1樓：
這個是riemann可積性的重要的例子，用定義來證明兩函式的可積性。
riemann積分的定義，就是對區間任意分劃，當分劃無限加細時，riemann（有限）和式收斂。
對dirichlet函式（你舉的後一函式），容易看出，當分劃點都取有理數時，riemann和為1，而分劃點都取無理數時，riemann和為0，再注意到有理數和無理數的稠密性，知riemann和不可能收斂（有子列收斂於不同的數）。從而dirichlet函式是riemann不可積的。
但對riemann函式（前一個函式），像一般教科書上講的，riemann和收斂於0。事實上直觀地看，取一定大小的分母，riemann和式中，只有與分母大小相關那麼多項函式值比較大，但這部分分劃的小區間寬度很小；而大部分項則函式值很小，分劃小區間長總和則不超過大區間長1：從而總的riemann和可以控制得任意小。
因而可以證明riemann函式在[0, 1]區間上的定積分存在，值為0。
兩個函式看似相似，但有本質的區別，就是連續性不同。
一般教材中講連續性的部分往往也會舉這兩個函式的例子。事實上容易看出，dirichlet函式點點不連續；而又不難證明，riemann函式在所有的無理數點都是連續的（把無理數直觀地看成分母為「無窮大」的分數可能有助於理解）。
也就是說，dirichlet函式連續性十分地差，不連續的函式直觀上也不可積的；另一方面，riemann函式的連續性有了很大的改觀，它只有可數無窮個點是不連續的（有理點）。我們知道實數軸上的無理數是不可數的，比有理數點多得多，因而riemann函式「幾乎」就是連續的。
事實上，在實變函式的理論中，可以證明更一般的結論：有界函式在區間上riemann可積（定積分存在）的充分必要條件就是函式在區間上「幾乎處處」連續，即不連續點集是零測集（[0, 1]上的有理數就是零測集）。我們看出正是連續性的差異使兩個函式的可積性有巨大的差異。
關於上面兩個函式可積性證明的細節，還是請你仔細閱讀教材，我只能在此粗略地給出一個直觀的證明思路。大部分數學分析的教材都有這兩個函式的例子，如果還不明晰，多找幾本數學分析的教材做參考是有好處的。
2樓：折翼海賊
我也不懂,連結這裡,有大俠
數學分析 函式可積 以及連續性問題 第五題
3樓：
證明：第一步：g(x)在r上存在連續導數，所以g(x）在r上是連續的，
g(x)在r上連續，可以推出g(x)在r上的任一個閉區間都是可積的。
第二步：f(x)在[a,b]可積，可以推出f(x)在[a,b]上是有界的，設f(x)在[a,b]上的最大值為m,最小值為n.
則當x∈[a,b]時，f(x)∈[n,m].
第三步：令t=f(x),則g(f(x))=g(t),則當x∈[a,b]時，t∈[n,m]。
根據第一步得到的結論，可知g(t)在[n,m]是可積分的，即g(f(x))在[a,b]上可積分。
什麼叫函式可積函式可積的定義是什麼
4樓：娛樂小八卦啊
函式可積的充要條件：
若函式 ff 在 [a, b] 上可積，則 ff 在 [a, b] 上必有界； 反證法，逆否命題，無界 ⇒ 不可積；可積函式一定有界，有界函式不一定可積（比如狄利克雷函式，全取有理數，全取無理數，趨於不同的值，1和0）； 有界是可積的必要條件。
要判斷一個函式是否可積，固然可以根據定義，直接考察積分和是否能無限接近某一常數，但由於積分和的複雜性和那個常數不易預知，因此這是極其困難的。
擴充套件資料
勒貝格積分是現代數學中的一個積分概念，它將積分運算擴充套件到任何測度空間中。在最簡單的情況下，對一個非負值的函式的積分可以看作是求其函式影象與軸之間的面積。勒貝格積分則將積分運算擴充套件到其它函式，並且也擴充套件了可以進行積分運算的函式的範圍。
最早對積分運算的定義是對於非負值和足夠光滑的函式來說，其積分相當於使用求極限的手段來計算一個多邊形的面積。
但是隨著對更加不規則的函式的積分運算的需要不斷產生（比如為了討論數學分析中的極限過程，或者出於概率論的需求），很快就產生了對更加廣義的求極限手段的要求來定義相應的積分運算。
5樓：匿名使用者
函式可積 取決於積分的定義 ：黎曼可積函式，勒貝格可積函式，
常見的是黎曼可積
黎曼可積 指的是對於區間【a，b】，做一分化，如果分割後，對於任意的小區間【xi，xi+1】上任取一點f（mi），如果f（mi）*小區間長度的求和 的對於 小區間摸長趨於0時 極限存在，則稱f於【a，b】上黎曼可積
數學問題 函式可以被積分的條件是什麼？
6樓：
如果f(x)在[a,b]上的定積分存在，我們就說f(x)在[a,b]上可積。即f(x)是[a,b]上的可積函式。
函式可積的充分條件：
定理1設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。
定理2設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。
定理3設f(x)在區間[a,b]上單調有界,則f(x)在[a,b]上可積。
可積函式的函式可積的充分條件
7樓：假面
1、函式有界；
2、在該區間上連續；
3、有有限個間斷點。
函式可以定義在點集上，更重要的是它提供了比黎曼積分更廣泛有效的收斂定理，因此，勒貝格積分的應用領域更加廣泛。
8樓：血刺f丶
定理1設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。
定理2設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。
定理3設f(x)在區間[a,b]上單調有界,則f(x)在[a,b]上可積。
函式可積的充要條件
斷點是零測度集
9樓：紫濤雲帆
在理解函式可積的充分條件之前，請先理解一下函式可積的定義，也就是說什麼叫 「可積函式」：
請看：可積函式定義：
如果f(x)在[a,b]上的定積分存在，我們就說f(x)在[a,b]上可積。即f(x)是[a,b]上的可積函式。
可見，函式可積是建立在定積分的基礎上的，而本題是問原函式，
請再看：原函式定義：
已知函式f(x)是一個定義在某區間的函式，如果存在可導函式f(x)，使得在該區間內的任一點都有
df(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函式f(x)為函式f(x)的原函式。
所以，求原函式實際上是求不定積分的過程，它與可積函式完全是不同的概念，請勿混淆！
建議：認真理解定積分和不定積分的區別，高等數學教科書上有詳細的解釋。
10樓：佛羅倫薩的晨曦
為啥連續了還能有有限個間斷點
數學分析一道證明函式是否可積的問題 50
11樓：windy小西瓜
|x 極限可能相等，1/n>1/(n+1) v 當x>n時函式小於某數（極限存在）在[a,n]連續
，有回界 x 如|xsin（1/x）|(定義x=0時為0）在x=0取得最小值答，在x=0的鄰域內** x 如定義當x為有理數時函式取1，當x為無理數時函式取-1。
請問函式可積與原函式存在的關係
12樓：假面
可積和原函式存在完全兩個概念。可積但原函式不一定存在，原函式存在不一定可積，二者沒有必然關係。
可積的充分條件：函式連續或函式在區間上有界且有有限個間斷點。或函式在區間單調。
原函式存在的充分條件：連續。另外函式含有第一類間斷點，那麼不存在原函式，含無窮型的間斷點也不存在原函式。
問題一：否，若f(x)存在原函式f(x),那麼f'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳躍間斷點，必然，f(c 0)≠f(c-0),這就導致f'(c 0)≠f'(c-0)，故f'(c)不存在，與f'(c)=f(c)矛盾。可去間斷點f'(c 0)=f'(c-0)，但是顯然他們都不等於f'(c)[例如f'(c 0)=f(c 0)≠f(c)],事實上，函式存在第一類間斷點，必然沒有原函式。
問題二：是。有限個間斷點不影響可積性，若存在原函式f『(x)=f(x),根據函式的性質，可導函式必連續，可知f(x)連續。
擴充套件資料：
原函式存在定理為:若f(x)在[a,b]上連續,則必存在原函式。此條件為充分條件，而非必要條件。即若fx）存在原函式，不能推出f(x)在[a,b]上連續。
由於初等函式在有定義的區間上都是連續的，故初等在其定義區間上都有原函式。需要注意的是初等函式的導數是一定是初等函式，初等函式的原函式不一定是初等函式。
設f'（x）=f(x)，f（x）在x=x0處不連續，則x0必為第二類間斷點（對於考研數學，只能是第二類振盪間斷點），而非第一類間斷點或第二類無窮間斷點。
當f(x)存在第二類振盪間斷點時，不能確定是否存在原函式，這種情況下結論與f(x)的表示式有關。
原函式存在的三個結論：
如果f(x)連續，則一定存在原函式；
如果f(x)不連續，有第一類可去、跳躍間斷點或第二類無窮間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，一定不存在原函式；
如果f(x)不連續，有第二類振盪間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，原函式可能存在，也可能不存在。
函式乘積的可積性：
函式絕對值的可積性：
13樓：匿名使用者
問題一：否，若f(x)存在原函式f(x),那麼f'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳躍間斷點，必然，f(c 0)≠f(c-0),這就導致f'(c 0)≠f'(c-0)，故f'(c)不存在，與f'(c)=f(c)矛盾。可去間斷點f'(c 0)=f'(c-0)，但是顯然他們都不等於f'(c)[例如f'(c 0)=f(c 0)≠f(c)],事實上，函式存在第一類間斷點，必然沒有原函式。
問題二：是。有限個間斷點不影響可積性，若存在原函式f『(x)=f(x),根據函式的性質，可導函式必連續，可知f(x)連續。
14樓：匿名使用者
先好好看書，原函式的定義和可積的定義，說簡單的就是由於定義的原因兩者無法互相推導。可積強調的是積分，原函式強調的是微分。 而且可積出來的是一個值，某函式的原函式還是一個函式。
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