1樓：
數學中的定義
到目前書本上出現過兩種對域的不同定義，第一種定義，設f是一個有單位元e1（≠0）的交換環（即對於加法運算可交換）。如果f中每個非零元都可逆，稱f是一個域。比如有理數域， 剩餘類域， 典型域， 有理函式域，半純函式域等等。
第二種定義，設；是環，如果；和；都是交換群，則稱；是域。比如：有限整數環；必是域。
子域f是f的子環，且對於任意非零元素都有逆元，則f為f的一個子域，子域也是一個域。一般情況下，我們均是研究典型域下的子域。子域的判定條件：子環+任意非零元素都有逆元。
2樓：銷_聲匿跡
設f是一個有單位元1（≠0）的交換環。如果f中每個非零元都可逆，稱f是一個域。 比如有理數域， 剩餘類域， 典型域， 有理函式域， 半純函式域等等。
有理數域q和實數域r是最典型的域，因為任何非零元x∈q（或r），都存在逆元1/x。
但整數集z不是域，因為1/x不是整數。（整數集z是一個環，更準確的說是整環）
3樓：孤心飄淚
域就是在一定疆界內的地方
數學中，群、環、域、集分別是什麼？它們的範圍不同嗎？
4樓：輕靈觸動
群：在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，包括阿貝爾群、同態和共軛類。
環(ring)：是一類包含兩種運算(加法和乘法)的代數系統，是現代代數學十分重要的一類研究物件。其發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。
域：定義域，值域，數學名詞，函式經典定義中，因變數改變而改變的取值範圍叫做這個函式的值域，在函式現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。
集合：簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究物件。集合論的基本理論創立於19世紀，關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是「確定的一堆東西」，集合裡的「東西」則稱為元素。
現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。
範圍：群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為係數的多項式（可以驗證也是環），當然r也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：
整數，有理數，實數，複數。
群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。
另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。 例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。
例整數集上加法和乘法，單位元0,1。
群、環、域代數結構：
群、環、域、向量空間、有序集等等，用集合與關係的語言給出來的統一的形式。首先，由於數學物件的多樣性，有不同的型別的集。
如群表示的集為g×g.實際上，群涉及的是二元運算；而向量空間表示的集為f×f→f，f×v→v，v×v→v，向量空間涉及域f中的運算，域f中的元對v中元的運算，v中元的運算.引入基本概念——「合成」(如，群的合成就是乘法運算；向量空間的「合成」有f中的元對v中元的作用乘法，v中元的加法運算)，並且，要求「合成」適合給定的公理體系，得到的就是一個數學結構。
事實上，代數結構中，所有概念均可用集合及關係來定義，即用集合及關係的語言來表述。
做為基本概念，若僅僅著眼於「合成」(即「運算」)，則這種數學結構稱為代數結構，或代數系(統).換言之，代數結構(代數系)就是帶有若干合成(運算)的集合。
5樓：虞伯
這是抽象代數的內容:
集合是基本概念,相當於一類/一堆/全體/...你該理解，不說了。
群是特殊的集，在它上面可以定義一種運算（通常叫做「乘法」，但跟數的乘法無必然聯絡），要封閉/可結合/有單位元（類似乘1/加0）/有逆元（類似乘倒數/加相反數）...
例如，正有理數是乘法群，非零有理數也是乘法群，整數集在加法下成群。
注意，群不要求交換律，如果滿足交換律，叫阿貝爾群（或加法群）。
環和域的要求就更高了，不必給你講抽象的，只在數的範圍內討論：
在加/減/乘下封閉的數集是數環，如果數環在除法下也封閉，就叫數域。
某數的倍數全體（包括負的）成一數環，有理數集是最小的數域，實數集/複數集也是數域。
更深的內容參見大學課本，抽象代數/近世代數之類......
6樓：醉了哦
這是離散數學的內容，沒必要了解。
數學上的群、域、環等有什麼區別和聯絡?
7樓：匿名使用者
1、群(group)是兩個元素作二元運算得到的一個新元素，需要滿足群公理(group axioms)，即：
①封閉性：a ∗ b is another element in the set
②結合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
③單位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a
④逆 元：加法的逆元為-a，乘法的逆元為倒數1/a，… (對於所有元素)
⑤如整數集合，二次元運算為加法就是一個群(封閉性是顯然的，加法滿足結合律，單位元為0，逆元取相反數-a)。
2、環(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，新增一種二元運算·(雖叫乘法，但不同於初等代數的乘法)。一個代數結構是環(r, +, ·)，需要滿足環公理(ring axioms)，如(z,+, ⋅)。環公理如下：
①(r, +)是交換群
封閉性：a + b is another element in the set
結合律：(a + b) + c = a + (b + c)
單位元：加法的單位元為0，a + 0 = a and 0 + a = a
逆 元：加法的逆元為-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (對於所有元素)
交換律：a + b = b + a
②(r, ·)是么半群
結合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
單位元：乘法的單位元為1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a
③乘法對加法滿足分配律multiplication distributes over addition
3、域(field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。
由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元(1/3不是整數)，所以整數集合不是域。有理數、實數、複數可以形成域，分別叫有理數域、實數域、複數域。
8樓：阿笨
群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為係數的多項式（可以驗證也是環），當然r也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：整數，有理數，實數，複數。
其實環和域上所謂的乘法不一定就是通常說的乘法，例子相信你的書上應該有，我們只是叫它乘法而已。 只能說到這兒了，你應該是想知道一些具體的例子，定義應該是蠻清楚的。
群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。
例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。 例整數集上加法和乘法，單位元0,1。
迴圈群+群生成元：如果存在一個元素a屬於g，對任一屬於g的元素b，都存在一個整數i>=0，使得b=a^i，則群g就稱為迴圈群,元素a稱為g的一個生成元，g也稱為由a生成的群。當一個群由a生成的時候，記做g=。
有限群g中元素個數稱為g的階，記為#g。
阿貝爾群是交換群，即有群中元素a*b=b*a，*是群操作。
9樓：佛伶俐
看了樓上的說法，我來說說個人理解
首先說說對問題的理解
1、樓主問群、域、環等，這個等還包括什麼？包括模與同調嗎？包括序和格嗎？問題沒有說清楚
2、單就群、域、環來說，這幾個概念，每一個都有很多範疇，樓主具體想知道什麼群、什麼環呢？群包括交換群（**）、置換群、典型群、半群、代數群、組合群、計算群、李群、拓撲群等等，每個群的性質都不太一樣，樓主你問的是哪個群呢？環包括群環、分次環、半環、微分運算元環、擬環等等，樓主又問的是哪個環呢？
基於對問題提的模糊不清，我只說群基本定義、交換群（一種常見的重要群）、結合環（環的主要研究物件）、域的基本定義，說說三者的區別和聯絡
概念如下：
1、群，域，環都是代數系統（非空集合+運算+規則）
2、群的定義=[非空集合v]+[一個稱之為「乘法」的二元運算（對v中任意a，b，ab=c屬於v）]+[結合律、單位元ae=ea=a、逆元aa-1=e]
3、交換群就是上面的群還滿足交換律，也稱作**，ab=ba 此時單位元用0表示，稱作零元
4、為了知道環，先說說半群，半群就是上面的群只滿足結合律即可，那麼環=[非空集合v]+[兩個二元運算（一個稱之為加法，一個稱之為乘法）]+[v對加法構成交換群（**），v對乘法構成半群，乘法對加法滿足分配律]
5、域=[非空集合v]+[兩個二元運算（一個稱之為加法，一個稱之為乘法）]+[v對加法構成交換群，v對乘法是非零元構成交換群，乘法對加法滿足分配律]
由以上定義可以看出
1、群是含一個二元運算，由單位元和逆元，而交換群（**）是還要滿足交換律，半群是群的擴充套件，只滿足結合律
2、環是兩個二元運算、對加法構成**，對乘法構成半群，滿足分配律
3、域是兩個二元運算，對加法構成**，對乘法構成非零元的交換群，滿足分配律
注意半群是群的擴充套件，自然包括交換群，用一句形象的話來說（僅對上面的定義），群最小、域其次、環最大
我看有人回答「域是在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法」這句話是不對的，域定義中沒有除法運算這個概念，環和域中都有乘法運算自然也就包括了除法這個逆運算，這句話可以這樣說，交換環和域是等價的，因為交換環對乘法構成的是交換群，而不是半群，
此外補充一下，數環、數域的定義
數環：特殊數集、複數集的非空子集p中如果和、差、乘積仍屬於p，那麼p稱為數環
數域：特殊數集、複數集的非空子集p中如果和、差、乘積、商（除數不含0）仍屬於p，那麼p稱為數域
由此可見數環、數域只是以數為集合的概念，而與抽象代數中環、域是有些區別的，後者更加廣義
大學數學難嗎大學數學系都學什麼，大學數學都學什麼？
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