1樓：各種怪
原因：實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值（包括重數），並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於它的無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。
判斷一個矩陣是否可對角化：
先求特徵值,如果沒有相重的特徵值,一定可對角化。
如果有相重的特徵值λk,其重數為k,那麼你通過解方程（λke-a）x=0得到的基礎解系中的解向量若也為k個,則a可對角化,若小於k,則a不可對角化。
2樓：匿名使用者
不需要！不需要！不需要！這個證明不需要《矩陣論》。不需要！不需要！不需要！
我看竟然還有答主把《矩陣論》搬出來了。
若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得（t的逆陣）at為對角矩陣。
證明需要正交矩陣的相關知識，我寫了出來。
證明：當n=1時結論顯然成立。現在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。
設シ是a的一個特徵值（n階矩陣一定有n個特徵值（計數重複的）），設α是a 的一個特徵向量（α是列向量）。（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。
顯然所有的單位向量有無數個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等於0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若ab=e則ba=e，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣q，（所謂正交矩陣就是（q的轉置）*q=q*(q的轉置)=e）。由（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα 得（q的轉置）a的第一行是（シα）的轉置，於是 （q的轉置）aq的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（q的轉置）aq的第一列除了第一行以外都是0（至於這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是t是元，tij*t+t..*t..
+t..*t..+t..
*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那麼這些加起來就是0）。因為q是正交矩陣，（（q的逆陣）aq）的轉置=（q的轉置）（a的轉置）（q的逆陣的轉置）=（q的逆陣）aq，所以（q的逆陣）aq也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最後可以反覆進行這個過程整成對角矩陣。
證畢然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價於滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以後秩不變，這就證明了你的
3樓：趙宗軒
相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量。充分條件是a有n個不同的特徵值，因為我們知道n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，也就是說方陣a能否相似對角化取決於重特徵值對應幾個線性無關的特徵向量，而實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化
4樓：電燈劍客
去看下面的連結
5樓：想著你
三言兩語說不清，看推導過程吧
為什麼實對稱矩陣一定可以對角化
6樓：匿名使用者
實對稱矩陣一定可以對角化，因為相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量，充分條件是a有n個不同的特徵值，而n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化。
7樓：遲暢鐸之桃
1.因為特徵向量經過施密特正交化之後不一定是原來矩陣（線性變換）的特徵向量,也即在經過正交化的基表示下不一定是對角的.在酉空間中,矩陣可以正交對角化的充要條件是矩陣滿足aa*=a*a （a*是a的共軛轉置）
2.這要從變換的角度來理解.左乘初等矩陣,是對行作初等變換,再右乘這個初等矩陣的轉置,是對列作「對稱」的初等變換,因為矩陣是對稱的,所以這樣做一定最後可以把它對角化.
比如假設對稱矩陣（1,1）位置的元素不為0,先用行初等變換通過第一行把第三行的第一個元素消為0,那麼再右乘這個變換對應矩陣的轉置後,則一定會把第三列的第一個元素消為0.
3這個是基本的證明,你可以參考吳泉水復旦大學《高等代數》
8樓：匿名使用者
不用厄米特矩陣。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得（t的逆陣）at為對角矩陣。
證明：當n=1時結論顯然成立。現在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。
設シ是a的一個特徵值（n階矩陣一定有n個特徵值（計數重複的）），設α是a 的一個特徵向量（α是列向量）。（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。
顯然所有的單位向量有無數個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等於0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若ab=e則ba=e，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣q，（所謂正交矩陣就是（q的轉置）*q=q*(q的轉置)=e）。由（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα 得（q的轉置）a的第一行是（シα）的轉置，於是 （q的轉置）aq的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（q的轉置）aq的第一列除了第一行以外都是0（至於這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是q的元，tij*t+t..*t..
+t..*t..+t..
*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那麼這些加起來就是0）。因為q是正交矩陣，（（q的逆陣）aq）的轉置=（q的轉置）（a的轉置）（q的逆陣的轉置）=（q的逆陣）aq，所以（q的逆陣）aq也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最後可以反覆進行這個過程整成對角矩陣。
證畢然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價於滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以後秩不變，這就證明了你的實對稱矩陣一定可以相似對角化
實對稱矩陣一定可以對角化？ 15
9樓：匿名使用者
實對稱矩陣一定可以對角化，因為相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量，充分條件是a有n個不同的特徵值，而n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化。
10樓：閒庭信步
設a為實對稱矩陣，則必存在正交矩陣p,使得p'ap為對角型矩陣。
如果你是理工科學線性代數的學生，則可以不去深究定理的證明，現在一般的理工科都不要求掌握證明，只要會化實對稱矩陣為對角型就可以了。
如果你是數學系學習高等代數的學生，則證明這個定理的方法有很多，可以用用數學歸納法，還可以用若當標準形的理論，對稱變換的理論等證明該定理。但這都需要一些其他知識做準備。如歐氏空間的對稱變換或入-矩陣的若當標準型等，那就不是一兩句話能說得清的。
所以，一般的線性代數教材就只告訴你結論，會用就ok了。
證明題，請問為什麼是實對稱矩陣必可以相似對角化
11樓：zzllrr小樂
根據二次型理論，實對稱矩陣，必然與對角陣合同
對其特徵向量，進行施密特正交化，可以得到正交矩陣，使其對角化
12樓：匿名使用者
不用厄米特矩陣，也不用二次型。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得（t的逆陣）at為對角矩陣。
證明：當n=1時結論顯然成立。現在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。
設シ是a的一個特徵值（n階矩陣一定有n個特徵值（計數重複的）），設α是a 的一個特徵向量（α是列向量）。（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。
顯然所有的單位向量有無數個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等於0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若ab=e則ba=e，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣q，（所謂正交矩陣就是（q的轉置）*q=q*(q的轉置)=e）。由（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα 得（q的轉置）a的第一行是（シα）的轉置，於是 （q的轉置）aq的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（q的轉置）aq的第一列除了第一行以外都是0（至於這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是q的元，tij*t+t..*t..
+t..*t..+t..
*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那麼這些加起來就是0）。因為q是正交矩陣，（（q的逆陣）aq）的轉置=（q的轉置）（a的轉置）（q的逆陣的轉置）=（q的逆陣）aq，所以（q的逆陣）aq也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最後可以反覆進行這個過程整成對角矩陣。
證畢然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價於滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以後秩不變，這就證明了你的實對稱矩陣一定可以相似對角化
13樓：幸運的好酷
假想一下用相同的行列變換，用對角線上的值消去其所在行與列上上方的值，比如12
24就是用第一行減去一半的第二行，第一列減去一半的第二列，而相同的行列變換對應著左乘與右乘兩個單位陣做同等變換所得的矩陣，易知這兩個矩陣是轉制關係。ptap=diagx
下面再結和秩的性質，可知a有n個特徵向量，用其n個特徵向量施密特化後組成真交矩陣從而得到其與diag相似。(消數字要從右下角開始，如何從秩得到n個特徵向量還未想通，如果能得到自然就相似了。)
為什麼實對稱矩陣一定可相似對角化
實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值 包括重數 並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於它的無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。判斷方陣是否可相似對角化的條件 1 充要條件 an可相似對角化的充要條件是 an有n個線性無關的特徵向量 2 ...
線性代數題怎麼證明實對稱矩陣可以對角化
數學好玩啊 這個是定理。證明老長了。參看任何一本線代教材 不用厄米特矩陣。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得 t的逆陣 at為對角矩陣。證明 當n 1時結論顯然成立。現在證明若對n 1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。...
為什麼實對稱矩陣的特徵向量一定可以正交化
是你找到了我 設 1，2是兩個a的不同特徵值，1，2分別是其對應的特徵向量 根據特徵值和特徵向量的定義有a 1 1 1，a 2 2 2 分別取轉置，以及兩邊右乘 2和 1，得 1 a 2 2 1 2，2 a 1 1 2 1 兩式相減並，得到 2 a 1 2 a 1 1 a 2 所以 1 2 1 2 ...