1樓：匿名使用者
極限代表的是一種趨向性，函式f(x)在x=x0處的極限與f(x)在x=x0處的函式值無關（假設f(x)在x=x0處有定義），所以函式極限定義用的是x0的去心鄰域，因為當x=x0時，|f(x)-a|=|f(x0)-a|<ε就不一定成立了，比如f(x)=0(當x≠0時),f(x)=1(當x=0時)，lim(x->0)f(x)=0,而f(0)=1,而f(x)在x=x0處的極限與f(x)在x=x0處的函式值的統一依靠連續性實現的。所以書上一般不說複合函式的極限運算，而是給出複合函式的連續性，因為複合函式的極限運算是有條件的。先給個例子：
當u=0時，y=f(u)=0,當u≠0時，y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
顯然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0處沒有極限。
因為在0的任意小的去心鄰域內都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
這樣在0的任意小的去心鄰域內，f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到，f(g(x))在x=0處沒有極限。
所以滿足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=a.
才可以證明lim(x->x0)f(g(x))=a.證明如下：
因為lim(u->u0)f(u)=a,所以對任意ε>0,存在δ1>0,當u滿足：0<|u-u0|<δ1時，|f(u)-a|<ε,
又因為lim(x->x0)g(x)=u0,所以對上述的δ1>0,存在δ2>0，當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，|g(x)-u0|<δ1,
又x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0,所以當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，0<|g(x)-u0|<δ1,
於是對任意ε>0,存在δ2>0,當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，有0<|g(x)-u0|<δ1，進而有|f(g(x))-a|<ε,
這就證明了lim(x->x0)f(g(x))=a.(如果沒有條件「x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0」，則只能有「|g(x)-u0|<δ1」，而不能進一步得到「0<|g(x)-u0|<δ1」，就會出現像上面一樣的反例。)
2樓：匿名使用者
gx等於u0時，g(x)的導數就是0了，還求什麼呀？
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
3樓：百度文庫精選
內容來自使用者:易發表網
複合函式極限運演算法則的定理中，內函式為什麼不能等於其極限值？（同濟高數六版上 48頁）
4樓：匿名使用者
定理6中的條件（簡稱為）「g(x)≠u0」的必要性：
看這個例子：
g(x)=1 (x∈r)，
f(u)為分段函式：當u≠1時，f(u)=u；當u=1時，f(u)=2，
取x0=1，則u0=1，【g(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=a，lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(g(x))≠a，即定理6的結論不成立。
所以，一定要有條件「g(x)≠u0」。
5樓：匿名使用者
"且存在δ0 >0，當x屬於去心鄰域(x0，δ0)時，有g(x)不等於u0"這句話其實就是說δ0足夠小
見課本p32，定義1及自變數趨於有限值事函式的極限
看了還不明白可以繼續問
6樓：宋盡天良
看到p48倒數第九行的不等式。 若有 當x屬於去心鄰域(x0，δ0)時，有g(x)等於u0，如果f(u)在u=u0不連續，上述提到的不等式不一定成立。
複合函式極限運演算法則裡的條件
7樓：欲乘風歸去者
我想這個
問題也想了copy很久，我的看法是這個條件
是這個定理的必要條件，沒有這個條件這個定理是不成立的，就比如上面那個舉出來的分段函式的反例。這個定理其實關心的是在u0附近的複合函式的取值，至於g（x）=u0時，複合函式的取值則不是這個定理所關心的，因為f（x）可以在這一點連續，不連續，甚至還可以沒有意義，這就導致了複合函式在該點需要另外分析。
8樓：我的寶貝
x*sin(1/x)
當x不等於1/nπ時，x趨近於0時，此函式的極限並不是1，還是0，因為一個
無窮向量乘以一內個有界量還是無窮小容量
我想，你肯定是把x*sin(1/x)和（sinx）/x搞混淆啦，前者是x趨於無窮大的極限是1，而後者是x趨於0的極限是1
9樓：light冰楓
你根本也沒有說明白你的f(x)和g(x)是什麼？總之你說的不對；對於x*sin(1/x)它的極限就是0，無論內你取容 x等於或不等於1/nπ時
下面我就給你解釋一下為什麼要強調ψ(x)≠0,
其實是為了強調ψ(x)不能恆等於u0，否則會出現
如ψ(x)=1 (x∈r),f(x)=2 x=1 ; f(x)為分段函式 則顯然lim x→0ψ(x)=1,lim x→0f(ψ(x))=2
=x x≠1 但是lim u→1 f(u)=1≠ lim x→0f(ψ(x))
只要不恆等於u0就可以
如ψ(x)=sin(x),設u0=0,這個就符合這個法則的條件，雖然在（-2π，2π）的去心鄰域中存在ψ(x)=u0的點，看似與定義相悖，但是我們可以找到更小的去心鄰域如（-1/2π，1/2π）,這就不存在ψ(x)=u0的點，再往深裡考慮，對於x0這點只要能夠找到一段很小的鄰域沒有ψ(x)=u0，就符合條件。
同理如果我們能夠找到一段x0的去心鄰域，ψ(x)恆等於u0，則就不符合條件。
10樓：匿名使用者
梳理如下：
第一個問題：一定要有條件「ψ(x)≠u0」。62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333330353632
例①，ψ(x)=1 (x∈r)，
f(u)為分段函式：當u≠1時，f(u)=u；當u=1時，f(u)=2，
取x0=1，則u0=1，【ψ(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=a，lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(ψ(x))≠a，即定理1的結論不成立。
第二個問題：關於例子x*sin(1/x)，
首先，這個函式是由兩個函式的乘積構成的：f(x)= x，g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x)，
而不是由兩個函式的複合構成的。
僅從這一點來說，把這個例子用在這裡並不合適。
不過，這其中的第二個函式sin(1/x)是由兩個函式的複合構成的：ψ(x)=1/x，f(u)=sinu。
其次，函式x*sin(1/x)當x→0時的極限確定是0，這是因為一個無窮小量乘以一個有界量還是無窮小量。
這個也可以通過x*sin(1/x)的影象來理解。
所以，關於例子x*sin(1/x)，無論你取 x等於或不等於1/nπ，只要x→0，它的極限就是0。
對此，原問題中的陳述不正確。
從這一點來說，把這個例子用在這裡也不合適。
合適的例子是上面的例①。
第三個問題：細化一下，
在定理1中是說，「在x0的某去心鄰域內ψ(x)≠u0」，
也就是說，是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以。
例如，ψ(x)=sinx (x∈r)，
取x0=0，則u0=0，
【ψ(x)≠u0在x0的某去心鄰域內成立，比如在去心鄰域（-1/2π，1/2π）成立】
【而在x0的以遠，比如在去心鄰域（-2π，2π），ψ(x)≠u0就不成立】
這種情況屬於符合定理1中的條件「在x0的某去心鄰域內ψ(x)≠u0」。
如果不存在這樣的鄰域，則就不符合條件。
關於複合函式的極限運演算法則
11樓：匿名使用者
令u=g(x)，又u0=lim(x→x0)g(x)
對於a=im(u→u0)f(u)
任意給定ε>0，都存在δ>0，使得當0<|u-u0|<δ——①時，|f(u)-a]|<ε
對於u0=lim(x→x0)g(x)
即對於上面給定的δ，存在ξ>0，使得當0<|x-x0|<ξ時，|g(x)-u0|<δ——②
取ρ=min，當0<|x-x0|<ρ時，0<|g(x)-u0|<ρ成立
【即①②兩個不等式同時成立】
即對於極限lim(u→u0)f(u)=a而言
任意給定ε，當0<|u-u0|<ρ，都有|f[g(x)]-a|=|f(u)-a|<ε，從而極限成立
12樓：百度文庫精選
內容來自使用者:易發表網
複合函式的極限運演算法則
13樓：匿名使用者
書上的邏輯是正確的。注意證明中第一行的【要證…】★ 以及第五行的【由於…】☆ 其中★是要【證極限】其中☆是在【用極限】 ★是要對任一任意小的正數證明極限定義成立。 ☆是已知對【任一個】任意小的正數都有極限定義成立，從而對【這一個g】也有極限定義成立。
退一步說，在情況☆，既然對任意小的都行，那麼，即使g不是那麼小也行。或者，如果g不是那麼小，想取一個足夠小的d比g小，證明也行得通。都行，不影響本質。
複合函式極限運演算法則是怎麼證明的？
14樓：匿名使用者
就是套定義啊……
證明若lim(x→x0)f(x)=y0，lim(y→y0)g(y)=l，且存在正數a，當0<|x-x0| 證明：任意給定正數b，存在正數c，當0<|y-y0| 對這個c，存在正數d，當0<|x-x0| 所以lim(x→x0)g(f(x))=l 15樓：單身狗王童子雞 )你已理解,"從證明過程看是需要的".這就對了!事實上,這種需要,是為了不失一般性,為了符合"極限的定義"之需要,並不是g（x）不符合這個條件就不成立了的那種需要. 而極限這樣定義,卻是為了研究那些趨於x0而不達到x0之問題,至於達到x0的情況,是比達不到的情況更簡單的. (2)具體說,你不可能舉出反例.因為當g（x）等於u0時,結論必真. (3)這樣理解:是為了符合極限定義中"(x-x0)的絕對值 16樓：莫名的莫然 大學畢業了 這些東西丟沒了 複合函式的極限運演算法則 17樓：是你找到了我 設limf（x），bailimg（x）存在，du且令 則有以下運算zhi 法則：dao 擴充套件資料： 一、兩個重內要極限： （其中e=2.7182818……，是一個容無理數，也就是自然對數的底數） 二、極限的性質 1、唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數列的相等。 2、有界性：如果一個數列』收斂『（有極限），那麼這個數列一定有界。但是，如果一個數列有界，這個數列未必收斂。例如數列 ：「1，-1，1，-1，……，(-1)n+1」. 諭優澈鄖樟 設limf x limg x 存在，且令 則有以下運演算法則 如果空心鄰域內有其他點x1,g x1 u0,則g u0,x不一定趨近於x0，可能趨近於x1去了，後面的做法就沒有依據了。 老黃知識共享 我給你仔細地看了一下，又仔細地想了一下，這個限制是為了保證 u u0 0，而不會出現 u ... 1.對於指數函式相加減,只好提取公因式,沒有類似指數冪的運演算法則.2.對於對數函式相加減,則可以利用對數的運演算法則進行計算,但要注意定義域 指數函式 指數函式的一般形式為y a x a 0且不 1 從上面我們對於冪函式的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得 如圖所示為... 不可以，因為 f x x趨向與x1 假定這個函式在x1右邊無意義，無法進行運算。 笨a小孩 我明白你的意思了，你理解出現模糊的關鍵點在於 極限四則運演算法則成立要求兩個函式在同一種情況趨近於同一個數，這個 同一種情況 是什麼。同一種情況 限定了這兩個函式的極限過程必須是相同的，極限過程，就是自變數x...複合函式極限，複合函式的極限運演算法則
指數函式和對數函式的運演算法則是什麼
極限的四則運演算法則的問題，極限的四則運演算法則的問題