1樓:難道情纏死方休
先算出jordan標準型 然後設出向量與jordan聯立解方程
2樓:小雪
只需證明a的特徵向量中能夠選出n為向量空間的一組基:(不妨設a是n行n列的)
首先設λ是a的特徵值,那麼λ^2是a^2的特徵值,∴(a^2)ξ=λ^2*ξ=eξ=ξ
∴λ^2=1
∴λ=±1
∴a只有特徵根±1
先找到1所對應的一組線性無關向量特徵向量:
就是滿足:aξ=ξ的一組線性無關向量
也就是(a-e)ξ=0
很顯然解空間的維數是:n1=n-rank(a-e)∴可以從中選出n1個線性無關的特徵向量。
在考慮以-1為特徵根的特徵向量:
也就是aξ=-ξ
∴(a+e)ξ=0
顯然解空間的維數是:n2=n-rank(a+e)∴可以從中選出n2個線性無關的向量。
現在n1+n2=2n-rank(a+e)-rank(a-e)現在只需要證明:rank(a+e)+rank(a-e)=n這一步的證明並不難:先證明rank(a+e)+rank(a-e)≥n這是因為a^2=e∴deta=±1∴a可逆∴ranka=n而又∵ranka+rankb≥rank(a|b)≥rank(a+b)∴rank(a+e)+rank(a-e)≥rank2a=ranka=n
再證明rank(a+e)+rank(a-e)≤n∵(a+e)(a-e)=a^2-e^2=0∴a-e的列空間是(a+e)x=0的解空間的子空間又∵a+e的解空間的維數是n-rank(a+e)∴rank(a-e)≤n-rank(a+e)∴rank(a-e)+rank(a+e)≤n綜上所述:rank(a+e)+rank(a-e)=n∴n1+n2=n
∴n維線性空間有一組a的特徵向量組成的基。
∴a可對角化
顯然去上面的滿足aξ=ξ的n1個線性無關向量,取aξ=-ξ的n2個線性無關向量
加起來總共n個,將他們以列向量的形式排成一個n階方陣t,∵其列秩為n
∴可逆∴t^(-1)at=diag(1,1,…,-1,-1)
已知a與b相似,求a,b的值及矩陣p,使p^-1ap=b
3樓:粒下
因為a與b相似,可以知道|a|=|b|,tr(a)=tr(b);
所以得到 6b+a=-5;4=6+b;計算得到a=7,b=-2 。
所以求得矩陣b:
因為矩陣a的特徵多項式為
所以a的特徵值為 λ1=5,λ2=-1 ,然後求a得特徵向量。
當λ1=5時,矩陣a的特徵方程為
求得λ1=5的特徵向量為ξ1=(1,1)t ;
當λ2=-1時,矩陣a的特徵方程為
求得λ2=-1的特徵向量為ξ2=(-2,1)t ;
所以存在可逆矩陣p1=(ξ1,ξ2);使得p1^-1ap1=c,其中c為對角矩陣。
同樣的因為矩陣b的特徵多項式為
所以b的特徵值為 λ1=5,λ2=-1 ,求b得特徵向量。
當λ1=5時,矩陣b的特徵方程為
求得λ1=5的特徵向量為η1=(-7,1)t ;
當λ2=-1時,矩陣b的特徵方程為
求得λ2=-1的特徵向量為η2=(-1,1)t ;
所以存在可逆矩陣p2=(η1,η2);使得p2^-1bp2=c,其中c為對角矩陣。
因為矩陣a與矩陣b相似的對角矩陣c均為一樣的,所以得到p1^-1ap1=p2^-1bp2;
化簡得到 (p1p2)^-1a(p1p2)=b;所以存在可逆矩陣p=p1p2,使得p^-1ap=b;
即可逆矩陣p為
4樓:zzllrr小樂
相似矩陣有相同特徵值、跡和行列式,則
1+3=6+b
|a|=3-8=|b|=6b+a
解得a=7
b=-2
因此所求矩陣p=mn^(-1)
5樓:茹翊神諭者
簡單計算一下即可,答案如圖所示
矩陣a,b相似。求可逆矩陣p,使p∧-1ap=b 15
6樓:一個人郭芮
當然是有關的
ab相似,那麼就是相同的特徵值
如果要求出p,
使p^-1 ap=b
就要看b裡特徵值的位置
三個特徵值所在的行不一樣
即得到的特徵向量位置不同
那麼求出的p也不一樣
7樓:茹翊神諭者
簡單計算一下即可,詳情如圖所示
例題如下:
高等代數,線性變換的相似問題。 10
8樓:匿名使用者
6、【分抄
析】相似:若n階矩陣襲a,滿足p-1ap=b,則稱a,b相似。
即ap=pb。
【解答】
令p=a,那麼顯然abp=pba,p-1abp=ba,滿足相似定義,所以ab與ba相似。
newmanhero 2023年7月14日14:35:42
希望對你有所幫助,望採納。
高等代數的問題,一個高等代數的問題
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矩陣A與B相似,則A與B的伴隨矩陣也相似,請問如何證明
angela韓雪倩 a,b相似,則存在可逆矩陣p,使得b p 1 ap則b p 1 ap p a p 1 p a p 1 因此b 與a 相似 n階矩陣a與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣a有n個線性無關的特徵向量。注 定理的證明過程實際上已經給出了把方陣對角化的方法。若矩陣可對角化,則可按下列步驟來...
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