1樓：匿名使用者
不同特徵值的特徵向量肯定線性無關，所以這個矩陣的特徵向量相關的只可能是2的兩個特徵向量，而a-2e的秩為1時的特徵向量正是2對應的特徵向量，所以這兩個線性無關時就是整個矩陣有三個無關的特徵向量啊。
a-2e的特徵向量正是求特徵值為2的特徵向量你可以算一下當特徵值是2的時候的特徵向量的過程，會發現第一步就是算a-2e，而且二重特徵值是2所以a-2e的秩為1.
其實他繞了一個小彎子，就是說求對應2的特徵向量有兩個無關向量。你可以找一個二重特徵向量的例子求一下特徵值，看看a-ne(n是二重特徵值)的秩是不是1，然後看看是不是兩個無關特徵向量體會一下就知道了。
恐怕光這麼寫你不會太明白……試一下。
2樓：匿名使用者
首先其次方程組ax=0 a:m*n
若rank(a)=m
則解空間的維數為n-m 這是最最常用的一個結論關於當（a-2e）的秩為1時，就有2個線性無關的特徵向量用上面的結論就好理解了
特徵值2對應的線性無關的特徵向量的個數就是方程(a-2e)x=0的解空間維數
所以當（a-2e）的秩為1時 就有3-1=2個線性無關的特徵向量 就可以對角化
若（a-2e）的秩為2 那麼就只有3-2=1個線性無關的特徵向量特徵值的重數《線性無關的個數 就不能對角化
與實對稱矩陣相似、合同的對角陣是否唯一，能否利用這個性質判斷矩陣相似、合同的問題
3樓：匿名使用者
實對稱矩陣相似則合同, 合同不一定相似
實對稱矩陣相似於對角矩陣是唯一的, 合同不唯一矩陣a的特徵值為 1,4,4, 與b不相似(特徵值不同)但a,b合同(正負慣性指數相同)
4樓：匿名使用者
你給的那個矩陣是對稱陣
所以存在p^-1ap=p^tap=λ；
我感覺簡單的方法就是判斷|a-λie|=0；
不知道這樣行不行
關於矩陣可相似對角化條件的判定的疑問
5樓：假面
n階方陣可進行對角化的充分必要條件是：
1.n階方陣存在n個線性無關的特徵向量
推論：如果這個n階方陣有n個不同的特徵值,那麼矩陣必然存在相似矩陣
2.如果階n方陣存在重複的特徵值,每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重 複次數
現在從矩陣對角化的過程中,來說說這個條件是怎麼來的.
在矩陣的特徵問題中,特徵向量有一個很好的性質,即aa=λa.
假設一種特殊的情形,a有n個不同的特徵值λi,即aai=λi*ai.令矩陣p=[a1 a2 ... an]
這樣以來ap=a*[a1 a2 ... an]=[a*a1 a*a2 ... a*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=p*b,其中b是對角陣.
b＝λ1 0 0 ...
0 λ2 0 ...
0 0 0 λn
由於不同特徵值對應的特徵向量是線性無關的,那麼p是可逆矩陣,將上面等式換一種描述就是a＝p*b*p-1 ,這也就是a相似與對角陣b定義了.
在這個過程中,a要能對角化有兩點很重要：
p是怎麼構成的?p由n個線性無關的向量組成,並且向量來自a的特徵向量空間.
p要滿足可逆.什麼情況下p可逆?
矩陣可對角化的條件,其實就是在問什麼情況下p可逆?
如果a由n個不同的特徵值,1個特徵值－對應1個特徵向量,那麼就很容易找到n個線性無關的特徵向量,讓他們組成p；
但是如果a有某個λ是個重根呢?比如λ＝3,是個3重根.我們 知道對應的特徵方程(3i－a)x＝0不一定有3個線性無關的解.
如果λ＝3找不到3個線性無關的解,那麼a就不能對角化了,這是因為能讓a對角化的p矩陣不存在.
擴充套件資料：
設m為元素取自交換體k中的n階方陣，將m對角化，就是確定一個對角矩陣d及一個可逆方陣p，使m=pdp-1。設f為典範對應於m的kn的自同態，將m對角化，就是確定kn的一個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。
對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的演算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。
無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函式的泰勒級數的導數運算元的矩陣。
主條目：特徵值，特徵向量
旋轉矩陣（rotation matrix）是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它可以把右手座標系改變成左手座標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。
旋轉矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數學家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎的機會。
首先您要先選一些號碼，然後，運用某一種旋轉矩陣，將你挑選的數字填入相應位置。如果您選擇的數字中有一些與開獎號碼一樣，您將一定會中一定獎級的獎。當然運用這種旋轉矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠遠小於複式投注的成本。
旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。
它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。
6樓：木土佳日月
n階矩陣有n個特徵值，每個特徵值有無數個特徵向量，但是線性無關的特徵向量個數不超過對應特徵值的重根次數；
7樓：小小大機智
k重特徵值對應的特徵向量無關數目不可能大於k
8樓：
定理：n階矩陣a相似對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
推論：若n階矩陣a有n個不同的特徵值，則矩陣a可相似對角化。說的是有n個不同的特徵值就一定能相似對角化，而沒有n個不同的特徵值只是有可能相似對角化，不能確定。
當矩陣a有兩個或兩個以上相同的特徵值時，就要看無關特徵向量的個數，若有n個不同的特徵向量就能相似對角化。
9樓：安爾默寥
兩種都可以。第一種是一定能對角化，第二種要滿足幾何重數和代數重數相等的條件就可對角化。
10樓：
講的很好，不錯，一點都不亂，
11樓：蹲家比企鵝
錯在你把重根當成一個特徵值了
對角矩陣的逆矩陣怎麼求，求對角陣的逆
設有一個方陣a，若存在一個方陣b，使得ab i或ba i，則稱b是a的逆矩陣，用a 1表示 事實上若ab i,則必有ba i 注意並不是所有矩陣都有逆矩陣。對角矩陣的逆矩陣可以利用逆矩陣的初等變換法來求解。所謂對角矩陣是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣，常寫為 a1，a2，an 而且對角矩陣可以認...
讓矩陣A對角化的正交矩陣P是唯一的嗎
墨汁諾 可以從幾何角度理解，正交化就是讓向量兩兩垂直，如果有兩個線性無關的特徵向量，不妨記為 1，2，以 1為底作 2的垂線形成的新的正交向量，和以 2為底形成的正交向量座標肯定不同。畫兩個方向的向量做個圖就出來了很直觀明。1 p不是唯一的 p由a的特徵向量構成 特徵向量 於齊次線性方zhi程組的基...
為什麼實對稱矩陣一定可以對角化，實對稱矩陣一定可以對角化？
各種怪 原因 實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值 包括重數 並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於它的無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。判斷一個矩陣是否可對角化 先求特徵值,如果沒有相重的特徵值,一定可對角化。如果有相重的特徵值 k...