1樓：匿名使用者
推導公式：(a+b+c)/(sina+sinb+sinc)=2r(其中，r為外接圓半徑)
由正弦定理有
a/sina=b/sinb=c/sinc=2r
所以a=2r*sina
b=2r*sinb
c=2r*sinc
加起來a+b+c=2r*(sina+sinb+sinc)帶入
(a+b+c)/(sina+sinb+sinc)=2r*(sina+sinb+sinc)/(sina+sinb+sinc)=2r
兩角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)
cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)
倍角公式
sin2a=2sina?cosa平方關係：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的關係：
tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα
·倒數關係：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
萬能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
常用的誘導公式有以下幾組：
公式一：
設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
設α為任意角，π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α與-α的三角函式值之間的關係：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈z)
一般的最常用公式有:
sin(a+b)=sina*cosb+sinb*cosa
sin(a-b)=sina*cosb-sinb*cosa
cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb
cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)
平方關係：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·積的關係：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒數關係：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形abc中,
角a的正弦值就等於角a的對邊比斜邊,
餘弦等於角a的鄰邊比斜邊
正切等於對邊比鄰邊,
三角函式恆等變形公式
·兩角和與差的三角函式：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·輔助角公式：
asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=b/(a^2+b^2)^(1/2)
cost=a/(a^2+b^2)^(1/2)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半形公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降冪公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·萬能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0
部分高等內容
·高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒有無窮級數，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。
·三角函式作為微分方程的解：
對於微分方程組y=-y'';y=y''''，有通解q,可證明
q=asinx+bcosx，因此也可以從此出發定義三角函式。
補充：由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式——雙曲函式，其擁有很多與三角函式的類似的性質，二者相映成趣。
特殊三角函式值
a0`30`45`60`90`
sina01/2√2/2√3/21
cosa1√3/2√2/21/20
tana0√3/31√3none
cotanone√31√3/30
三角函式的計算
冪級數c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函式,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數,這種級數稱為冪級數.
泰勒式(冪級數法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
實用冪級數：
ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)
sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞ cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞ arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1) arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1) arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1) sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞ coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞ arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1) arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1) 傅立葉級數(三角級數) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dx an=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx 注意：正切也可以表示為「tg」如：tana=tga sin2a=2sinacosa cos2a=cosa^2-sina^2 =1-2sina^2 =2cosa^2-1 tan2a=2tana/1-tana^2 眾所周知,在數學和物理中,三角函式是一個重要的工具,以下是一些推導公式,希望對大家有作用平方關係： sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2 tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2 cot^2(α)+1=csc^2(α) ·積的關係： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒數關係： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形abc中, 角a的正弦值就等於角a的對邊比斜邊, 餘弦等於角a的鄰邊比斜邊 正切等於對邊比鄰邊, ·三角函式恆等變形公式 ·兩角和與差的三角函式： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函式： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·輔助角公式： asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=b/(a^2+b^2)^(1/2) cost=a/(a^2+b^2)^(1/2) tant=b/a asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=a/b ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半形公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降冪公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·萬能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·積化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化積公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·推導公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0 cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx 證明： 左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （積化和差） =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊 等式得證 sinx+sin2x+... +sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx 證明: 左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx) =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+... +cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊 等式得證 編輯本段三角函式的角度換算 公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 設α為任意角，π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α與 -α的三角函式值之間的關係： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 1 銳角三角函式定義 銳角角a的正弦 sin 餘弦 cos 和正切 tan 餘切 cot 以及正割 sec 餘割csc 都叫做角a的銳角三角函式。正弦 sin 等於對邊比斜邊 餘弦 cos 等於鄰邊比斜邊 正切 tan 等於對邊比鄰邊 餘切 cot 等於鄰邊比對邊 正割 sec 等於斜邊比鄰邊 餘割... 平方關係 sin 2 cos 2 1 cos 2a cos 2 a sin 2 a 1 2sin 2 a 2cos 2 a 1 sin 2a 2sin a cos a tan 2 1 1 cos 2 2sin 2 a 1 cos 2a cot 2 1 1 sin 2 a 積的關係 sin tan c... 以反正弦三角函式計算公式為例 arcsinx arcsiny arcsin x 1 y2 y 1 x2 xy 0或x2 y2 1，arcsinx arcsiny arcsin x 1 y2 y 1 x2 x 0且y 0且x2 y2 1arcsinx arcsiny arcsin x 1 y2 y 1...三角函式公式，三角函式公式大全
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