高等代數問題A與B相似即P 1AP B A不可對角化這個P的計算思路是什麼

時間 2021-10-15 00:23:12

1樓:難道情纏死方休

先算出jordan標準型 然後設出向量與jordan聯立解方程

2樓:小雪

只需證明a的特徵向量中能夠選出n為向量空間的一組基:(不妨設a是n行n列的)

首先設λ是a的特徵值,那麼λ^2是a^2的特徵值,∴(a^2)ξ=λ^2*ξ=eξ=ξ

∴λ^2=1

∴λ=±1

∴a只有特徵根±1

先找到1所對應的一組線性無關向量特徵向量:

就是滿足:aξ=ξ的一組線性無關向量

也就是(a-e)ξ=0

很顯然解空間的維數是:n1=n-rank(a-e)∴可以從中選出n1個線性無關的特徵向量。

在考慮以-1為特徵根的特徵向量:

也就是aξ=-ξ

∴(a+e)ξ=0

顯然解空間的維數是:n2=n-rank(a+e)∴可以從中選出n2個線性無關的向量。

現在n1+n2=2n-rank(a+e)-rank(a-e)現在只需要證明:rank(a+e)+rank(a-e)=n這一步的證明並不難:先證明rank(a+e)+rank(a-e)≥n這是因為a^2=e∴deta=±1∴a可逆∴ranka=n而又∵ranka+rankb≥rank(a|b)≥rank(a+b)∴rank(a+e)+rank(a-e)≥rank2a=ranka=n

再證明rank(a+e)+rank(a-e)≤n∵(a+e)(a-e)=a^2-e^2=0∴a-e的列空間是(a+e)x=0的解空間的子空間又∵a+e的解空間的維數是n-rank(a+e)∴rank(a-e)≤n-rank(a+e)∴rank(a-e)+rank(a+e)≤n綜上所述:rank(a+e)+rank(a-e)=n∴n1+n2=n

∴n維線性空間有一組a的特徵向量組成的基。

∴a可對角化

顯然去上面的滿足aξ=ξ的n1個線性無關向量,取aξ=-ξ的n2個線性無關向量

加起來總共n個,將他們以列向量的形式排成一個n階方陣t,∵其列秩為n

∴可逆∴t^(-1)at=diag(1,1,…,-1,-1)

已知a與b相似,求a,b的值及矩陣p,使p^-1ap=b

3樓:粒下

因為a與b相似,可以知道|a|=|b|,tr(a)=tr(b);

所以得到 6b+a=-5;4=6+b;計算得到a=7,b=-2 。

所以求得矩陣b:

因為矩陣a的特徵多項式為

所以a的特徵值為 λ1=5,λ2=-1 ,然後求a得特徵向量。

當λ1=5時,矩陣a的特徵方程為

求得λ1=5的特徵向量為ξ1=(1,1)t ;

當λ2=-1時,矩陣a的特徵方程為

求得λ2=-1的特徵向量為ξ2=(-2,1)t ;

所以存在可逆矩陣p1=(ξ1,ξ2);使得p1^-1ap1=c,其中c為對角矩陣。

同樣的因為矩陣b的特徵多項式為

所以b的特徵值為 λ1=5,λ2=-1 ,求b得特徵向量。

當λ1=5時,矩陣b的特徵方程為

求得λ1=5的特徵向量為η1=(-7,1)t ;

當λ2=-1時,矩陣b的特徵方程為

求得λ2=-1的特徵向量為η2=(-1,1)t ;

所以存在可逆矩陣p2=(η1,η2);使得p2^-1bp2=c,其中c為對角矩陣。

因為矩陣a與矩陣b相似的對角矩陣c均為一樣的,所以得到p1^-1ap1=p2^-1bp2;

化簡得到 (p1p2)^-1a(p1p2)=b;所以存在可逆矩陣p=p1p2,使得p^-1ap=b;

即可逆矩陣p為

4樓:zzllrr小樂

相似矩陣有相同特徵值、跡和行列式,則

1+3=6+b

|a|=3-8=|b|=6b+a

解得a=7

b=-2

因此所求矩陣p=mn^(-1)

5樓:茹翊神諭者

簡單計算一下即可,答案如圖所示

矩陣a,b相似。求可逆矩陣p,使p∧-1ap=b 15

6樓:一個人郭芮

當然是有關的

ab相似,那麼就是相同的特徵值

如果要求出p,

使p^-1 ap=b

就要看b裡特徵值的位置

三個特徵值所在的行不一樣

即得到的特徵向量位置不同

那麼求出的p也不一樣

7樓:茹翊神諭者

簡單計算一下即可,詳情如圖所示

例題如下:

高等代數,線性變換的相似問題。 10

8樓:匿名使用者

6、【分抄

析】相似:若n階矩陣襲a,滿足p-1ap=b,則稱a,b相似。

即ap=pb。

【解答】

令p=a,那麼顯然abp=pba,p-1abp=ba,滿足相似定義,所以ab與ba相似。

newmanhero 2023年7月14日14:35:42

希望對你有所幫助,望採納。

高等代數的問題,一個高等代數的問題

一元運算和二元運算 一.一元運算和二元運算 定義 10.1 設s是集合,函式 f s s稱為s上的一個 一元運算 例 10.1 1 求數的相反數是整數集合z 有理數集合q和實數集合r上的一元運算.2 求數的倒數是非零有理數集和非零實數集上的一元運算.3 求複數的共軛複數是複數集合c上的一元運算.4 ...

矩陣A與B相似,則A與B的伴隨矩陣也相似,請問如何證明

angela韓雪倩 a,b相似,則存在可逆矩陣p,使得b p 1 ap則b p 1 ap p a p 1 p a p 1 因此b 與a 相似 n階矩陣a與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣a有n個線性無關的特徵向量。注 定理的證明過程實際上已經給出了把方陣對角化的方法。若矩陣可對角化,則可按下列步驟來...

線性代數中相似問題,誰能解答,線性代數中矩陣相似的一個問題,符號不好表示,請看圖。

一個人郭芮 對於一般的方陣 只有滿足這樣的式子才是相似的 而如果ab兩個方陣都是對稱方陣的話 那麼就求出二者的特徵值 只要特徵值都是對應相等的 a和b就是相似矩陣 閒庭信步 關於矩陣的相似問題,在通常的工程線性代數中一般都沒有介紹兩個矩陣相似的充分必要條件。除了定義以外 如果要了解這方面的知識,可參...