的根與係數關係定理。ax 2 bx c 0的兩個根分別為x1,x2 則x1 x2 b a,x1 x2 c a 內容分析 1.一元二次方程的根的判別式。一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式 b2 4ac 當 0時，方程有兩個不相等的實數根 當 0時，方程有兩個... ax 2 bx c 0 運用韋達，是先設這個二次函式的兩個根為x1和x2則有 x1 x2 b a x1 x2 c a這是最準確的！維達定理是x1 x2 a分之b x1乘以x2 a分之c 當二次函式與x軸有兩個交點時就可以用了。第一要確定是二次函式 a 0 二是用維達定理 c a,b a 設ax 2 ...韋達定理計算，韋達定理的公式
韋達定理是是麼
二次函式與韋達定理，高中數學 韋達定理與二次函式