1樓：
實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值（包括重數），並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於它的無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。
判斷方陣是否可相似對角化的條件：
(1)充要條件：an可相似對角化的充要條件是：an有n個線性無關的特徵向量；
(2)充要條件的另一種形式：an可相似對角化的充要條件是：an的k重特徵值滿足n-r(λe-a)=k；
(3)充分條件：如果an的n個特徵值兩兩不同，那麼an一定可以相似對角化；
(4)充分條件：如果an是實對稱矩陣，那麼an一定可以相似對角化。
擴充套件資料
結論：1、實對稱矩陣的秩等於非零特徵值的個數，這個結論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。
2、兩個實對稱矩陣，如果特徵值相同，一定相似，同樣地，對於一般矩陣，這個結論也是不成立的。
3、實對稱矩陣在二次型中的應用
使用正交變換把二次型化為標準型使用的方法本質上就是實對稱矩陣的正交相似對角化。
2樓：電燈劍客
實對稱陣一定是hermite陣
假定hermite陣a有特徵值λ，相應的單位特徵向量x，那麼取一個以x為第一列的酉陣q=[x,*]，可得
q^h * a * q =
λ 00 b
這樣b仍然是hermite陣，可以對b用歸納法做酉對角化
3樓：
有n個不同的特徵值或是實對稱矩陣
是相似對角化的充分條件
有n個線性無關的特徵向量是相似對角化的充要條件
4樓：
因為：性質1：實對稱矩陣的特徵值都是實數。
性質2：實對稱矩陣的相異特徵值所對應的特徵向量必定正交。
性質3：實對稱矩陣a的k重特徵值所對應的線性無關的特徵向量恰有k個。
由此推出：實對稱矩陣a一定與對角矩陣相似。
所謂實對稱矩陣的相似對角化：
定理1：實對稱矩陣a一定與對角矩陣相似。
定理2：實對稱矩陣a一定與對角矩陣正交相似。
用正交陣將實對稱矩陣a化為對角陣的步驟：
證明實對稱矩陣a與b相似：
為什麼實對稱矩陣一定可以對角化
5樓：各種怪
原因：實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值（包括重數），並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於它的無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。
判斷一個矩陣是否可對角化：
先求特徵值,如果沒有相重的特徵值,一定可對角化。
如果有相重的特徵值λk,其重數為k,那麼你通過解方程（λke-a）x=0得到的基礎解系中的解向量若也為k個,則a可對角化,若小於k,則a不可對角化。
6樓：匿名使用者
不需要！不需要！不需要！這個證明不需要《矩陣論》。不需要！不需要！不需要！
我看竟然還有答主把《矩陣論》搬出來了。
若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得（t的逆陣）at為對角矩陣。
證明需要正交矩陣的相關知識，我寫了出來。
證明：當n=1時結論顯然成立。現在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。
設シ是a的一個特徵值（n階矩陣一定有n個特徵值（計數重複的）），設α是a 的一個特徵向量（α是列向量）。（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。
顯然所有的單位向量有無數個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等於0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若ab=e則ba=e，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣q，（所謂正交矩陣就是（q的轉置）*q=q*(q的轉置)=e）。由（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα 得（q的轉置）a的第一行是（シα）的轉置，於是 （q的轉置）aq的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（q的轉置）aq的第一列除了第一行以外都是0（至於這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是t是元，tij*t+t..*t..
+t..*t..+t..
*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那麼這些加起來就是0）。因為q是正交矩陣，（（q的逆陣）aq）的轉置=（q的轉置）（a的轉置）（q的逆陣的轉置）=（q的逆陣）aq，所以（q的逆陣）aq也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最後可以反覆進行這個過程整成對角矩陣。
證畢然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價於滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以後秩不變，這就證明了你的
7樓：趙宗軒
相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量。充分條件是a有n個不同的特徵值，因為我們知道n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，也就是說方陣a能否相似對角化取決於重特徵值對應幾個線性無關的特徵向量，而實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化
8樓：電燈劍客
去看下面的連結
9樓：想著你
三言兩語說不清，看推導過程吧
為什麼對稱矩陣一定能相似對角化
10樓：河傳楊穎
實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值（包括重數），並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於它的無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。
判斷方陣是否可相似對角化的條件：
(1)充要條件：an可相似對角化的充要條件是：an有n個線性無關的特徵向量；
(2)充要條件的另一種形式：an可相似對角化的充要條件是：an的k重特徵值滿足n-r(λe-a)=k；
(3)充分條件：如果an的n個特徵值兩兩不同，那麼an一定可以相似對角化；
(4)充分條件：如果an是實對稱矩陣，那麼an一定可以相似對角化。
實對稱矩陣的主要性質：
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4、若λ0具有k重特徵值 必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0e-a)=n-k，其中e為單位矩陣。
11樓：匿名使用者
。不用厄米特矩陣，也不用二次型。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得（t的逆陣）at為對角矩陣。
證明：當n=1時結論顯然成立。現在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。
設シ是a的一個特徵值（n階矩陣一定有n個特徵值（計數重複的）），設α是a 的一個特徵向量（α是列向量）。（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。
顯然所有的單位向量有無數個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等於0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若ab=e則ba=e，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣q，（所謂正交矩陣就是（q的轉置）*q=q*(q的轉置)=e）。由（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα 得（q的轉置）a的第一行是（シα）的轉置，於是 （q的轉置）aq的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（q的轉置）aq的第一列除了第一行以外都是0（至於這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是q的元，tij*t+t..*t..
+t..*t..+t..
*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那麼這些加起來就是0）。因為q是正交矩陣，（（q的逆陣）aq）的轉置=（q的轉置）（a的轉置）（q的逆陣的轉置）=（q的逆陣）aq，所以（q的逆陣）aq也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最後可以反覆進行這個過程整成對角矩陣。
證畢然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價於滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以後秩不變，這就證明了你的實對稱矩陣一定可以相似對角化
12樓：fly勇敢的心
對角化是廣義的，只是把矩陣化為對角形的矩陣而已，對對角元的取值不作要求（不要求其全不為零）。從這個意義上講對稱矩陣一定能相似對角化這是沒錯的。
具體地怎麼實現相似對角化呢？實際上相似對角化就是找一個正交陣t
使得t'at=t^(-1)at=diag（每個λi有其幾何重數個）
做法如下：
找出a的全部值並求全布特徵值對應的特徵向量αi1,...,αisi（si為λi的幾何重數）
對每組αi1,...,αisi分別進行施密特正交化，而後將施密特正交化後的這r組向量按次序按列排成矩陣，記為t，t即為所求。
對角化這個概念是針對矩陣而言的，並且矩陣的對角化源自於線性變換的化簡，所以最好先知道線性變換和線性變換與矩陣的對應關係。
設一線性變換a，在基m下的矩陣為a，在基n下的矩陣為b，m到n的過渡矩陣為x，
那麼可以證明：b=x-1ax
那麼定義：a，b是2個矩陣。如果存在可逆矩陣x，滿足b=x-1ax ，那麼說a與b是相似的(是一種等價關係)。
如果存在可逆矩陣x使a與一個對角矩陣b相似，那麼說a可對角化。
相應的，如果線性變換a在基m下的矩陣為a，並且a相似於對角矩陣b，那麼令x為過渡矩陣即可求出基n，並且在n下線性變換a的矩陣為對角矩陣，從而達到了化簡。
13樓：
你說的對角化是廣義的，只是把矩陣化為對角形的矩陣而已，對對角元的取值不作要求（不要求其全不為零）。從這個意義上講對稱矩陣一定能相似對角化這是沒錯的。
具體地怎麼實現相似對角化呢？實際上相似對角化就是找一個正交陣t使得t'at=t^(-1)at=diag（每個λi有其幾何重數個）做法如下：
找出a的全部值並求全布特徵值對應的特徵向量αi1,...,αisi（si為λi的幾何重數）
對每組αi1,...,αisi分別進行施密特正交化，而後將施密特正交化後的這r組向量按次序按列排成矩陣，記為t，t即為所求。
為什麼實對稱矩陣一定可以對角化，實對稱矩陣一定可以對角化？
各種怪 原因 實對稱陣的特徵值都是實數，所以n階陣在實數域中就有n個特徵值 包括重數 並且實對稱陣的每個特徵值的重數和屬於它的無關的特徵向量的個數是一樣的，從而n階矩陣共有n個無關特徵向量，所以可對角化。判斷一個矩陣是否可對角化 先求特徵值,如果沒有相重的特徵值,一定可對角化。如果有相重的特徵值 k...
為什麼實對稱矩陣的特徵向量一定可以正交化
是你找到了我 設 1，2是兩個a的不同特徵值，1，2分別是其對應的特徵向量 根據特徵值和特徵向量的定義有a 1 1 1，a 2 2 2 分別取轉置，以及兩邊右乘 2和 1，得 1 a 2 2 1 2，2 a 1 1 2 1 兩式相減並，得到 2 a 1 2 a 1 1 a 2 所以 1 2 1 2 ...
證明題，請問為什麼是實對稱矩陣必可以相似對角化
zzllrr小樂 根據二次型理論，實對稱矩陣，必然與對角陣合同 對其特徵向量，進行施密特正交化，可以得到正交矩陣，使其對角化 不用厄米特矩陣，也不用二次型。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得 t的逆陣 at為對角矩陣。證明 當n ...