1樓：數學好玩啊
這個是定理。證明老長了。參看任何一本線代教材
2樓：匿名使用者
不用厄米特矩陣。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得（t的逆陣）at為對角矩陣。
證明：當n=1時結論顯然成立。現在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。
設シ是a的一個特徵值（n階矩陣一定有n個特徵值（計數重複的）），設α是a 的一個特徵向量（α是列向量）。（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。
顯然所有的單位向量有無數個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等於0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若ab=e則ba=e，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣q，（所謂正交矩陣就是（q的轉置）*q=q*(q的轉置)=e）。由（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα 得（q的轉置）a的第一行是（シα）的轉置，於是 （q的轉置）aq的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（q的轉置）aq的第一列除了第一行以外都是0（至於這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是q的元，tij*t+t..*t..
+t..*t..+t..
*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那麼這些加起來就是0）。因為q是正交矩陣，（（q的逆陣）aq）的轉置=（q的轉置）（a的轉置）（q的逆陣的轉置）=（q的逆陣）aq，所以（q的逆陣）aq也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最後可以反覆進行這個過程整成對角矩陣。
證畢然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價於滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以後秩不變，這就證明了你的實對稱矩陣一定可以相似對角化
線性代數，實對稱矩陣相似對角化問題
3樓：匿名使用者
1、給定對稱陣a，求正交陣u，使得u^tau＝u^(-1)au＝d是對角陣。
一般而言u都不是惟一的，特別是a有重特徵值時，答案更不是惟一的。
但這沒有關係，只要u的列向量是對應的特徵向量，那就沒有問題。
2、給定特徵值和特徵向量，求對稱陣a。這個問題一般而言也不是唯一的，
但特殊情況下是惟一的。像本題，屬於特徵值－1的特徵向量α3給定，屬於1
的特徵向量沒給，但答案還是惟一的。這是可以證明的，只不過證明比較繁瑣，
一般是不要求證明的，只要求求出對稱陣a就可以了。
1是二重特徵值，對應兩個線性無關的特徵向量，這兩個特徵向量都與屬於－1的
特徵向量正交，利用這個可以得到方程組
x2+x3＝0。注意到這個方程三個未知數，一個方程，因此有兩個線性無關的解，
這恰好是屬於1的兩個線性無關的特徵向量。這個方程的基礎解系不惟一，隨便取
一組α1，α2，然後令u＝[α1 α2 α3]，則u^(-1)au＝d＝diag(1 1 －1)。由此解出a
＝udu^(－1)即可。值得注意的是這時u不是正交陣。計算可能比較麻煩。為了計算
方便，可以將α1，α2正交化，然後連通α3單位化，這些步驟你做得應該比較熟了，
得到正交陣u，此時u^(－1)au＝u^tau＝d，因此a＝udu^t。你可以驗證一下，
兩種方法得到的a是一樣的。
實對稱矩陣一定可以對角化？ 15
4樓：匿名使用者
實對稱矩陣一定可以對角化，因為相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量，充分條件是a有n個不同的特徵值，而n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化。
5樓：閒庭信步
設a為實對稱矩陣，則必存在正交矩陣p,使得p'ap為對角型矩陣。
如果你是理工科學線性代數的學生，則可以不去深究定理的證明，現在一般的理工科都不要求掌握證明，只要會化實對稱矩陣為對角型就可以了。
如果你是數學系學習高等代數的學生，則證明這個定理的方法有很多，可以用用數學歸納法，還可以用若當標準形的理論，對稱變換的理論等證明該定理。但這都需要一些其他知識做準備。如歐氏空間的對稱變換或入-矩陣的若當標準型等，那就不是一兩句話能說得清的。
所以，一般的線性代數教材就只告訴你結論，會用就ok了。
線性代數：4、實對稱矩陣的對角化問題。
6樓：匿名使用者
解: |a-λe|
2-λ -1 1
-1 2-λ -1
1 -1 2-λ
c1-c3
1-λ -1 1
0 2-λ -1
λ-1 -1 2-λ
r3+r1
1-λ -1 1
0 2-λ -1
0 -2 3-λ
= (1-λ)[(2-λ)(3-λ)-2]= (1-λ)(λ^2-5λ+4)
= (1-λ)(λ-1)(λ-4)
所以 a 的特徵值為 1,1,4.
(a-e)x=0 的基礎解係為 a1=(1,1,0)^t,a2=(1,-1,-2)^t (正交)
(a-4e)x=0 的基礎解係為 a3=(1,-1,1)^t將a1,a2,a3單位化構成p=
1/√2 1/√6 1/√3
1/√2 -1/√6 -1/√3
0 -2/√6 1/√3
則p為正交矩陣,且 p^-1ap=diag(1,1,4).
線性代數中，實對稱矩陣對角化解題思路是怎樣的？
7樓：zzllrr小樂
一般是先求特徵值，然後分別代入特徵方程，解出基礎解系，得到特徵向量
然後拼成可逆矩陣p，即可得到p^(-1)ap=d=diag(特徵值)
線性代數矩陣題，線性代數 矩陣題
這是基本運算 矩陣乘法，仿書上例子做就是了 求這道線性代數矩陣題怎麼做？ 劉煜 首先根據，兩個矩陣相似，他們的行列式相等，跡也相等把x和y解出來。然後就是把特徵值求出來，把特徵方程以及特徵向量解出來，那個變換矩陣就是特徵向量的結合 大一 線性代數矩陣題，求詳細步驟？ 這個有詳細步驟？這個就看你對矩陣...
線性代數題目第10題求解答，線性代數矩陣題目求解，如下圖，7 8 9 10 11題，望大神解答。
zzllrr小樂 1 假設存在不全為0的係數ki，使得 k0 k1 1 k2 2 k n r n r 0 則a k0 k1 1 k2 2 k n r n r 0 零向量 即k0a k1a 1 k2a 2 k n ra n r 0 也即k0b 0 0 0 0 則k0b 0 因為b不為0，則k0 0 代...
線性代數 A為n階實對稱矩陣（A E）（A 2E）（A 3E）O證明 A為正定矩陣請詳細一些，謝謝了。）
實對稱矩陣a為正定矩陣的充分必要條件是a的所以特徵值全是正的。a e a 2e a 3e o所以a的特徵值滿足方程 1 2 3 0，解得 1,2,3.即a的所以特徵值全是正的，又a為實對稱矩陣故a正定。 由 a e a 2e a 3e 0得a 3 6a 2 11a 6e 0，a a 2 6a 11e...