1樓：匿名使用者
令f(x)=f '(x)-2x[f(x)-f(0)]
f(0)=f '(0)
f(1/2)=f(0)-f(1/2)
不妨設f '(0)>0，即f(0)>0
若f 『(0)在(0,1/2)上不變號，則f(1/2)>f(0)
因此f(0)>0>f(1/2)
則根據介值定理，存在ε∈(0,1/2)，使f(ε)=0，於是f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
若f '(0)在(0,1/2)變號，則存在至少一點ci∈(0,1/2)，使f '(ci)=0
令c1是所有ci中最小的，也就是從0開始，f '(c1)第一次等於0
那麼f(c1)=f '(c1)-2c1[f(c1)-f(0)]= -2c1[f(c1)-f(0)]
因為f '(c1)是從0開始第一個導函式為0的點，因此在(0,c1)上f '(x)恆大於0，也就是說f(c1)>f(0)
因此f(c1)<0f '(d)-2d*[d*f '(d)]=f '(d)(1-2d^2)>0
此時可與f(0)>0類似，證得存在ε∈（0，1/2）使f′(ε)=2ε[f(ε)—f(0)]
於是本題得證
2樓：
設存在一函式g(x)，f(x)=[f(x)-f(0)][g(1/2)-g(x)]
根據柯西中值定理，由f(1/2)=f(0)=0，得到[f(ε)-f(0)]/[g(1/2)-g(0)]=f'(ε)/g'(ε)
對比要證明的式子建構函式g（x）
因為只要g(x)即可，所以可以化簡方程
令g'(x)=-2xg(x),g(0)=0解出g(x)=e^(-x^2)+e^(-1/4),得證…順便說一下，由於題目中有個f′（1/2）=0的條件沒用到，我覺得這個條件是簡單解法的關鍵，考慮把這項新增到左邊後建構函式，但是沒做出來。抱歉，微積分不是很熟了……
微積分的一道題。（和中值定理有關）
3樓：匿名使用者
函式f(x)=0的四個實根是-1、2、3、5。因此f'(x)=0的實根為三個(f(x)是三次函式)，利用區間內的單調性,可知分別在以下三個區間（-1，2）、（2，3）、（3，5）內。
4樓：匿名使用者
有3個實根，分別在區間（-1，2），（2，3），（3，5）
微積分用中值定理的證明題
5樓：再看見他
反證法不是這麼用的，你得假設不存在，然後根據結論推匯出一個結果，而這個結果與條件矛盾，所以假設錯誤
求解一道AP微積分題
解 正午 12點 時，a船位於b船的正東40海里處。a船以25節的速度向正東方航行，船b以20節的速度向正北航行，求在下午4點時兩船之間的距離變化率 即速度 設a船的行程為 s1 40 25t,b船的行程為 s2 20t.兩船的合成距離s 40 25t 2 20t 2 ds dt 1 2 2 40 ...
一道積分題，求解答，一道積分題，求解
注意到對cosx 2sinx求導有 sinx 2cosx若能將原式化為a sinx 2cosx c cosx 2sinx b cosx 2sinx c cosx 2sinx a sinx 2cosx c cosx 2sinx b c的形式就可以積分了。a sinx 2cosx c cosx 2sin...
一道微積分題目，一道簡單的微積分題目
老黃知識共享 把題抄全好嗎？你肯定漏重要條件了，這題羅爾中值定理根本無法解，而用羅爾定理後面的格拉朗日定理卻可以證明你這題是一道錯題。其實這題是有兩個格拉朗日中值定理的，左右同除以 b a 左邊可以得到 f b f a b a 這是f x 的中值定理，右邊可以得到 b 2 a 2 b a 這是x 2...