1樓：顏小二述哲文
這就是正交陣的基本定義，要求做正交變換的話就必須要做單位化。如果只要化為標準型的話，只要正交就行了，不必再單位化。至於為什麼正交變化為什麼要做單位化，這應該是它用作實際用途時所必須的。
矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。
2樓：
正交矩陣的向量相互正交，但是向量相互正交的矩陣並不是正交向量，只有滿足at=a-的矩陣才是正交矩陣。也就是ata=e。這個你可以驗證
3樓：朗道連續相變
化二次型為標準型有兩種方法，其一是正交變換法，其二是配方法。
正交變換法：f（x1,x2,,,,xn）＝x`ax 其中x`表示轉置
我們需要作一個可逆線性變換: x＝cy （c為可逆矩陣）這樣二次型變為 f＝y'(c'ac)y
我們希望(c'ac)為一個對角矩陣，那麼就可以把二次型化為標準型了。
前面我們知道對於一個普通方陣a，存在其特徵向量構成的可逆矩陣p，
使得p逆ap＝diag［a1,a2,,,,an］其中ai表示方陣a的特徵值。如此一來，我們只需要讓p逆＝p'，那麼就有p'ap為一個元素為a的特徵值的對角矩陣，便可劃為標準型了。
我們知道要想讓p逆＝p'，p只能是正交矩陣才能滿足條件，又因為正交矩陣的行(列)向量是單位向量且兩兩正交。所以求二次型時正交變換矩陣必須單位化。
4樓：匿名使用者
這就是正交陣的基本定義，要求你要做正交變換的話就必須要做單位化。如果只要化為標準型的話，只要正交就行了，不必再單位化。至於為什麼正交變化為什麼要做單位化，這應該是它用作實際用途時所必須的，所以課本才讓我們掌握，做題目的話看到正交變化記得單位就行了。
我也疑惑，在網上看看才弄明白。
求正交變換陣時，正交化不就夠了嗎，為什麼還要單位
5樓：怡力登
終於想copy起來原因了，樓主，你的bai
情況我也出現過。在樓主眼du
裡，n個n維正交zhi向量組組成的dao矩陣必為正交陣。其實不然，正交陣要求a乘以a的轉置後等於單位陣。加入a=（a1,a2,a3,a4)其中a1,a2,a3,a4為四位列向量，且兩兩正交。
則a與at相乘後對角線上的四個數字必為bjj=aj乘以aj轉=||aj||，j=(1，2，3，4）假如||aj||不等於1，那就不是單位陣了，就變成了對角陣。幾個易混淆和出錯的概念1.ab=e並不代表a，b可逆。
2.aat=e並不代表a是正交陣。
為什麼二次型化標準型一定要將基礎解系單位化呢？
6樓：假面
使用正交變換法做的話。單位正交化之前的矩陣p只滿足p∧-1ap＝∧(標準形)，而二次型化標準形是要找到滿足c∧tac＝∧的c。所以要求p的逆矩陣等於p的轉置，此時p為正交矩陣，所以將p進行單位正交化(正交矩陣要求每一列都是單位向量)，從而得到c。
使用配方法做的話。求出來的p就是滿足p∧tap＝∧的，所以不用單位化。
基礎解系不是唯一的，不同的基礎解系之間必定對應著某種線性關係。
7樓：匿名使用者
對於任一實係數n元二次型x'ax，要化為標準型，實際上就是要找一個可逆變換x=cy，將它化為y'by的形式，其中b為對角陣。則c'ac=b,b就是a的一個合同矩陣了。 如果你想要的是將a經合同變換化為b時的變換矩陣c，常用的方法有 種，即配方法、初等變換法和正交變換法。
（ ）配方法：如果二次型中含變數xi的平方項，則先將含xi的項集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項；如果二次型不含平方項，但某混合項係數aij不為 ，可先通過xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現平方項後，按前一方法配方。例，f=x ^ +x ^ + x ^ + x x + x x + x x =(x ^ + x x + x x )+x ^ + x ^ + x x =(x + x +x )^ - x ^ + x ^ - x x =……=（x + x +x )^ - (x + / *x )^ + / *x ^ ;作變換y =x + x +x ,y =x + / *x ,y =x ,就得標準型f=y ^ - y ^ + / *y ^ .
將上述變換求出逆變換x =y - y - / *y ,x =y - / *y ,x =y ,寫成矩陣形式x=cy形式，其中c=（ ，- ，- / ； ， ，- / ； ， ， ）（分號表示矩陣行結束）就是合同變換中的變換矩陣。例，f= x x - x x ,無平方項，則先作變換x =y +y ,x =y -y ,y =x ,代入f中f= y ^ - y ^ - y y - y y = (y - / *y )^ - (y + / *y )^ ;再作變換z =y - / *y ,z =y + / *y ,z =y 用逆變換y =z + / *z ,y =z - / *z ,y =z ,就能把f化成f= z ^ - z ^ 這種標準二次型。最後將再次用的變換寫成矩陣形式，x=c *y,y=c *z的形式，x=c *c *z,則c=c *c 就是所求（具體計算略）。
（ ）初等變換法：將二次型的矩陣a與同階單位陣i合併成n_ n的矩陣（a|i），在這個矩陣中作初等行變換並對子塊a再作同樣的初等列變換，當將a化為對角陣時，子塊i將會變為c』。（ ）正交變換法：
先寫出二次型f的tdbl，它是實對稱矩陣，求出全部特徵值λi（i= ， ，……，n）；再對每一特徵值寫出它所對應的單位特徵向量（特徵值相同的不同特徵向量注意正交化）；把上述單位正交特徵向量作為矩陣的列構造正交矩陣t，那麼正交變換x=ty將會把二次型x'ax化為標準形f=λ *y ^ +λ *y ^ +……+λn*yn^
8樓：琅琊邢氏
你說的基礎解系是特徵向量。
我們以二次型矩陣a的特徵矩陣為基礎，利用正交化法進行變換，思路是正交矩陣（aat=e)的轉置等於逆，利用正交矩陣使a對角化(以特徵值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣a是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特徵值λ互異，那麼對應特徵向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣a相同特徵值對應的特徵向量，取基礎解系構成矩陣，需要施密特正交變換(正交化)，然後單位化(勿忘！)。
變換的結果是特徵值λ為係數的標準型。
9樓：串串的軟軟
二次型化標準型，標準型為對角矩陣。
根據矩陣對角化的轉換方法，存在正交矩陣t
有t^-1at=b，b為diag
對於二次型又利用非退化的線性變換，得到c=ttat,假定c是a經過變換而來的,
所以利用非退化得到含有這麼兩個式子的變形。
其中正交矩陣的逆是轉置，所以利用正交矩陣可變形一般矩陣為diag。
而正交矩陣內部向量正交，且模為1.
所以要採用施密特正交處理，並歸一。
核心是利用正交矩陣完成非退化變換，同時轉化為diag。
10樓：匿名使用者
因為是要化標準型，根據定義，需要單位化。
11樓：匿名使用者
eral surgery dep
求助 什麼情況需要單位化什麼時候正交化
12樓：匿名使用者
一般題目給出實對稱矩陣的話，又是讓你對角化，那肯定正交了。一般的矩
回陣進行對角化只需要一個可答逆矩陣而已。如果題目給出了實對稱矩陣，又給出了原矩陣和特徵向量，特徵值的聯絡，那明顯的也不需要正交化，直接反推回去就好了（這個地方要注意）
13樓：匿名使用者
說的差不多了bai.老李的《最後衝刺du超越135分》中，關zhi於二次
型的一章中有總結dao:1.要求版p為正交陣的情況
權,限於二次型,即實對稱矩陣,需要正交化.化為標準型必單位化 普通矩陣對角化所求的p是可逆矩陣即可,不要正交化.是否要單位化需要看題目要求2.
考試中,一般都會有提示的,是否要正交矩陣,還是一般的可逆矩陣
14樓：雪花崛起
當特徵值為重根時，求出的基礎解系中的特徵向量對應位置相乘 然後累加為0 則不需要施密特正交化，否則需要施密特正交化
15樓：匿名使用者
謝謝大傢俱體說 有時要先正交化再單位化 有時直接單位化 怎樣區分
16樓：l極
首先明確，不抄同特徵值對應的特徵向量必正交。然後，以三階為例，重根λ1=λ2，λ3=c，
這時λ1、λ2重根，考慮是否需要施密特正交，如果λ1、λ2對應的特徵向量乘一下，內積為0就不需要施密特了，如果內積不為0則要先將λ1、λ2對應的特徵向量正交化一下，最後三個特徵向量一起單位化。
小結：特徵值有重根需要在單位化之前考慮一下重根特徵值對應的特徵向量是否需要施密特正交化
回到題主所問，這類問題一般出現在讓你求正交矩陣p，使 ptap=∧ 或者 p逆ap=∧ (pt：t是上標，pt即p的轉置矩陣，∧：對角矩陣，p逆：p的逆矩陣)
這時的正交矩陣就需要單位化
從考研角度答的，如有誤，請指正!
17樓：匿名使用者
一般是題目會要求你求正交矩陣，將二次型轉化成標準型
18樓：琅琊邢氏
若以二bai
次型矩陣a的特du徵矩陣為基礎，利用正
zhi交化法進行標準型變換，思dao路是正交矩版陣（aat=e)的轉置權等於逆，利用正交矩陣使a對角化(以特徵值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣a是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特徵值λ互異，那麼對應特徵向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣a相同特徵值對應的特徵向量，取基礎解系，與其它互異特徵值對應的特徵向量一起構成矩陣，只需對基礎解系施密特正交變換(正交化)，然後對矩陣單位化(勿忘！)。
變換的結果是特徵值λ為係數的標準型。
給我點踩的是什麼鬼？你可以不按我說的去做！
二次型的正交變換化標準型和合同變換化標準型有什麼不同？都是隻有平方項了，幾何意義上不都是換座標軸成
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