1樓：匿名使用者
一）完全平方數的性質
一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質：
性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。
性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。
證明 奇數必為下列五種形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分別平方後，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。
性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。
證明 已知=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k為奇數。
推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
性質4：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。
這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。
在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。
性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方後，分別得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。
性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：
1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：
一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為，則
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質：
性質9：完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。
證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：
性質10：為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。
證明 充分性：設b為平方數，則
==(ac)
必要性：若為完全平方數，=，則
性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。
證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若
n^2 < k^2 < (n+1)^2
則k一定不是完全平方數。
性質13：一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。
(二)重要結論
1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數；
2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；
5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；
6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；
8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。
希望對你有幫助，祝你生活愉快！
2樓：達人無名
一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數
例如 0,1,4,9,16,25,36
3樓：匿名使用者
完全平方即用一個整數乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此類推
一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
4樓：
可以分解成兩個相同的整數的乘積的數為完全平方數如1=1*1=1^2
4=2*2=2^2
9=3*3=3^2……
什麼是完全平方數？
5樓：泣恨彤幻珊
完全平方數是指：一個自然數與其本身相乘的積，稱為這個數的完全平方數。舉例：25、49、100、169等等都是完全平方數。
6樓：易書科技
完全平方數是這樣一種數：它可以寫成一個正整數的平方。例如，36是6×6，49是7×7。
你知道嗎？
從1開始的n個奇數的和是一個完全平方數，n2——即：
1+3+5+7+……+（2n-1）=n2。
例如1+3+5+7+9=25=52。
每一個完全平方數的末位數是：
0，1，4，5，6，或9。
每一個完全平方數要末能被3整除，要末減去1能被3整除。
每一個完全平方數要末能被4整除，要末減去1能被4整除。
每一個完全平方數要末能被5整除，要末加上1或減去1能被5整除。
完全平方數是什麼
7樓：元氣小小肉丸
如果一個整數是另外一個整數的平方，那麼該數被稱為完全平方數。
本質：分解質因數後，每種質因數都是偶數個。
性質：偶指奇因
1、完全平方數的分解質因數中，每種質因數的指數都是偶數，反之成立。
2、完全平方數的因數個數有奇數個，反之成立。
3、因數個數為3的一定是質數的平方。
擴充套件資料重要結論：
（1）個位數是2、3、7、8的整數一定不是完全平方數；
（2）個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
（3）個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
（4）形如3n＋2型的整數一定不是完全平方數；
（5）形如4n＋2和4n＋3型的整數一定不是完全平方數；
（6）形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
（7）形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7型的整數一定不是完全平方數；
（8）數字和是2、3、5、6、8的整數一定不是完全平方數；
（9）四平方和定理：每個正整數均可表示為4個整數的平方和；
（10）完全平方數的因數個數一定是奇數。
8樓：滿來福查綾
果一個正整數
a是某一個整數
b的平方，那麼這個正整數
a叫做完全平方數。零也可稱為完全平方數。其性質如下：
（1）平方數的個位數字只能是
0，1，4，5，6，9
。（2）任何偶數的平方一定能被
4整除；任何奇數的平方被
4(或8)除餘
1，即被4除餘2
或3的數一定不是完全平方數。
（3）完全平方數的個位數字是奇數時，其十位上的數字必為偶數。完全平方數的個位數字是
6時，其十位數字必為奇數。
（4）凡個位數字是
5但末兩位數字不是
25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個
0的自然數不是完全平方數；個位數字是
1，4，9
而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
（5）除
1外，一個完全平方數分解質因數後，各個質因數的指數都是偶數，如果一個數質分解後，
各個指數都為偶數，
那麼它肯定是個平方數。
完全平方數的所有因數的總個數是奇數個。因數個數為奇數的自然數一定是完全平方數。
（6）若質數
p整除完全平方數
a，則|a。
（7）如果a、b
是平方數，
a=bc
，那麼c
也是完全平方數。
（8）兩個連續自然數的乘積一定不是平方數，兩個連續自然數的平方數之間不再有平方數。
（9）如果十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之也成立。
推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
（10）偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。
（11）奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。（奇數：n比那個所乘的數-1；偶數：n比那個所乘的數-2）
（12）形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
（13）不是5的因數或倍數的數的平方為5k+-1型，是5的因數或倍數的數為5k型。
（14）形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
（15）性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。
（16）在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數。
（17）一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數（包括1和n本身）。
完全平方數舉例說明，完全平方公式怎樣配方求舉例詳細說明
一 完全平方數的性質 一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的...
試說明連續自然數的平方和不是完全平方數
10n 2 110n 385 25 10 n 2 11n 36 n 2 n 6 n n 1 6 r 0 mod10 推知 10n 2 110n 385的末兩位數字不是25，不可能是一個完全平方數。 假設有這10個數 a 4d,a 3d,a 2d,a d,a,a d,a 2d,a 3d,a 4d,a ...
16 8是哪個數的平方，什麼數的平方是
正負 根號8的平方是8 或者 2 2的平方是8 34234是哪個數的平方 26240是哪個數的平方 26240 64 410 顯然不是完全平方數。其平方根為 正負8 根號410 使用計算器得到。根號26240約等於。即正負的平方為26240 長是16.8米，這塊地的面積是多少平方米 一塊平行四邊形的...