應力強度因子的確定

1樓：中地數媒

對於ⅰ、ⅱ、ⅲ型裂紋尖端區域，應力分量可統一寫成式（2-20）的形式：

岩石斷裂與損傷

式中：fij（θ）為極角θ的分佈函式，稱為角分佈函式；km表徵了裂紋尖端附近區域應力場強弱程度，其中m=ⅰ、ⅱ、ⅲ得到kⅰ、kⅱ、kⅲ，分別代表ⅰ、ⅱ、ⅲ型裂紋尖端應力場的強弱程度，稱為應力強度因子（k因子），定義如下：

岩石斷裂與損傷

式中自變數ξ如圖2-4所示。

若已知應力場，則可用式（2-22）求應力強度因子：

岩石斷裂與損傷

圖2-4 裂紋尖端附近座標

k的量綱為：［力］［長度］-3/2；si：n·m-3/2（10-6mpa·m1/2）。應力強度因子的確定方法有解析法、數值法、實測法等，本節分別介紹應力強度因子的確定方法。

一、解析法

解析法又可分為複變函式法與積分變換法，複變函式法可利用westergaard應力函式或muskhelishvili法，主要解決二維問題。積分變換法可求解二維、三維問題。由於工程上受力構件的邊界形狀和邊界條件都很複雜，所以求解偏微分方程組時邊界條件很難精確滿足，因此解析法只適用於物體幾何形狀比較簡單、邊界條件容易滿足的問題。

下面僅介紹常用的複變函式法。

考慮無限大平板受二向均勻拉應力，具有長度為2a的中心貫穿裂紋，由定義：

岩石斷裂與損傷

取岩石斷裂與損傷

滿足問題的全部邊界條件，代入上式可得

岩石斷裂與損傷

下面利用這種方法求解幾個常見問題的應力強度因子。

1.圖2-5所示「無限大」平板中具有長度為2a的穿透板厚的裂紋，裂紋表面上x=±b處各作用一對單位厚度的集中力p

由式（2-7）→∞，σx=σy=τxy=0。

圖2-5「無限大」平板裂紋面上作用兩對集中力

選取復變解析函式：

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邊界條件：

a.b.處，裂紋為自由表面，σy=τxy=0。

c.如切出xy座標系內的第一象限的薄平板，在x軸所在截面上內力總和為p。

經檢驗，解析函式z滿足三個邊界條件。將z=ξ+a代入復變解析函式中，得

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2.如圖2-6所示，具有長度為2a的中心貫穿裂紋的無限大平板，距離x=b處作用一對單位厚度的集中力p

選取復變解析函式：

岩石斷裂與損傷

3.如圖2-7所示，具有長度為2a的中心貫穿裂紋的無限大平板，距離x=±b範圍內的裂紋面受均布荷載，集度為q

圖2-6「無限大」平板裂紋面上作用一對集中力

圖2-7「無限大」平板裂紋面上作用部分均布荷載

利用疊加原理，根據圖2-5的結果可得

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當整個表面受均布載荷時，如圖2-8所示，b→a，則

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4.如圖2-9所示，受二向均布拉力作用的無限大平板，在x軸上有一系列長度為2a，裂紋中心間距為2b的裂紋

圖2-8「無限大」平板裂紋面上作用均布荷載

圖2-9 二向均布拉力作用的具有系列裂紋的無限大平板

邊界條件是週期的：

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在所有裂紋內部應力為零。即：y=0，，-a±2b＜x＜a±2b，σy=τxy=0。

所有裂紋前端σy＞σ。

單個裂紋時：

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又z應為2b的周期函式，故

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引入變數ξ=z-a，得

岩石斷裂與損傷

當ξ→0時，，

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，稱為修正係數，大於1，表示其他裂紋存在對應力強度因子的影響。若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多（b≥5a），可不考慮相互作用，按單個裂紋計算。

對於寬度為w含中心裂紋的有限寬板受均勻拉力，應力強度因子修正係數也可按上述值近似計算，此時用w代替2b：

圖2-10 受剪下作用的具有週期性裂紋的無限大平板

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5.無限大平板ⅱ、ⅲ型裂紋問題應力強度因子的計算

ⅱ型裂紋應力強度因子的普遍表達形式（無限大板）：

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對於無限大平板中的週期性的裂紋，如圖2-10所示，且在無限遠的邊界上作用處於平板面內的純剪下力作用。

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引入變數：ξ=z-a，得

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同理，對於無限大板ⅲ型週期性裂紋應力強度因子：

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6.深埋裂紋的應力強度因子的計算

深埋裂紋的計算模型是無限大體中的片狀裂紋，2023年，green和sneddon分析了彈性物體的深埋橢圓形裂紋鄰域內的應力和應變，如圖2-11所示，得到橢圓表面上任意點，沿y方向的張開位移為

圖2-11 深埋橢圓片狀裂紋

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其中：γ為第二類橢圓積分。有

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2023年，irwin利用上述結果計算了這種情況下的應力強度因子：

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在橢圓的短軸方向上，即，有

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此式為橢圓片狀深埋裂紋危險部位的應力強度因子。當a≪c時，有

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當a=c時，為圓片狀裂紋，此時

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7.半橢圓表面裂紋的應力強度因子計算

工程上更多地遇到的是表面裂紋，常按照表面半橢圓裂紋考慮，但至今未得到嚴格的解析解，一般根據無限大體中橢圓片狀裂紋的解經過修正近似處理。

（1）表面淺裂紋的應力強度因子：當a≪b（板厚）可簡化為淺裂紋，這時可以忽略後自由表面對n點應力強度因子的影響，如圖2-12所示，近似得到n處的應力強度因子。

圖2-12 表面橢圓片狀裂紋

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（2）表面深裂紋的應力強度因子：對於表面深裂紋，引入前後兩個自由表面，使裂紋尖端的彈性約束減少，裂紋容易擴充套件增大。應力強度因子由下式確定。

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其中：m1為前自由表面的修正係數；m2為後自由表面的修正係數。

paris和sih給出的修正係數為

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式中：b為板厚；a為裂紋深度；c為裂紋長度。當a/c→0時，接近於單邊切口試樣，m1=1.12。當a/c→1時，接近於半圓形的表面裂紋，m1=1。

當a≪b時，m2≈1，即淺裂紋不考慮後自由表面的影響。對於一般工程問題，表面裂紋最深點處的應力強度因子為

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二、數值解法

解析法適用於無限大平板中簡單裂紋的情況，對實際構件及各種試樣，當裂紋尺寸與構件或試樣其他特徵尺寸相比並不是很小時，應考慮自由邊界對裂紋尖端應力強度因子的影響。對這類問題很難獲得嚴格的解析解，常用數值方法求其近似解。常用的數值方法有邊界配置（位）法、有限單元法、邊界元法。

這些方法都是通過數值分析求出裂紋尖端附近應力場或位移場的近似表示式，由定義建立應力強度因子的表示式。

1.邊界配置法

邊界配置法是將應力函式用無窮級數表達，使其滿足雙調和方程和邊界條件，但不是滿足所有的邊界條件，而是在有限寬板的邊界上，選足夠多的點，用以確定應力函式，然後再由符合邊界條件的應力函式確定kⅰ值。

邊界配置法主要用於計算平面問題的單邊裂紋問題，且只限於討論直邊界問題。下面以圖2-13所示的三點彎曲試樣為例進行說明。2023年williams提出一用無窮級數表示的應力函式，稱為williams應力函式：

圖2-13 三點彎曲試樣

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該函式滿足雙調和方程：▽4ψ（r，θ）=0。

邊界條件：裂紋左、右表面（θ=±π/2），σy和τxy均為零，上式滿足。

在外邊界上的邊界條件的滿足如下確定：在有限寬板的邊界上選取足夠的點，如圖2-13所示，使這些點的邊界條件滿足，則可求出cj。

為了計算方便引入量綱為一的量：

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其中：b為試件厚度；w為試件高度。

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對於ⅰ型裂紋：

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在裂紋尖端附近，θ=0，r→0。

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又因為當θ=0時，cosθ=1，當j=1時與r無關，而當j=2，3，4，…，∞時與r有關，當r→0時都為零。

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利用邊界條件確定d1，取含裂紋三點彎曲試樣的左半段為研究物件，取m個點分析，以2m有限級數代替無限級數精度足夠。

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其中s=4w為標準試件，式（2-41）、式（2-42）為美國astm-e399-72規範建議的公式。

2.確定應力強度因子的有限元法

有限單元法以變分原理為理論基礎，將連續體離散成有限單元來分析其變形和應力，然後進行整體分析求得受力物體的應力場和位移場。有限單元法能解決複雜幾何形狀和載荷情況比較複雜的裂紋體的應力強度因子。比較成熟的是奇異單元的應用。

不同裂紋體在不同的開裂方式的應力強度因子是不同的。一些實驗方法、解析方法都有各自的侷限性，而有限元等數值解法十分有效地求解彈塑性體的應力和位移場，而應力和位移場與k密切相關，所以，可以通過有限元方法進行應力強度因子的計算。

利用位移法求應力強度因子，如ⅰ型裂紋：

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式中。通過有限元法求出裂紋尖端附近的位移場，計算（r，π），然後外推到裂紋尖端，這種方法為外推法。

也可利用應力法求應力強度因子，這時先求應力場：，然後求當θ=0時的應力分量，即。

三、實測法

由於實際問題的多樣性和複雜性，計算比較困難，特別是三維問題。對於彈塑性斷裂問題、動態斷裂問題常應用具有直觀性和模擬性的實測法。常用的實則方法有柔度法、網路法、光彈性法、鐳射全息法、鐳射散斑法、雲紋法等。

其中光彈性法求裂紋應力強度因子的基本原理如下：

對於ⅰ型裂紋，如已求得σx、σy、τxy，則可求出最大切應力，根據光彈性原理有

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式中：n為光彈性模型的條紋級數；f為材料的條紋值；d為試樣厚度。將σx、σy、τxy代入上式得：

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由光彈性實驗等差線和等傾線條紋圖測出ri、θi、ni，求得，得出曲線，外推至r→0處有

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四、疊加原理及其應用

1.kⅰ的疊加原理及其應用

線彈性疊加原理：當n個載荷同時作用於某一彈性體上時，載荷組在某一點上引起的應力和位移等於單個載荷在該點引起的應力和位移分量之總和。疊加原理適用於kⅰ。

證明：岩石斷裂與損傷

設在f1載荷作用下，有

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設在f2載荷作用下，有

岩石斷裂與損傷

由疊加原理有

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因此，計算複雜載荷下應力強度因子的方法：將複雜載荷分解成簡單載荷，簡單載荷作用下的應力強度因子可利用前述方法或查kⅰ手冊。

下面利用疊加原理求圖2-14（a）所示鉚釘孔邊雙耳裂紋的kⅰ值。首先將圖（a）分解為圖（b）+圖（c）-圖（d）。

圖2-14 鉚釘孔邊雙耳裂紋的疊加原理計算

根據疊加原理：，因為，所以：

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其中可查應力強度因子手冊。

岩石斷裂與損傷

式中：d為圓孔直徑；w為板寬度；a為雙耳裂紋長度。

確定：無限板寬中心貫穿裂紋受集中力p作用時：

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考慮有效裂紋長度：得

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有限板寬的修正係數：

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所以岩石斷裂與損傷

2.應力場疊加原理及其應用

應力場疊加原理：在複雜的外界約束作用下，裂紋前端的應力強度因子等於沒有外界約束，但在裂紋表面上反向作用著無裂紋時外界約束在裂紋處產生的內應力所致的應力強度因子。

如圖2-15（a）所示為具有中心穿透裂紋的平板，在上下邊界受均勻拉應力作用，將其分解為圖（b）和圖（c），圖（b）為除板邊力以外，在裂紋面上還作用一組反力，使裂紋恢復原狀，從而相當於裂紋不存在。因此圖（b）問題是一般的彈性力學問題。它的解在研究裂紋尖端的應力奇異性時是可以不予考慮的。

圖（c）代表的問題是裂紋表面受應力作用而板邊不受力的問題。

圖2-15 應力場疊加原理的應用

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在裂紋端部問題的意義上，圖（a）等價於圖（c）。因此可用無裂紋構件中裂紋位置處由於外力作用所引起的應力——「當地應力」求解各種受力情況下的應力強度因子。

對於ⅱ型和ⅲ型裂紋，如圖2-16所示，也可將在無窮遠處（板的邊緣）受載荷作用而裂紋表面應力自由的裂紋問題（問題a），轉化為問題b與c的疊加。問題b相當於除板邊力以外，在裂紋面上還作用一組反力，使裂紋恢復原狀，從而相當於裂紋不存在。問題c是裂紋表面受應力作用而板邊不受力的問題。

因此在裂紋端部問題的意義上，問題a等價於問題c。

圖2-16 疊加原理的應用

對於問題c三種型式的裂紋的解有共同的表示式，裂紋面上的邊界條件為

ⅰ型裂紋：

ⅱ型裂紋：

ⅲ型裂紋：

應力函式z：

岩石斷裂與損傷

應力強度因子k：

岩石斷裂與損傷

問題c在地學中具有實際意義。在斷層問題中，依據位移測量和**波反演，可以推測斷層面上的應力場，而遠場應力狀態至今還沒有得到可靠資料。因此，由應力場可以推斷出斷層應力場和位移場的變化量，研究斷層的動力過程。

計算各種裂紋體的應力強度因子是線彈性斷裂力學中一項十分重要的任務。各種受力情況及不同裂紋位置的應力強度因子資料已編輯成手冊。在中國航空研究院主編的《應力強度因子手冊》中可查到大部分應力強度因子的資料，一般斷裂力學教材中也附有常用應力強度表示式，故在此不再詳述。

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