1樓：
不知道你還需要這個答案不，不過我寫上來8
因為兩道題都是f(x)在[0,1]連續，在(0,1)可導，我中間就不提了
28. φ(x)=f(x)-x/2, f(0)=0, f(1)=1/2
=> φ(0)=f(0)=0, φ(1)=f(1)-1/2=0, φ′(x)=f′(x)-1/2,
φ(1/2)-φ(0)=f(1/2)-1/4-f(0)=f(1/2)-1/4
根據拉格朗日中值定理，=>存在ξ∈(0,1/2)
φ(1/2)-φ(0)=φ′(ξ)(1/2-0)=1/2φ′(ξ)=1/2f′(ξ)-1/4
φ(1)-φ(1/2)=f(1)-1/2-f(1/2)+1/4=1/4-f(1/2)
根據拉格朗日中值定理，=>存在η∈(1/2,1)
φ(1)-φ(1/2)=φ′(η)(1-1/2)=1/2φ′(η)=1/2f′(η)-1/4
=>φ(1/2)-φ(0)+(φ(1)-φ(1/2))=f(1/2)-1/4+1/4-f(1/2)=0=1/2f′(ξ)-1/4+1/2f′(η)-1/4
=>f′(ξ)+f′(η)=1
29. 1) φ(x)=f(x)+x-1, f(0)=0, f(1)=1
=> φ(0)=f(0)-1=-1, φ(1)=f(1)+1-1=1, φ′(x)=f′(x)+1
根據介值定理 φ(0)φ(1)=-1＜0
=> 存在ξ∈(0,1)，使得φ(ξ)=0=f(ξ)+ξ-1
=>f(ξ)=1-ξ
2) 根據1) f(ξ)-f(0)=1-ξ-0=1-ξ, f(1)-f(ξ)=1-1+ξ=ξ
根據拉格朗日中值定理，=>存在η1∈(0,ξ)，η2∈(ξ,1)
f(ξ)-f(0)=f′(η1) (ξ-0)=f′(η1)ξ => f′(η1)=(1-ξ)/ξ
f(1)-f(ξ)=f′(η2) (1-ξ) => f′(η2)=ξ/(1-ξ)
=>f′(η1)f′(η2)=1
2樓：
這裡用構造性方法很多，不容易想。
數學分析的題目，數學分析題目
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1.設x t u,代入得 0，x tf x t dt x,0 x u f u du 0,x x u f u du x 0,x f u du 0,x uf u du 代入並求導得 3x 2 xf x 0,x f u du xf x 所以 0,x f u du 3x 2 0,1 f 2x 3 dx 1 ...