1樓：loverena醬
有理數點是不連續點，並且是第一類間斷點。
先給個命題：對任意的x 0 ∈ [ 0, 1 ], 成立lim（x →x 0）r (x ) =0 (當x = 0, 1 時, 考慮單側極限)。
【證】對於任意的ε > 0, 不妨設ε < 1/2, 因為使r (q/p) = 1/p > ε的p 至多有有限個,
即p 只能取2 ≤ p ≤ [ 1/ε] 的正整數,
因此, 使r (x ) >ε的區間[ 0, 1 ] 中的有理數x只有有限個, 不妨設它們分別為x 1, x 2, ⋯, x n
因為x 0 ∈ [ 0, 1 ], 它們也屬於區間[ 0, 1 ], 故必有某一個, 譬如說x j 距x 0 距離最近,
記δ= |x j -x 0|則對 x ∈u(x 0, δ) , 便有
|r (x ) - 0| = |r (x ) | = r (x ) < ε
故由極限定義知lim（x →x 0）r (x ) = 0。
——所以說，對於任意有理數x0來說，r(x)當x趨向x0時的極限總是等於0
也即有理數點是第一類間斷點。
2樓：匿名使用者
在所有有理點不連續，所有無理數點連續。
1、在所有點極限是0
2、在有理點值不是0
=>在有理點不連續。
1、在所有點極限是0
2、在無理數點值是0
=>在無理數點連續。
不連續型別：左極限=右極限！=該點函式值。
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