1樓：網友
f(x)=x^3-x^2+[x^2]-[x^3]=(x^3-[x^3])+x^2]-x^2)
我們從研究x^3入手(以下之所以取x^3=1,2,3,4，是為了讓計算簡單)
1) 當x^3=1，則：[x^3]=1，x^3-[x^3]=0
x=1，x^2=1，[x^2]=1，[x^2]-x^2=0，所以：f(x)=0
2) 當x^3=2，則：[x^3]=2，x^3-[x^3]=0
x=2^(1/3)，x^2=2^(2/3)，[x^2]=1，[x^2]-x^2<0，所以：f(x)<0
3) 當x^3=3，則：[x^3]=3，x^3-[x^3]=0
x=3^(1/3)，x^2=3^(2/3)，[x^2]=2，[x^2]-x^2<0，所以：f(x)<0
4) 當x^3=4，則：[x^3]=4，x^3-[x^3]=0
x=4^(1/3)，x^2=4^(2/3)，[x^2]=2，[x^2]-x^2<0，所以：f(x)<0
現在我們以上面的資料為基礎，選取我們這道題的要用的區間，這個區間要求是：在這個區間內，[x^2]和[x^3]是保持不變的； 在區間的乙個端點必須是f(x)>0，另外乙個端點f(x)<0
如果我們取區間[3^(1/3),4^(1/3)]，則[x^2]=2保持不變，但[x^3]會在3,4之間變化； 而且f(x)在兩個端點都是f(x)<0。但如果我們把端點4^(1/3)做乙個微調，改成，那麼這兩個問題都可以解決。這就是為什麼你現在的解答中，選取的區間是[3^(1/3),你可以試一下改造區間[2^(1/3),3^(1/3)]，基本不行，因為[x^2]原本也是在變的。
2樓：網友
馬後炮：首先，答案的思路是簡化f(x)的表示式，即去掉。
那麼，如何簡化呢？答案的思路是找到乙個合適的區間[a,b]，滿足[a^2]=[b^2]和[a^3]=[b^3]。只有這樣，才能簡化f(x)
那麼怎麼找到這個區間[a,b]呢？由於x^3比x^2高階無窮大，所以ab取值儘可能小，大了恐難以同時滿足[a^2]=[b^2]和[a^3]=[b^3]。又[x^3]和[x^2]之差越大，對ab的精度要求越高，所以答案中的差值為1是非常合適的。
答案中ab都是開三次方，我猜測一方面是方便計算，更重要的是為了找數方便。
綜上，還是不一定能想到構造的區間。
最後一招，是畫[x^3]和[x^2]的影象，這樣能快速找到線索，然後結合上述思路，或許能想出來。
3樓：
tan(tanx)
tanx+(1/3)(tanx)^3 //把 tanx 看成 x，麥克勞林展式取兩項。
x+(1/3)x^3+(1/3)x^3 //前後項麥克勞林展式分別取兩項和一項。
sin(sinx)
sinx - 1/6)(sinx)^3 //把 sin 看成 x，麥克勞林展式取兩項。
x - 1/6)x^3 - 1/6)x^3 //前後項麥克勞林展式分別取兩項和一項。
tan(tanx) -sin(sinx)~(2/3)x^3 + 1/3)x^3 = x^3
tanx - sinx~x+(1/3)x^3 - x - 1/6)x^3]=(1/2)x^3 //前後項麥克勞林展式都取兩項。
所以原極限=2
4樓：網友
泰勒級數， 高於 x^3 的項全部歸入 高階無窮小 o(x^3) 了。
5樓：網友
等價無窮小相加，階數高的直接去掉。階數越高，意味著向無窮小趨近的速度越快，和比他高階的無窮小比起來直接忽略不計。
6樓：卿文康
1、那兩種情況只分析那些地方會存在實根，並沒有考慮單根處的導數方程有沒有實根。
2、實限應該是實根，這道題裡面，重根也累計了，上述兩種情況已經得出了n-1個實根，而導數方程是乙個x的n-1次多項式的方程，最多有n-1個實根，所以導數方程的根全為實數。
7樓：網友
1）對於單根，p(x)=(x-c_k)q(x) （q(c_k)≠0）則p'(x)=q(x)+(x-c_k)q'(x)p'(c_k)=q(c_k)≠0
因此你會發現，只有重根才會使p'(x)仍然等於02）答案說的很明白，p'(x)的根包括d1,d2,..d_l，以及p(x)的根c1,c2,..c_r,d1,d2,..
d_l中間的值，顯然它們之間不會重複。
8樓：默寧
先說問題3：因為lim (a_i)/n=0，極限拆分。
再說問題1：任意子列極限存在且相等肯定能證明數列極限存在。但我們證明極限的時候不可能取任意子列，所以才有乙個經典的例子：
lim a_=lim a_=a ⇔ lim a_n=a.
你可能還遇到過乙個經典的證明題：
lim a_=lim a_=lim a_=a ⇔ lim a_n=a
也就是說並不是非要舉出所有子列（當然你也舉不出來所有）就可以證明數列的極限。由上面兩個例子我個人得到乙個小猜想：
中，對於任意乙個正整數p，模p的同餘類為下標構成的子列收斂，則收斂。
p=2就是奇偶列，p=3就是依次類推，應該不難證明(交給你了。
再看問題2：你如果看了問題3的解答，對問題2很容易理解，因為這思路本質上是個數論的同餘問題。。題目裡就乙個正整數p，要把n分成幾個子列，顯然模p的同餘類是個完美的劃分法。
9樓：網友
1、數列極限存在，可以利用子列去判斷，即所有子列都收斂，且收斂的極限是同乙個。其實這個取得子列能遍佈整個數列即可，然後這些子列能收斂到同乙個極限。就能說明這個數列極限存在。
對應連續函式極限存在的情況有個歸結原理(可以看看)。
2、第二個構造的子列是為了用到題中給的條件，題中給的a_－a_這個極限的條件。
3、那個a_，i是在1到p的這個幾個整數里面。就p個數都是有限的。因此a_/n當n趨於無窮的時候，是趨於零的。由於分母a_是乙個有界量。
10樓：北昌楓
一道高等數學競賽題！高手進！ 事實上如果利用梯度曲線我們可以將上界8繼續改進。
11樓：網友
思路是反證法，利用不動點將這一步（見圖1）幹成乙個平方項，但是這點處g導可求小於0就矛盾了（別問我為什麼是1這個點，，，這種技巧性的東西誰也不知道怎麼想到的。我能夠想的過去的就是不動點可能有很多個，g導在它們處都是乙個平方樣子都大於等於0，然後你乙個乙個試，找乙個小於0的點匯出矛盾）。
圖1然後不動點唯一性的問題，不動點就是滿足方程fx=x的點，見圖2，fx要麼有唯一不動點1要麼沒有不動點，因為fx=x蘊含著x=1，即fx=x可推ffx=fx=x繼而x=1，然後我們否定掉沒有不動點這一可能性，就完了。
求大佬一題高數競賽題
12樓：默寧
首先比較容易想到的無窮小列，比較自然的也就1,1/2,1/3...1/n了。
然後圍繞這個無窮小列構造，我們的目的是構造每乙個無窮小列的每一項的積為非0的常數，f1(k): 1 1/2 1/3 ..1/n 1/(n+1)
f2(k):a_1 a_2 a_3 ..a_n a_(n+1)
fn(k):z_ 1 z_2 z_3 ..z_n z_(n+1)
為了簡便就取常數為1，第一列乘積為1很簡單。第二列1/2*2也容易想到。
下面第三列為啥構造1/3*1/3*3^2而不是1/3*3呢，其實你也可以試著構造成1/3*3,1/4*4等，想象為n*n的行列式，主對角線為其餘元素都為1，這樣倒是滿足每列乘積為1了，但不滿足任意f_n(k)都是無窮小列。
要讓它們都是無窮小列儘量要讓a_(n+1),b_(n+1)都是無窮小量，顯然傳承上面的1/(n+1)即可，那z_（n+1）下方的元素容易知可構造為(n+1)^n,這樣對角線的元素就構造出來了：
n+1)^n,(n)^(n-1)..4^3,3^2,2,1，這樣就容易構造出整個序列的架構了。
其實不是讓你憑空構造這個fj(k)，而是根據你構造的元素寫通項，可以類比為行列式，上下三角都有通項，主對角線乙個通項，寫完通項就是那個fj(k)。
你也可以試著構造成(1/2)*(1/2)*2^2，(1/3)*(1/3)*(1/3)*3^3然後把行列式分成3部分，寫出通項，這樣通項下標不如主對角線那種構造看著舒服。。
13樓：網友
類似於反證法，只要有一例證明不成立即可。
關於假設多數情況下是乙個經驗值，假設只要保證最後zk函式極限不是0就可以，同時fk還要是無窮小數列，所以你可以假設一些常見的函式，比如正比例、反比例等，多數是往你熟悉的函式去靠攏。
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