1樓：匿名使用者
以下直接記向量oa為oa。其它向量也如此。
設出橢圓標準方程（x/a)^2+(y/b)^2=1。顯然直線l：y=x-c。
與橢圓聯立，得(x/a)^2+((x-c)/b)^2=1，兩根為x1，x2.所以a（x1，x1-c），b（x2，x2-c），oa+ob=（x1+x2，x1+x2-2c)。因為它和n=（1，3）垂直，所以1*（x1+x2)+3*(x1+x2-2c)=0，所以2*（x1+x2）=3c。
由根與係數的關係，x1+x2=2a^2*c/a^2+b^2，所以4c*a^2=3(a^2+b^2)c。所以a^2=3b^2，e=（根號6）/3。
所以om=（（m+n)x1+(m-n)x2，(m+n)(x1-c)+(m-n)(x2-c))=m(x1+x2)+n(x1-x2)，m(x1+x2)+n(x1-x2)-2mc)。因為m在橢圓上，所以b^2*(m(x1+x2)+n(x1-x2))^2+a^2*(m(x1+x2)+n(x1-x2)-2mc)^2=(ab)^2。開啟，整理，利用跟與係數的關係，得：
m^2(4a^2*c^2-4c^3)+n^2*8a^4=b^2(a^2+b^2),橢圓。
2樓：匿名使用者
設橢圓方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1,焦距為2c
a^2=b^2+c^2
則直線方程為y=x-c
代入橢圓方程得。
（a^2+b^2)x^2-2a^2*cx+a^2c^2-a^2b^2=0
設a座標（x1，y1），b座標（x2，y2）
則om=（x1+x2,y1+y2）
om垂直於n
則x1+x2+3（y1+y2）=0
y1=x1-c，y2=x2-c
代入得4（x1+x2)-6c=0
因為x1，x2是方程（a^2+b^2)x^2-2a^2*cx+a^2c^2-a^2b^2=0的兩根。
所以由韋達定理。
4（2a^2*c)/(a^2+b^2)-6c=0
整理得 a^2=3b^2
又b^2=a^2-c^2
所以 e=根號（c^2/a^2)=三分之根號六。
令j=m+n，k=m-n
om=j oa+ k ob
得點m座標為。
(j*x1+k*x2，j*y1+k*y2)
因為m在橢圓上。
所以：(j*x1+k*x2)^2/a^2+(j*y1+k*y2)/b^2=1
j^2*(x1^2/a^2+y1^2/b^2)+k^2*(x2^2/a^2+y2^2/b^2)+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=1
因為點a，b也在橢圓上。
所以x1^2/a^2+y1^2/b^2=x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
代入得j^2+k^2+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=1
y1=x1-c y2=x2-c
代入 2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2) 得。
2jk((a^2+b^2)(x1+x2)-a^2*x1x2+a^2c)
韋達定理並化簡：
得2jk(2c^2-a^2-b^2)
因為 a^2=(3c^2)/2 b^2=(c^2)/2
代入 2c^2-a^2-b^2 得 2c^2-a^2-b^2=0
所以j^2+k^2+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=j^2+k^2=1
因為 j=m+n，k=m-n
代入得 (m+n)^2+(m-n)^2=1
化簡得m^2+n^2=1/2
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