七年級奧數題及答案

時間 2021-08-11 15:51:24

1樓:

一、選擇題(每題1分,共5分)

以下每個題目裡給出的a,b,c,d四個結論中有且僅有一個是正確的.請你在括號填上你認為是正確的那個結論的英文字母代號.

1.某工廠去年的生產總值比前年增長a%,則前年比去年少的百分數是 ( a )

a.a%. b.(1+a)%. c. d.

2.甲杯中盛有2m毫升紅墨水,乙杯中盛有m毫升藍墨水,從甲杯倒出a毫升到乙杯裡,

0<a<m,攪勻後,又從乙杯倒出a毫升到甲杯裡,則這時 ( a )

a.甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少.

b.甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多.

c.甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同.

d.甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關係不定.

3.已知數x=100,則( a )

a.x是完全平方數.b.(x-50)是完全平方數.

c.(x-25)是完全平方數.d.(x+50)是完全平方數.

4.觀察圖1中的數軸:用字母a,b,c依次表示點a,b,c對應的數,則 的大小關係是( c )

a. ; b. < < ; c. < < ; d. < < .

5.x=9,y=-4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一組整數解,這個方程的不同的整數解共有 ( )

a.2組. b.6組.c.12組. d.16組.

二、填空題(每題1分,共5分)

1.方程|1990x-1990|=1990的根是______.

2.對於任意有理數x,y,定義一種運算*,規定x*y=ax+by-cxy,其中的a,b,c表示已知數,等式右邊是通常的加、減、乘運算.又知道1*2=3,2*3=4,x*m=x(m≠0),則m的數值是______.

3.新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門,他知道每把鑰匙只能開其中的一個門,但不知道每把鑰匙是開哪一個門的鑰匙,現在要開啟所有關閉著的20個房間,他最多要試開______次.

4.當m=______時,二元二次六項式6x2+mxy-4y2-x+17y-15可以分解為兩個關於x,y的二元一次三項式的乘積.

5.三個連續自然數的平方和(填「是」或「不是」或「可能是」)______某個自然數的平方.

三、解答題(寫出推理、運算的過程及最後結果.每題5分,共15分)

1.兩輛汽車從同一地點同時出發,沿同一方向同速直線行駛,每車最多隻能帶24桶汽油,途中不能用別的油,每桶油可使一輛車前進60公里,兩車都必須返回出發地點,但是可以不同時返回,兩車相互可借用對方的油.為了使其中一輛車儘可能地遠離出發地點,另一輛車應當在離出發地點多少公里的地方返回?離出發地點最遠的那輛車一共行駛了多少公里?

2.如圖2,紙上畫了四個大小一樣的圓,圓心分別是a,b,c,d,直線m通過a,b,直線n通過c,d,用s表示一個圓的面積,如果四個圓在紙上蓋住的總面積是5(s-1),直線m,n之間被圓蓋住的面積是8,陰影部分的面積s1,s2,s3滿足關係式s3= s1= s2,求s.

3.求方程 的正整數解.

初中數學競賽輔導

2.設a,b,c為實數,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,求代數式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值.

3.若m<0,n>0,|m|<|n|,且|x+m|+|x-n|=m+n, 求x的取值範圍.

4.設(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x1+a0,試求a0+a2+a4+a6的值.

6.解方程2|x+1|+|x-3|=6.

8.解不等式||x+3|-|x-1||>2.

10.x,y,z均是非負實數,且滿足: x+3y+2z=3,3x+3y+z=4, 求u=3x-2y+4z的最大值與最小值.

11.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和餘式.

13.如圖1-89所示.aob是一條直線,oc,oe分別是∠aod和∠dob的平分線,∠cod=55°.求∠doe的補角.

14.如圖1-90所示.be平分∠abc,∠cbf=∠cfb=55°,∠edf=70°.求證:bc‖ae.

15.如圖1-91所示.在△abc中,ef⊥ab,cd⊥ab,∠cdg=∠bef.求證:∠agd=∠acb.

17.如圖1-93所示.在△abc中,e為ac的中點,d在bc上,且bd∶dc=1∶2,ad與be交於f.求△bdf與四邊形fdce的面積之比.

18.如圖1-94所示.四邊形abcd兩組對邊延長相交於k及l,對角線ac‖kl,bd延長線交kl於f.求證:kf=fl.

19.任意改變某三位數數碼順序所得之數與原數之和能否為999?說明理由.

20.設有一張8行、8列的方格紙,隨便把其中32個方格塗上黑色,剩下的32個方格塗上白色.下面對塗了色的方格紙施行「操作」,每次操作是把任意橫行或者豎列上的各個方格同時改變顏色.問能否最終得到恰有一個黑色方格的方格紙?

23.房間裡凳子和椅子若干個,每個凳子有3條腿,每把椅子有4條腿,當它們全被人坐上後,共有43條腿(包括每個人的兩條腿),問房間裡有幾個人?

24.求不定方程49x-56y+14z=35的整數解.

25.男、女各8人跳集體舞.

(1)如果男女分站兩列;

(2)如果男女分站兩列,不考慮先後次序,只考慮男女如何結成舞伴. 問各有多少種不同情況?

26.由1,2,3,4,5這5個數字組成的沒有重複數字的五位數中,有多少個大於34152?

27.甲火車長92米,乙火車長84米,若相向而行,相遇後經過1.5秒(s)兩車錯過,若同向而行相遇後經6秒兩車錯過,求甲乙兩火車的速度.

28.甲乙兩生產小隊共同種菜,種了4天后,由甲隊單獨完成剩下的,又用2天完成.若甲單獨完成比乙單獨完成全部任務快3天.求甲乙單獨完成各用多少天?

29.一船向相距240海里的某港出發,到達目的地前48海里處,速度每小時減少10海里,到達後所用的全部時間與原速度每小時減少4海里航行全程所用的時間相等,求原來的速度.16

30.某工廠甲乙兩個車間,去年計劃完成稅利750萬元,結果甲車間超額15%完成計劃,乙車間超額10%完成計劃,兩車間共同完成稅利845萬元,求去年這兩個車間分別完成稅利多少萬元?

31.已知甲乙兩種商品的原價之和為150元.因市場變化,甲商品降價10%,乙商品提價20%,調價後甲乙兩種商品的單價之和比原單價之和降低了1%,求甲乙兩種商品原單價各是多少?

32.小紅去年暑假在商店買了2把兒童牙刷和3支牙膏,正好把帶去的錢用完.已知每支牙膏比每把牙刷多1元,今年暑假她又帶同樣的錢去該商店買同樣的牙刷和牙膏,因為今年的牙刷每把漲到1.68元,牙膏每支漲價30%,小紅只好買2把牙刷和2支牙膏,結果找回4角錢.試問去年暑假每把牙刷多少錢?每支牙膏多少錢?

33.某商場如果將進貨單價為8元的商品,按每件12元賣出,每天可售出400件,據經驗,若每件少賣1元,則每天可多賣出200件,問每件應減價多少元才可獲得最好的效益?

34.從a鎮到b鎮的距離是28千米,今有甲騎自行車用0.4千米/分鐘的速度,從a鎮出發駛向b鎮,25分鐘以後,乙騎自行車,用0.6千米/分鐘的速度追甲,試問多少分鐘後追上甲?

35.現有三種合金:第一種含銅60%,含錳40%;第二種含錳10%,含鎳90%;第三種含銅20%,含錳50%,含鎳30%.現各取適當重量的這三種合金,組成一塊含鎳45%的新合金,重量為1千克.

(1)試用新合金中第一種合金的重量表示第二種合金的重量;

(2)求新合金中含第二種合金的重量範圍;

(3)求新合金中含錳的重量範圍.

|=-a,所以a≤0,又因為|ab|=ab,所以b≤0,因為|c|=c,所以c≥0.所以a+b≤0,c-b≥0,a-c≤0.所以

原式=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b.

3.因為m<0,n>0,所以|m|=-m,|n|=n.所以|m|<|n|可變為m+n>0.當x+m≥0時,|x+m|=x+m;當x-n≤0時,|x-n|=n-x.故當-m≤x≤n時,

|x+m|+|x-n|=x+m-x+n=m+n.

4.分別令x=1,x=-1,代入已知等式中,得

a0+a2+a4+a6=-8128.

10.由已知可解出y和z

因為y,z為非負實數,所以有

u=3x-2y+4z

11. 所以商式為x2-3x+3,餘式為2x-4

12.小柱的路線是由三條線段組成的折線(如圖1-97所示).

我們用「對稱」的辦法將小柱的這條折線的路線轉化成兩點之間的一段「連線」(它是線段).設甲村關於北山坡(將山坡看成一條直線)的對稱點是甲′;乙村關於南山坡的對稱點是乙′,連線甲′乙′,設甲′乙′所連得的線段分別與北山坡和南山坡的交點是a,b,則從甲→a→b→乙的路線的選擇是最好的選擇(即路線最短)

顯然,路線甲→a→b→乙的長度恰好等於線段甲′乙′的長度.而從甲村到乙村的其他任何路線,利用上面的對稱方法,都可以化成一條連線甲′與乙′之間的折線.它們的長度都大於線段甲′乙′.所以,從甲→a→b→乙的路程最短.

13.如圖1-98所示.因為oc,oe分別是∠aod,∠dob的角平分線,又 ∠aod+∠dob=∠aob=180°, 所以 ∠coe=90°.

因為 ∠cod=55°, 所以∠doe=90°-55°=35°.

因此,∠doe的補角為 180°-35°=145°.

14.如圖1-99所示.因為be平分∠abc,所以

∠cbf=∠abf,

又因為 ∠cbf=∠cfb, 所以 ∠abf=∠cfb.

從而 ab‖cd(內錯角相等,兩直線平行).

由∠cbf=55°及be平分∠abc,所以 ∠abc=2×55°=110°. ①

由上證知ab‖cd,所以 ∠edf=∠a=70°, ②

由①,②知 bc‖ae(同側內角互補,兩直線平行).

15.如圖1-100所示.ef⊥ab,cd⊥ab,所以 ∠efb=∠cdb=90°,

所以ef‖cd(同位角相等,兩直線平行).所以 ∠bef=∠bcd(兩直線平行,同位角相等).

①又由已知 ∠cdg=∠bef. ② 由①,② ∠bcd=∠cdg.

所以 bc‖dg(內錯角相等,兩直線平行).

所以 ∠agd=∠acb(兩直線平行,同位角相等).

16.在△bcd中,

∠dbc+∠c=90°(因為∠bdc=90°),① 又在△abc中,∠b=∠c,所以

∠a+∠b+∠c=∠a+2∠c=180°,

所以 由①,②

17.如圖1-101,設dc的中點為g,連線ge.在△adc中,g,e分別是cd,ca的中點.所以,ge‖ad,即在△beg中,df‖ge.從而f是be中點.連結fg.所以

又 s△efd=s△bfg-sefdg=4s△bfd-sefdg,

所以 s△efgd=3s△bfd.

設s△bfd=x,則sefdg=3x.又在△bce中,g是bc邊上的三等分點,所以 s△ceg=s△bcee,

從而 所以 sefdc=3x+2x=5x,

所以 s△bfd∶sefdc=1∶5.

18.如圖1-102所示.

由已知ac‖kl,所以s△ack=s△acl,所以

即 kf=fl. +b1=9,a+a1=9,於是a+b+c+a1+b1+c1=9+9+9,即2(a十b+c)=27,矛盾!

20.答案是否定的.設橫行或豎列上包含k個黑色方格及8-k個白色方格,其中0≤k≤8.當改變方格的顏色時,得到8-k個黑色方格及k個白色方格.因此,操作一次後,黑色方格的數目「增加了」(8-k)-k=8-2k個,即增加了一個偶數.於是無論如何操作,方格紙上黑色方格數目的奇偶性不變.所以,從原有的32個黑色方格(偶數個),經過操作,最後總是偶數個黑色方格,不會得到恰有一個黑色方格的方格紙.

21.大於3的質數p只能具有6k+1,6k+5的形式.若p=6k+1(k≥1),則p+2=3(2k+1)不是質數,所以, p=6k+5(k≥0).於是,p+1=6k+6,所以,6|(p+1).

22.由題設條件知n=75k=3×52×k.欲使n儘可能地小,可設n=2α3β5γ(β≥1,γ≥2),且有 (α+1)(β+1)(γ+1)=75.

於是α+1,β+1,γ+1都是奇數,α,β,γ均為偶數.故取γ=2.這時 (α+1)(β+1)=25.

所以 故(α,β)=(0,24),或(α,β)=(4,4),即n=20•324•52

23.設凳子有x只,椅子有y只,由題意得 3x+4y+2(x+y)=43,

即 5x+6y=43.

所以x=5,y=3是唯一的非負整數解.從而房間裡有8個人.

24.原方程可化為

7x-8y+2z=5.

令7x-8y=t,t+2z=5.易見x=7t,y=6t是7x-8y=t的一組整數解.所以它的全部整數解是

而t=1,z=2是t+2z=5的一組整數解.它的全部整數解是

把t的表示式代到x,y的表示式中,得到原方程的全部整數解是

25.(1)第一個位置有8種選擇方法,第二個位置只有7種選擇方法,…,由乘法原理,男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1=40320

種不同排列.又兩列間有一相對位置關係,所以共有2×403202種不同情況.

(2)逐個考慮結對問題.

與男甲結對有8種可能情況,與男乙結對有7種不同情況,…,且兩列可對換,所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 種不同情況.

26.萬位是5的有4×3×2×1=24(個).

萬位是4的有 4×3×2×1=24(個).

萬位是3,千位只能是5或4,千位是5的有3×2×1=6個,千位是4的有如下4個:

34215,34251,34512,34521.

所以,總共有 24+24+6+4=58

個數大於34152.

27.兩車錯過所走過的距離為兩車長之總和,即 92+84=176(米).

設甲火車速度為x米/秒,乙火車速度為y米/秒.兩車相向而行時的速度為x+y;兩車同向而行時的速度為x-y,依題意有

解之得解之得x=9(天),x+3=12(天).

解之得x=16(海里/小時).

經檢驗,x=16海里/小時為所求之原速.

30.設甲乙兩車間去年計劃完成稅利分別為x萬元和y萬元.依題意得

解之得故甲車間超額完成稅利

乙車間超額完成稅利

所以甲共完成稅利400+60=460(萬元),乙共完成稅利350+35=385(萬元).

31.設甲乙兩種商品的原單價分別為x元和y元,依題意可得

由②有0.9x+1.2y=148.5, ③

由①得x=150-y,代入③有

0. 9(150-y)+1.2y=148. 5,

解之得y=45(元),因而,x=105(元).

32.設去年每把牙刷x元,依題意得

2×1.68+2(x+1)(1+30%)=[2x+3(x+1)]-0.4,

即 2×1.68+2×1.3+2×1.3x=5x+2.6,

即 2.4x=2×1.68,

所以 x=1.4(元).

若y為去年每支牙膏**,則y=1.4+1=2.4(元).

33.原來可獲利潤4×400=1600元.設每件減價x元,則每件仍可獲利(4-x)元,其中0<x<4.由於減價後,每天可賣出(400+200x)件,若設每天獲利y元,則

y=(4-x)(400+200x)

=200(4-x)(2+x)

=200(8+2x-x2)

=-200(x2-2x+1)+200+1600

=-200(x-1)2+1800.

所以當x=1時,y最大=1800(元).即每件減價1元時,獲利最大,為1800元,此時比原來多賣出200件,因此多獲利200元.

34.設乙用x分鐘追上甲,則甲到被追上的地點應走了(25+x)分鐘,所以甲乙兩人走的路程分別是0.4(25+x)千米和0.6x千米.因為兩人走的路程相等,所以

0.4(25+x)=0.6x,

解之得x=50分鐘.於是

左邊=0.4(25+50)=30(千米),

右邊= 0.6×50=30(千米),

即乙用50分鐘走了30千米才能追上甲.但a,b兩鎮之間只有28千米.因此,到b鎮為止,乙追不上甲.

35.(1)設新合金中,含第一種合金x克(g),第二種合金y克,第三種合金z克,則依題意有

(2)當x=0時,大500克.

(3)新合金中,含錳重量為:

x•40%+y•10%+z•50%=400-0.3x,

y=250,此時,y為最小;當z=0時,y=500為最大,即250≤y≤500,所以在新合金中第二種合金重量y的範圍是:最小250克,最

而0≤x≤500,所以新合金中錳的重量範圍是:最小250克,最大400克.

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