1樓：匿名使用者
一元運算和二元運算
一.一元運算和二元運算
定義 10.1 設s是集合, 函式 f : s → s稱為s上的一個 一元運算 .
例 10.1 (1) 求數的相反數是整數集合z 、有理數集合q和實數集合r上的一元運算.
(2) 求數的倒數是非零有理數集和非零實數集上的一元運算.
(3) 求複數的共軛複數是複數集合c上的一元運算.
(4) 在冪集合p(s)上, 如果規定全集為s, 則求集合的絕對補運算是p(s)上的一元運算.
(5) 設集合s上所有雙射函式組成的集合為, 則求雙射函式的反函式是a上的一元運算.
(6) 在n(n≥2)階實數集合(r) 上,求矩陣的轉置矩陣是(r)上的一元運算 .
注: 驗證 s上一種運算是否為一元運算主要應檢驗兩點:
(1) s中任何元素都能進行這種運算, 且運算結果是唯一的.
(2) s中任何元素進行運算的結果都仍在s中, 即s對運算 是封閉的.
定義 10.2 設s是集合,函式 f : s ⅹ s → s稱為s上的 二元運算 。
注: 驗證 s上一種運算是否為二元運算也主要檢驗兩點:
(1) s中任二元素都可進行這種運算, 且運算結果是唯一的.
(2) s中任二元素運算的結果都仍在s中(運算具有封閉性).
例 10.2 (1) 自然數集合n上的加法和乘法都是n上的二元運算, 但減法和除法不是。
(2) 整數集合 z 上的加法、減法和乘法都是 z 上的二元運算, 但除法不是。
(3) 實數域 r 和有理數域 q 上的加法、減法、乘法都是二元運算, 但除法不是; 非零實數域和非零有理數域上的乘法和除法都是二元運算, 但加法和減法不是。
(4) 在所有 n階實矩陣(n≥2)形成的集合m n(r) 上, 矩陣的加法和乘法都是二元運算。
(5) s 為任意集合, 則∪, ∩, －, ⊕ 為 s 的冪集 p(s) 上的二元運算.
(6) s 為集合, s 上所有函式形成的集合為. 則函式的複合運算⌈是上的二元運算。
注: 通常用符號 *, , ·, …, 等來表示運算, 稱為運算子。
例 10.3 設有實數域r上的二元運算: ∀ x , y ∈ r, x * y = x, 計算
解: 有限集合 s上的一元和二元運算除了使用函式表示式給出外, 也可以用運算表給出; 運算表的一般格式為:
例 10.4 設s=,給出p(s)上的補運算～和對稱差運算 ⊕ 的運算表 ,其中全集為s。
解: 所求運算表如下 :
例10.5 設s=,定義 s上的二元運算如下: xy=(xy)（mod 5）, ( ∀ x, y ∈ s)
求運算的運算表。
解: 所求運算表如下:
二.二元運算的單位元、零元和元素的逆元
定義 10.3 設為集合s上的二元運算。
(1) 若 ∃ ∈ s (或 ∃ ∈ s ), 使得對 ∀ x ∈ s 都有
x = x ( 或 x=x )
則稱是 s中關於運算⌈的 左單位元 ( 稱 為s中關於運算⌈的 右單位元 )。
如果 e ∈ s關於運算⌈既是左單位元又是右單位元, 則稱為 單位元 或 么元 。
(2) 若 ∃ θ l ∈ s (或 ∃ θ r ∈ s), 使得對∀ x ∈ s 都有
θ l x = θ l ( 或 x θ r = θ r )
則稱 θ l 是 s中關於運算 的 左零元 (稱 θ r 是 s中關於運算 的 右零元 )。若 θ ∈ s關於運算 既是左零元又是右零元, 則稱它是s中關於運算 的 零元 。
(3) 設e ∈ s是運算 的單位元, x ∈ s。若 $ ∈ s (或 $ ∈ s), 使得
i x = e (或 x =e )
則稱 是在運算 下元素x的 左逆元 (稱 是在運算 下元素 x 的 右逆元 )。
若 y ∈ s既是x 的左逆元又是x 的右逆元, 則稱 y是x 在運算 下的 逆元 。存在逆元的元素稱為可逆的。
注1 ♥ 在數集 n, z, q, r上，0是加法的單位元，1是乘法的單位元；
♥ 在 n階實矩陣集合m n(r)上，全0的n階矩陣是矩陣加法的單位元, n 階單位矩陣是矩陣乘法的單位元；
♥ 在冪集p(s)上, f 是∪運算的單位元 , 全集s是∩運算的單位元, f 也是對稱差運算 ⊕ 的單位元；
♥ 在上，恆等矩陣 i a 是函式複合運算的單位元。
注2 ♥ 在數集n, z, q, r上，加法沒有零元，0 是乘法的零元；
♥ 在 m n(r)上, 矩陣加法沒有零元, 全 0 的 n 階矩陣是矩陣乘法的零元;
♥ 在p(s)上, 全集 s 是∪運算的零元, f 是∩運算的零元，⊕ 沒有零元；
注3 ♥ 在自然數集n上，只有0有加法逆元，就是它自己；
♥ 在數集z,q,r上, 每個數字x關於加法運算都有逆元, 即它的相反數–x ;
♥ 在數集q,r上, 每個非零數字x關於乘法運算都有逆元, 即它的倒數 ；
♥ 在集合m n(r)上，每個 n 階實矩陣 m 關於矩陣加法都有逆元–m; 每個n 階實可逆矩陣 m 關於矩陣乘法都有逆元 ;
♥ 在p(s)上，關於並運算∪，只有 f 有逆元，就是它自己；
關於交運算∩，只有全集s有逆元，就是它自己。
定理 10.1 (1) 設為s上的二元運算。如果在s中關於該運算既存在左單元 又存在右單元 , 則必存在單位元e , 且 = =e。
(2) s上關於運算的單位元是唯一的。
證: (1) 因 是右單位元，故= ;
又因是左單位元，故 = 。從而 = 。
令 e = = , 易見 e 是單位元。
(2) 設e 和e ' 都是 s中關於運算的單位元，則
e=e e ' = e'
可見，單位元是唯一的。
定理 10.2 (1) 設為s上的二元運算。如果在s中關於該運算既有左零元 θ l 又有右零元 θ r ，則必存在零元 θ ，且 θ l = θ r = θ .
(2) s上關於運算的零元是唯一的。
證明與上一定理類似，留作練習。
定理 10.3 設為s上的二元運算, e 和 θ 分別為該運算的單位元和零元。如果 s 至少有兩個元素，則e≠ q .
證：用反證法。假設 e= θ ，則對 ∀x ∈ s，有 x= xe= xθ = θ . 這與 s中
至少有兩個元素矛盾。
定理 10.4 設為s上的可結合的二元運算，(「可結合」見下文定義)，e 為該運算的單位元。 (1) 如果s中一個元素x在該運算下既有左逆元 又有右逆元 ，則它必有逆元 y , 且 = =y；(2) 若 x ∈ s在運算下有逆元，則逆元是唯一的。
證: (1) 由 x = e 和 x =e 得
= e = ( x ) = ( x ) = e = 。
令 y = = , 則易見 y 是 x 的逆元。
(2) 設 y 和 y ' 都是元素 x 在運算 下的逆元，則
y ' = y ' e= y '(x y)=(y ' x) y=e y=y 。
由此可見 x 的逆元是唯一的。
三.二元運算的運算律
定義 10.4 (1)設為集合s上的二元運算. 如果對 ∀ x, y ∈ s,都有
xy=yx,
則稱運算在s上具有 交換律 ，或稱運算在 s上是交換的。
(2) 設為集合 s上的二元運算。如果對 ∀ x , y, z ∈ s, 都有
(x y) z = x (y z)
則稱運算在s上具有 結合律 ，或稱運算 在s上是結合的。
(3) 設為集合s上的二元運算。如果對 ∀ x ∈ s,都有
x x =x
則稱運算 在s上具有 冪等律 ，或稱運算 在s上是冪等的。
(4) 設和·是集合s上兩個二元運算。如果對 ∀ x , y, z ∈ s,都有
x ·(y z)=(x · y) (x · z) (或都有 (y z) · x=(y · x) (z · x))
則稱運算·對運算具有 左分配律 (或 右分配律 )。若·對既有左分配律又具有右分配律，則稱·對具有 分配律 。
定義 10.5
(1) 設和·是集合s上的兩個可交換的二元運算。如果對 ∀ x , y ∈ s，都有
x·(x y)=x,
則稱運算·對運算具有吸收律。如果·對具有吸收律，且對·也具有吸收律，則稱運算·和在s上是 吸收的 。
(2) 設是集合s上的二元運算，如果對 ∀x , y, z ∈ s,都有
xy=xz ∧ x ≠零元) ⇒ y=z
或都有 (yx=zx ∧x ≠零元) ⇒y=z）
則稱運算 在s上具有 左消去律 (或具有 右消去律 )。若運算在s上既具有左消去律又具有右消去律，則稱它在s上具有 消去律 。
注1.常見的二元運算滿足交換律,結合律,冪等律和消去律的情況：
♠ & 集合的並和交不滿足消去律的例子 ：
a=, b=, c=, d=,
則 a∪c=b∪c=, 但a≠b；
a∩c=d∩c=, 但a≠d.
♠ & 函式的複合運算不滿足消去律的例子：
注2.★ 集合 n,z,q,r,c上數字的乘法對加法具有分配律；
★ n 階實矩陣集合 m n(r) 上矩陣的乘法對加法具有分配律；
★ 冪集 p(s)上交和並運算∩與∪是互相可分配的。
注3.冪集p(s)上的∪與∩運算滿足吸收律，即 ∀ a, b ∈ p(s), 有a∪(a∩b)=a, a∩(a∪b)=a。
注4.設是集合s上的二元運算. 若s中某元素 x 滿足xx=x, 則稱x為運算⌈的冪等元。顯然, 若二元運算在s上具有冪等律, 則s中每個元素都是 運算的冪等元。
例 10.6 對下列二元運算, 指出其運算性質, 並求其單位元、零元和
所有可逆元的逆元。
解: (1) * 運算可交換、可結合, 是冪等的, 不存在零元。因為對 ，x * 1=1 * x=x , 故1是單位元。除1外, 其它元素無逆元, 1 的逆元是它 自己。
(2) ① ∵ 對 ∀x , y ∈ q, x * y = x+y – xy = y+x – yx = y* x , 故*滿足交換律；
② ∵ 對 ∀ x , y, z ∈ q, 有
(x * y ) * z = (x+y – xy) * z = x+y+z – xy – xz – yz+xyz ,
x * (y * z ) = x * (y+z – yz) = x+y+z – yz – xz – xy+xyz .
可見 * 滿足結合律；
③ ∵ 對 2 ∈ q, 有 2*2=2+2–2 ′ 2=0 1 2, 故*不滿足冪等律；
④ ∵ 對 ∀x , y, z ∈ q 且 x 1 1 (1是零元)，有
x*y = x*z ⇒ x+y – xy = x+z – xz ⇒y – z = x(y – z) ⇒y = z。
故滿足左消去律, 由於可交換, 故也滿足右消去律, 從而*滿足消去律；
⑤ 因為對 ∀ x ∈ q，都有 x*0 = x = 0*x，故 0是*的單位元；
⑥ 因為對 ∀ x ∈ q，都有 x*1=1=1*x，故 1是*的零元；
⑦ 因為對 ∀ x ∈ q，欲使 x*y=0 和 y*x=0成立，即
x+y – xy = 0,
解得 ，故每一非零元x都有逆元 。
例 10.7 設a=, a上的二元運算 * ,,· 如表所求。
(1) 說明它們是否滿足交換律、結合律、消去律和冪等律。
(2) 求出它們的單位元、零元和所有可逆的逆元。
** 解: *運算 滿足交換律、結合律和消去律 , 不滿足冪等律。單位元是a;沒有零元；, .
運算 滿足交換律、結合律和冪等律 , 不滿足消去律,單位元是a,零元是b. 僅僅a 有逆元： .
· 運算 滿足交換律、結合律和冪等律 , 不滿足交換律和消去律。沒有單位元和零元，任何元素都無逆元。
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